課程負責人：丁漢教授,顧問：王顯正教授,交通大學精品課程系列,2004.4.30,控制理論基礎(I),第四章控制系統的穩定性分析,4.1穩定性的基本概念,4.2代數判據,4.4Nyquist穩定性判據,4.5穩定性裕量,4.3米哈伊洛夫穩定性判據,作業,4.1穩定性的基本概念,例,穩定性的定義,穩定的充要條件,穩定的必要條件,例1,例3,例2,課堂練習,穩定的擺,不穩定的擺,1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂。,跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動。,無限放大直到飽和,無輸入時因干攏直至飽和,控制系統在外部攏動作用下偏離其原來的平衡狀態，當攏動作用消失后，系統仍能自動恢復到原來的初始平衡狀態。,(a)外加擾動,注意：以上定義只適用于線形定常系統。,穩定性的定義,(b)穩定,(c)不穩定,注意：控制系統自身的固有特性，取決于系統本身的結構和參數，與輸入無關。,大范圍穩定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能夠恢復到原有的平衡狀態。,(a)大范圍穩定,(b)小范圍穩定,否則系統就是小范圍穩定的。,注意：對于線性系統，小范圍穩定大范圍穩定。,(a)不穩定,臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。,注意：經典控制論中，臨界穩定也視為不穩定。,原因：(1)分析時依賴的模型通常是簡化或線性化；(2)實際系統參數的時變特性；(3)系統必須具備一定的穩定裕量。,假設系統在初始條件為零時，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時系統的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t時，若：系統（漸近）穩定。,穩定的條件：,穩定的充要條件,理想脈沖函數作用下R(s)=1。,對于穩定系統,t時,輸出量c(t)=0。,由上式知：如果pi和i均為負值,當t時,c(t)0。,自動控制系統穩定的充分必要條件：系統特征方程的根全部具有負實部，即:閉環系統的極點全部在S平面左半部。,注意：穩定性與零點無關,系統特征方程,結果：共軛復根，具有負實部，系統穩定。,系統穩定的必要條件,系統特征各項系數具有相同的符號，且無零系數。,設系統特征根為p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取兩根乘積之和,每次取三根乘積之和,各根之積,全部根具有負實部,某水位控制系統如圖，討論該系統的穩定性。為被控對象水箱的傳遞函數；為執行電動機的傳遞函數；K1為進水閥門的傳遞系數；Kp為杠桿比；H0為希望水位高；H為實際水位高。,由系統結構圖可得出系統的閉環特征方程為,令,為系統的開環放大系數，則特征方程展開寫為為三階系統,但缺少s項，即對應的特征多項式的中有系數為0，不滿足系統穩定的必要條件，所以該系統不穩定。,無論怎樣調整系統的參數,如(K、Tm)，都不能使系統穩定。,結構不穩定系統,校正裝置,無需求解特征根，直接通過特征方程的系數判別系統的穩定性。,勞思(routh)判據,勞思陣列,赫爾維茨(Hurwitz)判據,赫爾維茨行列式,例,課堂習題,勞思(routh)判據的特殊情況,4.2代數判據,性質：第一列符號改變次數=系統特征方程含有正實部根的個數。,勞思陣列,特征方程：,勞斯陣列：,如果符號相同系統具有正實部特征根的個數等于零系統穩定；如果符號不同符號改變的次數等于系統具有的正實部特征根的個數系統不穩定。,控制系統穩定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號。,“第一列中各數”,注：通常a00，因此，勞斯穩定判據可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數均大于零。,勞思(routh)判據,勞思判據判定穩定性,勞斯判據判斷系統的相對穩定性,特殊情況1：第一列出現0,特殊情況2：某一行元素均為0,勞思(routh)判據的特殊情況,特殊情況：第一列出現0。,各項系數均為正數,解決方法：用任意小正數代之。,特殊情況1：第一列出現0,特殊情況：某一行元素均為0,解決方法：全0行的上一行元素構成輔助方程，求導后方程系數構成一個輔助方程。,各項系數均為正數,求導得:,例如：,特殊情況2：某一行元素均為0,勞斯陣列出現全零行:系統在s平面有對稱分布的根,大小相等符號相反的實根,共軛虛根,對稱于實軸的兩對共軛復根,系統的n階赫樂維茨行列式,取各階主子行列式作為1階（n-1）階赫爾維茲行列式,赫爾維茨行列式,控制系統穩定的充分必要條件是：當a00時，各階赫爾維茨行列式1、2、n均大于零。,一階系統,二階系統,a00時,a10(全部系數數同號),a00時,a10,a20(全部系數數同號),a00時,a00時,赫爾維茨(Hurwitz)判據,三階系統,a00時,a10,a20,a30(全部系數數同號),a00時,a1a2a0a3,四階系統,a00時,a10,a20,a30,a40(全部系數數同號),a00時,一階系統,a10(全部系數數同號),a10,a20(全部系數數同號),a10,a20,a30(全部系數數同號),a1a2a0a3,a10,a20,a30,a40(全部系數數同號),歸納：a00時,二階系統,三階系統,四階系統,a10,a20,a30,a40,K值的穩定范圍,各項系數均為正數,a00時,單位反饋系統,已知系統開環傳遞函數如下：,判斷上述系統開環增益K的穩定域，并說明開環積分環節數目對系統穩定性的影響。,系統1的閉環特征方程為：,系統3的閉環特征方程為：,系統2的閉環特征方程為：,K的穩定域為：,K的穩定域為：,結論：增加系統開環積分環節的數目對系統穩定性不利。,由于特征方程缺項，不存在K的穩定域。,特征矢量幅角變化與穩定性關系,一階系統,D(s)可視為復平面上的向量。,特征方程：D(s)=s+p0,4.3米哈伊洛夫穩定性判據,當變化時，D(j)的端點沿虛軸滑動，其相角相應發生變化。,在頻域：D(j)=p+j,若特征根為負實根，系統穩定,若特征根為正實根，系統不穩定,二階系統,特征方程：D(s)=s2+2ns+n2(s+p1)(s+p2)=0,實根情形(1),當由0變化到時：,共軛虛根情形(01),設根位于左半s平面,當由0變化到時，,j+p1的相角變化范圍：-0/2,變化量：/2+0,j+p2的相角變化范圍：0/2,變化量：/2-0,根位于右半s平面,共軛虛根情形(00的所有頻率范圍內，對數相頻特性曲線()(含輔助線)與-180線的正負穿越次數之差等于m/2時，系統閉環穩定，否則，閉環不穩定。,開環特征方程有兩個右根，m=2正負穿越數之和-1,閉環不穩定。,開環特征方程有兩個右根，m=2正負穿越數之和+1,閉環穩定。,開環特征方程無右根，m=0正負穿越數之和0,閉環穩定。,開環特征方程無右根，m=0L()0范圍內()和-線不相交即正負穿越數之和為0,閉環穩定。,相對穩定性和穩定裕量,增益交界頻率和相位交界頻率,系統的穩定性裕量,穩定系統,不穩定系統,例1,用Matlab求取穩定性裕量,例2,4.5穩定性裕量,特征方程最近虛軸的根和虛軸的距離,穩定性裕量可以定量地確定系統離開穩定邊界的遠近，是評價系統穩定性好壞的性能指標，是系統動態設計的重要依據之一。,相對穩定性和穩定裕量,注意：虛軸是系統的臨界穩定邊界,G(j)H(j)軌跡靠近(-1,j0)點的程度,GH平面,增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點,相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負實軸交點,1-穩定系統,2-不穩定系統,增益交界頻率和相位交界頻率,單位園外,單位園內,增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點L(j)與0分貝線的交點。,c,g,穩定系統,相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負實軸交點(j)與-線的交點。,單位園外,單位園內,c,g,不穩定系統,:在增益交界頻率c上系統達到穩定邊界所需要的附加滯后量-相位裕量。,開環,系統的穩定性裕量,Kg:在增益交界頻率g上,頻率特性幅值|G(j)H(j)|的倒數幅值裕量（增益裕度）。,開環,系統響應速度,增益裕量相位裕量,閉環系統穩定性,增益裕量相位裕量伺服機構：10-20分貝40度以上過程控制：3-10分貝20度以上,穩定系統,正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H(j)軌跡:(1)不包圍(-1,j0)點；(2)先穿過單位圓，后穿過負實軸。,正相位裕量,正相位裕量,不穩定系統,負增益裕量,負相位裕量,負增益裕量,負相位裕量,G(j)H(j)軌跡:(1)包圍(-1,j0)點；(2)先穿過負實軸，后穿過單位圓,負相位裕量,負增益裕量,單位反饋控制系統開環傳遞函數,穩定性裕量,用Matlab求取穩定性裕量,第四章作業,1、已知單位反饋系統的開環傳遞函數為G(s)=k/s(0.1s+1)(0.25s+1)。試確定使系統穩定時開環放大系統K的取值范圍;要使系統具有=1以上的穩定裕量，試確定K的取值范圍。,2、垂直起降飛機是不穩定的系統，需要外加穩定控制系統。圖為美國陸軍的K-16B垂直起降飛機的姿態穩定系統,當飛