.,利用空間向量解決立體幾何問題,數(shù)學(xué)專題二,.,學(xué)習(xí)提綱,二、立體幾何問題的類型及解法,1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。,1、直線的方向向量；2、平面的法向量。,一、引入兩個重要空間向量,.,一.引入兩個重要的空間向量,1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是,.,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個向量垂直于平面,記作n,這時向量n叫做平面的法向量.,n,.,3.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?如圖,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說,若na=0且nb=0,則n.,a,b,n,.,(1)求平面的法向量的坐標的一般步驟:,第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na=0且nb=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.,.,例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,.,解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z=1,解得:,得:,由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）,.,二.立體幾何問題的類型及解法,1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.若ab,即a=b,則ab.若ab,即ab=0,則ab,a,b,a,b,.,例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證:CC1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,.,證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是ab=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0CC1BD,.,(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面的法向量為n,且L.若an,即a=n,則L若an,即an=0,則a.,n,a,n,a,L,L,.,例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E平面DBC1;(2)AB1平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,.,解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0AB1平面DBC1,.,(3)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1,平面的法向量為n2若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1n2=0,則,n2,n1,n1,n2,.,例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED平面A1FD,.,證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是，,設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),.,2.求空間中的角,(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.,.,例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,.,解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),cos=|cos|,設(shè)DB1與CM所成角為,與所成角為,于是：,.,(2)直線與與平面所成的角若n是平面的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與所成的角,n與a所成的角則=-或=-于是,因此,n,n,a,a,.,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。,.,解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,0)，設(shè)與n夾角為而故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.,.,（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個半平面、的法向量，由幾何知識可知，二面角-L-的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.,.,例7在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,.,解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小滿足二面角A-SD-C的大小為.,.,3.求解空間中的距離,(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.,.,例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,.,解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得n=(-1,-1,2).,異面直線AC1與BD間的距離,.,(2)點到平面的距離A為平面外一點(如圖),n為平面的法向量,過A作平面的斜線AB及垂線AH.=.于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,.,例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,.,解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得n=(-,0,1).,或,或,可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面內(nèi)的點選擇無關(guān).,.,會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,ABC=60,側(cè)棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED間的距離.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,.,解:以A為原點、AB為x軸、ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系,則F為CD的中點,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由得n=(1,2).n2+6-8=0，故PC面