- - . - 成人高考高等數學(二)模擬試題和答案解析（一）一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內1當x0時，x2是x-1n(1+x)的（）A較高階的無窮小量B等價無窮小量C同階但不等價的無窮小量D較低階的無窮小量2設函數(sinx)=sin2 x，則(x)等于（）A2cos xB-2sin xcosxCD2x3以下結論正確的是（）A函數(x)的導數不存在的點，一定不是(x)的極值點B若x0為函數(x)的駐點，則x0必為(x)的極值點C若函數(x)在點x0處有極值，且(x0)存在，則必有(x0)=0D若函數(x)在點x0處連續，則(x0)一定存在4ABCexdx DexIn xdx5函數y=ex-x在區間(-1，1)內（）A單調減少B單調增加C不增不減D有增有減6AF(x)B-F(x)C0 D2F(x)7設y=(x)二階可導，且(1)=0,(1)0，則必有（）A(1)=0 B(1)是極小值C(1)是極大值D點(1,(1)是拐點8A(3)- (1)B(9)- (3)C1f(3)-f(1)D1/3(9)- (3)9A2x+1B2xy+1Cx2+1 Dx210設事件A，B的P(B)=05，P(AB)=04，則在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率P(A | B)=（）AO1B02C08D09二、填空題：1120小題，每小題4分，共40分把答案填在題中橫線上1112當x0時，1-cos戈與xk是同階無窮小量，則k= _13設y=in(x+cosx)，則y _141516設(x)的導函數是sin 2x，則(x)的全體原函數是 _1718曲線y=xlnx-x在x=e處的法線方程為 _1920三、解答題：2128小題，共70分解答應寫出推理、演算步驟2122232425(本題滿分8分)一枚5分硬幣，連續拋擲3次，求“至少有1次國徽向上”的概率26(本題滿分10分)在拋物線y2=4x與x=2所圍成的平面區域內作一矩形，其一邊在x=2 上，另外兩個頂點在拋物線上，求此矩形面積最大時的長和寬，最大面積是多少?27(本題滿分10分)設z=z(x，y)由方程ez-x2+y2+x+z=0確定，求出28(本題滿分10分)求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S，并求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vy參考答案及解析一、選擇題1【答案】應選C【解析】本題考查兩個無窮小量階的比較比較兩個無窮小量階的方法就是求其比的極限，從而確定正確的選項本題即為計算：由于其比的極限為常數2，所以選項C正確請考生注意：由于分母為x-ln(1+x)，所以本題不能用等價無窮小量代換ln(1+x)-x，否則將導致錯誤的結論與本題類似的另一類考題(可以為選擇題也可為填空題)為：確定一個無窮小量的“階”例如：當x0時，x-In(1+x)是x的A1/2階的無窮小量 B等價無窮小量C2階的無窮小量D3階的無窮小量要使上式的極限存在，則必須有k-2=0，即k=2所以，當x0時，x-in(1壩)為x的2階無窮小量，選C2【答案】應選D【解析】本題主要考查函數概念及復合函數的導數計算本題的解法有兩種：解法1先用換元法求出(x)的表達式，再求導設sinx=u，則(x)=u2，所以(u)=2u，即(x)=2x，選D解法2將(sinx)作為(x)，u=sinx的復合函數直接求導，再用換元法寫成(x)的形式等式兩邊對x求導得(sinx)COSx=2sin xCOSx，(sin x)=2sinx用x換sin x，得(x)=2x，所以選D請考生注意：這類題是基本題型之一，也是歷年考試中經常出現的熟練地掌握基本概念及解題的基本方法，必能較大幅度地提高考生的成績為便于考生對有關的題型有一個較全面的了解和掌握，特將歷年試卷的部分試題中的相關部分摘錄如下：(2004年)設函數 (cosx)=1+cos3x，求(x)(答案為3x2)3【答案】應選C【解析】本題考查的主要知識點是函數在一點處連續、可導的概念，駐點與極值點等概念的相互關系，熟練地掌握這些概念是非常重要的要否定一個命題的最佳方法是舉一個反例，例如：y=|x|在x=0處有極小值且連續，但在x=0處不可導，排除A和Dy=x3，x=0是它的駐點，但x=0不是它的極值點，排除B，所以命題C是正確的4【答案】應選A【解析】本題可用dy=ydx求得選項為A，也可以直接求微分得到dy5【答案】應選D【解析】本題需先求出函數的駐點，再用y來判定是極大值點還是極小值點，若是極值點，則在極值點兩側的y必異號，從而進一步確定選項因為y=ex-1，令y=0，得x=0又y=ex0，x(-1，1)，且y|x=0=10，所以x=0為極小值點，故在x=0的左、右兩側的函數必為由減到增，則當x(-1，1)時，函數有增有減，所以應選D6【答案】應選B【解析】用換元法將F(-x)與F(x)聯系起來，再確定選項7【答案】應選B【提示】根據極值的第二充分條件確定選項8【答案】應選D【解析】本題考查的知識點是定積分的換元法本題可以直接換元或用湊微分法9【答案】應選B【解析】用二元函數求偏導公式計算即可10【答案】應選C【解析】利用條件概率公式計算即可二、填空題11【答案】應填e-2.【解析】利用重要極限和極限存在的充要條件，可知k=e-212【答案】應填2【解析】根據同階無窮小量的概念，并利用洛必達法則確定k值13【解析】用復合函數求導公式計算14【答案】應填615【解析】利用隱函數求導公式或直接對x求導將等式兩邊對x求導(此時y=y(x)，得16【解析】 本題主要考查的知識點是導函數和原函數的概念1718【答案】應填x+y-e=0【解析】 先求切線斜率，再由切線與法線互相垂直求出法線斜率，從而得到法線方程19【答案】 應填2【提示】 利用奇、偶函數在對稱區間上積分的性質20【提示】 將函數z寫成z=ex2ey，則很容易求得結果三、解答題21本題考查的是型不定式極限的概念及相關性質【解析】含變上限的型不定式極限直接用洛必達法則求解22本題考查的知識點是復合函數的求導計算【解析】 利用復合函數的求導公式計算23本題考查的知識點是不定積分的公式法和湊微分積分法【解析】 本題被積函數的分子為二項之差，一般情況下要考慮將它分成二項之差的積分另外由于被積函數中含有根式，所以也應考慮用三角代換去根式的方法進行積分解法1解法2三角代換去根號24本題考查的知識點是反常積分的計算【解析】 配方后用積分公式計算25本題考查的知識點是古典概型的概率計算26本題考查的知識點是利用導數研究函數特性的方法【解析】 本題的關鍵是正確列出函數的關系式，再求其最大值解如圖2-7-1所示，設A點坐標為(x0，y0)，則AD=2-x0，矩形面積27本題考查的知識點是二元隱函數全微分的求法利用公式法求導的關鍵是需構造輔助函數F(x，y，z)=ez-x2+y2+x+z，然后將等式兩邊分別對x，y，z求導考生一定要注意：對x求導時，y，z均視為常數，而對y或z求導時，另外兩個變量同樣也視為常數也即用公式法時，輔助函數F(x，y，z)中的三個變量均視為自變量解法1直接求導法等式兩邊對x求導得解法2公式法解法3微分法對等式兩邊求微分得三種解法各有優劣，但公式法更容易理解和掌握建議考生根據自己的熟悉程度，牢記一種方法28本題考查的知識點是曲邊梯形面積的求法及旋轉體體積的求法【解析】 首先應根據題目中所給的曲線方程畫出封閉的平面圖形，然后根據此圖形的特點選擇對x積分還是對)，積分選擇的原則是：使得積分計算盡可能簡單或容易算出本題如果選擇對x積分，則有這顯然要比對y積分麻煩在求旋轉體的體積時一定要注意是繞x軸還是繞y軸旋轉歷年的試題均是繞x軸旋轉，而本題是求繞y軸旋轉的旋轉體的體積旋轉體的體積計算中最容易出現的錯誤(在歷年的試卷均是如此)是：解 畫出平面圖形，如圖2-7-2所示的陰影部分，則有陰影部分的面