平面向量專題講義知識點一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線段表示，其中A為起點，B為終點. 向量的長度又稱為向量的模； 長度為0的向量叫做零向量，長度為1的向量叫做單位向量.注意: （1）有向線段的起、終點決定向量的方向，與表示不同方向的向量；（2）有向線段的長度決定向量的大小，用表示，.2方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規定零向量與任一向量平行. 平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量.3長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等. 任意兩個非零的相等向量可經過平移重合在一起，因此可用一個有向線段表示，而與起點無關.知識點二：向量的加法、減法1向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中，向量與的和為,記作:.（起點相同）2向量加法的三角形法則根據向量相等的定義有:，即在ADC中，.首尾相連的兩個向量的和是以第一個向量的起點指向第二個向量的終點.規定:零向量與向量的和等于.3. 向量的減法向量與向量叫做相反向量.記作:.則.知識點三：實數與向量的積1定義：一般地，實數與向量的積是一個向量,記作，它的長與方向規定如下：（1）；（2）當0時，的方向與的方向相同； 當0時，的方向與的方向相反； 當=0時，；2運算律設，為實數，則（1）；（2）；（3）3向量共線的充要條件已知向量、是兩個非零共線向量，即，則與的方向相同或相反.、共線時，必存在實數，使得成立.4平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數、，使.我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.知識點四：平面向量的坐標運算1平面向量的坐標表示選取直角坐標系的x軸、y軸上的單位向量，為基底，由平面向量基本定理，該平面內任一向量表示成的形式，由于與數對（x,y）是一一對應的，因此把（x,y）叫做向量的坐標表示.2平面向量的坐標運算已知，則（1）（2）3平行向量的坐標表示已知，則（）知識點五：向量的數量積1.定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，我們把數量叫做和的數量積（或內積），記作，即.規定：零向量與任一向量的數量積為0.注意：（1）兩向量的數量積，其結果是個數量，而不是向量，它的值為兩向量的模與余弦值決定 .（2）在運用數量積公式解題時，一定注意兩向量夾角范圍0180.此外，由于向量具有方向性，一定要找準是哪個角.2.平面向量的數量積的幾何意義的幾何意義：數量積等于的長度與 在方向上的投影的乘積.3.性質：（1） （2） 當與同向時，；當與反向時，.特別地 4.運算律設已知向量、和實數，則向量的數量積滿足下列運算律：(1) (交換律)(2) (3) 5.向量的數量積的坐標運算已知兩個非零向量，那么 ；.二典型例題分析例1.在下列各命題中為真命題的是( )若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2)，則=若=(x1,y1)、=(x2,y2),則=0x1x2+y1y2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0。A、 B、 C、 D、 例2.已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得：=4, =9，試求向量的坐標。 例3.對于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意兩個向量、與兩個非負實數、；求證：向量+ 的大小不超過+。 例4已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x軸的正半軸上求點C，使ACB最大。例5.如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量法證明(1)PA=EF； (2)PAEF。 例6.已知與的夾角為,若向量與垂直, 求k. 例7.如果ABC的三邊a、b、c滿足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分別為AC邊與AB上的中線, 求證：BECF. 例8.如圖所示，在正ABC中，O為其內心，P為圓周上一點，滿足，兩兩不共線，求證：(+)(+)=0。例9.例10.如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點，且交其對角線于K，其中，則的值為()。A. B. C. D.例11.在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，m(2bc，cosC)，n(a，cosA)，且mn.(1)求角A的大小；(2)求函數y2sin2Bcos(2B)的值域例12.在平面直角坐標系內，已知兩點A(1,0)、B(1,0)，若將動點P(x，y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x，y)，且滿足1.(1)求動點P所在曲線C的方程；(2)過點B作斜率為的直線l交曲線C于M、N兩點，且0，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由 平面向量練習一、選擇題：1、下列各式中正確的是（ ） （1）(a) b=(a b)=a (b), （2）|ab|=|a|b|, （3）(a b) c=a (b c), （4）(a+b) c= ac+bc A（1）（3） B（2）（4） C（1）（4） D以上都不對.2、在ABC中,若(+)()=0,則ABC為（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D無法確定3、若|a|=|b|=|ab|,則b與a+b的夾角為（ ） A30 B60 C150 D1204、已知|a|=1,|b|= ,且(ab)和a垂直,則a與b的夾角為（ ） A60 B30 C135 D455、若 + = 0,則ABC為（ ）A直角三角形 B鈍角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形6、設|a|= 4,|b|= 3, 夾角為60, 則|a+b|等于（ ） A37 B13 C D 7、己知|a|=1,|b|=2, a與b的夾角為600,c =3a+b, d =ab ,若cd,則實數的值為（ ） A B C D 8、設 a,b,c是平面內任意的非零向量且相互不共線,則（ ） (ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b不與c垂直 (3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命題是（ ） A B C D9.已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )A.30B.150C.150D.30或15010.若20，則ABC必定是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形二、填空題：11、已知e是單位向量,求滿足ae且ae=18的向量a=_.12、設a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 則m=_.13.已已知：|1，|，0，點C在AOB內，且AOC30，設mn(m，nR)， 則_.14.知向量a與b的夾角為，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實數_.三、解答題：13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b) 14.四邊形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a，判斷四邊形ABCD是什么圖形？ 15.三角形的三個內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量m(ca，ba)，n