帶電粒子在有界磁場中的臨界極值問題多維探究(一)半無界磁場典例1(多選)(2012江蘇高考)如圖8217所示，MN是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場的邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子在紙面內(nèi)從O點(diǎn)射入磁場。若粒子速度為v0，最遠(yuǎn)可落在邊界上的A點(diǎn)。下列說法中正確的有()圖8217A若粒子落在A點(diǎn)的左側(cè)，其速度一定小于v0B若粒子落在A點(diǎn)的右側(cè)，其速度一定大于v0C若粒子落在A點(diǎn)左右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，其速度不可能小于v0qBd/2mD若粒子落在A點(diǎn)左右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，其速度不可能大于v0qBd/2m解析因粒子由O點(diǎn)以速度v0入射時(shí)，最遠(yuǎn)落在A點(diǎn)，又粒子在O點(diǎn)垂直射入磁場時(shí)，在邊界上的落點(diǎn)最遠(yuǎn)，即，所以粒子若落在A的右側(cè)，速度應(yīng)大于v0，B正確；當(dāng)粒子落在A的左側(cè)時(shí)，由于不一定是垂直入射，所以速度可能等于、大于或小于v0，A錯誤；當(dāng)粒子射到A點(diǎn)左側(cè)相距d的點(diǎn)時(shí)，最小速度為xmin，則，又因，所以vminv0，所以粒子落在A點(diǎn)左右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，其速度不可能小于vminv0，C正確；當(dāng)粒子射到A點(diǎn)右側(cè)相距d的點(diǎn)時(shí)，最小速度為v1，則，又因，即v1v0，D錯誤。答案BC8(多選)如圖8，兩個初速度大小相同的同種離子a和b，從O點(diǎn)沿垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，最后打到屏P上，不計(jì)重力，下列說法正確的有()圖8Aa、b均帶正電Ba在磁場中飛行的時(shí)間比b的短Ca在磁場中飛行的路程比b的短Da在P上的落點(diǎn)與O點(diǎn)的距離比b的近解析：選ADa、b粒子做圓周運(yùn)動的半徑都為R，畫出軌跡如圖所示，O1、O2分別為b、a軌跡的圓心，a在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角大，由tT和軌跡圖可知A、D選項(xiàng)正確。5(多選)(2011浙江高考)利用如圖4所示裝置可以選擇一定速度范圍內(nèi)的帶電粒子。圖中板MN上方是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，板上有兩條寬度分別為 2d 和 d 的縫，兩縫近端相距為L。一群質(zhì)量為 m、電荷量為 q，具有不同速度的粒子從寬度為 2d 的縫垂直于板 MN 進(jìn)入磁場，對于能夠從寬度為 d的縫射出的粒子，下列說法正確的是()圖4A粒子帶正電B射出粒子的最大速度為C保持d和L不變，增大B，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大D保持d和B不變，增大L，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大解析：選BC由左手定則和粒子的偏轉(zhuǎn)情況可以判斷粒子帶負(fù)電，選項(xiàng)A錯；根據(jù)洛倫茲力提供向心力qvB可得v，r越大v越大，由圖可知r最大值為rmax，選項(xiàng)B正確；又r最小值為rmin，將r的最大值和最小值代入v的表達(dá)式后得出速度之差為v，可見選項(xiàng)C正確、D錯誤。07天津理綜OBxyv 12、如圖所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。一個不計(jì)重力的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以速度v進(jìn)入磁場，粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向垂直于磁場且與x軸正方向成120角，若粒子穿過y軸正半軸后在磁場中到x軸的最大距離為a，則該粒子的比荷和所帶電荷的正負(fù)是CA，正電荷 B，正電荷 C，負(fù)電荷 D，負(fù)電荷(二)四分之一平面磁場典例2如圖8218所示，一個質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點(diǎn)以速度v，沿與x軸正方向成60角的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。圖8218解析軌跡示意圖如圖所示，由射入、射出點(diǎn)的半徑可找到圓心O，并得出半徑為r，得B；射出點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)。答案B；射出點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)。9帶電粒子以初速度v0從a點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如圖9所示。運(yùn)動中經(jīng)過b點(diǎn)，OaOb，若撤去磁場加一個與y軸平行的勻強(qiáng)電場，仍以v0從a點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入電場，粒子仍能通過b點(diǎn)，那么電場強(qiáng)度E與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之比為()圖9Av0B1C2v0 D.解析：選C帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，O為圓心，故OaObr帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，故Obv0tOat2由得2v0，故選項(xiàng)C對。6.（2010新課標(biāo)全國卷T25）（18分）如圖所示，在0 x a、0 y 范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的（1）速度的大小（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。【解析】本題以大量帶電粒子沿各個方向在有界勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動，建立一幅動態(tài)運(yùn)動圖景，考查考生空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力。（1）設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式，得：， （2分）由解得： （1分）畫出沿y方向以a/2為半徑做勻速圓周運(yùn)動軌跡如圖所示，再畫出從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與y軸正方向以半徑R0（a/2R0RRcos 53R由并代入數(shù)據(jù)得：B T5.33 T(取“”照樣給分)答案：(1)20 m/s(2)0.90 m(3)B5.33 T04（春季）5 如圖，在的空間中有恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度的方向垂直于oxy平面向里，大小為B。現(xiàn)有一質(zhì)量為m電量為q的帶電粒子，在x軸上到原點(diǎn)的距離為的P點(diǎn)，以平行于y軸的初速度射入此磁場，在磁場作用下沿垂直于y軸的方向射出此磁場。不計(jì)重力的影響。由這些條件可知，D A不能確定粒子通過y軸時(shí)的位置 B不能確定粒子速度的大小 C不能確定粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時(shí)間D以上三個判斷都不對(三)矩形磁場典例3(多選)如圖8219所示，在一矩形區(qū)域內(nèi)，不加磁場時(shí)，不計(jì)重力的帶電粒子以某一初速度垂直左邊界射入，穿過此區(qū)域的時(shí)間為t。若加上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，帶電粒子仍以原來的初速度入射，粒子飛出磁場時(shí)偏離原方向60，利用以上數(shù)據(jù)可求出下列物理量中的()圖8219A帶電粒子的比荷B帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期C帶電粒子的初速度D帶電粒子在磁場中運(yùn)動的半徑解析由帶電粒子在磁場中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角，可知帶電粒子運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角為60，因此由幾何關(guān)系得磁場寬度lrsin 60sin 60，又未加磁場時(shí)有l(wèi)v0t，所以可求得比荷，A項(xiàng)對，周期T也可求出，B項(xiàng)對；因初速度未知，所以C、D項(xiàng)錯。答案AB10(2015馬鞍山二檢)如圖10所示，abcd為一正方形邊界的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場邊界邊長為L，三個粒子以相同的速度從a點(diǎn)沿ac方向射入，粒子1從b點(diǎn)射出，粒子2從c點(diǎn)射出，粒子3從cd邊垂直于磁場邊界射出，不考慮粒子的重力和粒子間的相互作用。根據(jù)以上信息，可以確定()圖10A粒子1帶負(fù)電，粒子2不帶電，粒子3帶正電B粒子1和粒子3的比荷之比為21C粒子1和粒子3在磁場中運(yùn)動時(shí)間之比為41D粒子3的射出位置與d點(diǎn)相距解析：選B根據(jù)左手定則可知粒子1帶正電，粒子2不帶電，粒子3帶負(fù)電，選項(xiàng)A錯誤；粒子1在磁場中的軌跡為四分之一圓周，半徑r1L，時(shí)間t1T，粒子3在磁場中的軌跡為八分之一圓周，半徑r3L，時(shí)間t3T，則t1t3，選項(xiàng)C錯誤；由r可知粒子1和粒子3的比荷之比為r3r121，選項(xiàng)B正確；粒子3的射出位置與d點(diǎn)相距(1)L，選項(xiàng)D錯誤。(四)正方形磁場典例4(多選)(2011海南高考)空間存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，圖8220中的正方形為其邊界。一細(xì)束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點(diǎn)入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計(jì)重力。下列說法中正確的是()圖8220A入射速度不同的粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間一定不同B入射速度相同的粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡一定相同C在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同的粒子，其運(yùn)動軌跡一定相同D在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大解析在磁場中帶電粒子運(yùn)動半徑r，運(yùn)動時(shí)間：t(為轉(zhuǎn)過圓心角)，故B、D正確。當(dāng)粒子從O點(diǎn)所在的邊上射出時(shí)，軌跡可以不同，但圓心角相同為180，因而A、C錯。答案BD04（北京卷）6 如圖所示，正方形區(qū)域abcd中充滿勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里。一個氫核從ad邊的中點(diǎn)m沿著既垂直于ad邊又垂直于磁場的方向，以一定速度射入磁場，正好從ab邊中點(diǎn)n射出磁場。若將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?倍.其他條件不變，則這個氫核射出磁場的位置是C（ ）A在b、n之間某點(diǎn)B在n、a之間某點(diǎn)Ca點(diǎn)D在a、m之間某點(diǎn)(五)半圓形磁場典例5如圖8221所示，長方形abcd長ad0.6 m，寬ab0.3 m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(邊界上無磁場)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0.25 T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m3107 kg、電荷量q2103 C的帶電粒子以速度v5102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則()圖8221A從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊D從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊解析由r得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑r0.3 m，從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab和be邊；從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和be邊；選項(xiàng)D正確。答案D07四川理綜 11如圖所示，長方形abcd長ad0.6 m，寬ab0.3 m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（邊界上無磁場），磁感應(yīng)強(qiáng)度B0.25 T。abcdBveO一群不計(jì)重力、質(zhì)量m3107 kg、電荷量q2103 C的帶電粒子以速度v5l02 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射人磁場區(qū)域DA從Od邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B從aO邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊D從aO邊射人的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊07寧夏理綜 1 在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)（APd）射入磁場（不計(jì)重力影響）。 如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場，求入射粒子的速度。如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線方向的夾角為（如圖）。求入射粒子的速度。RAOPDQ1 、由于粒子在P點(diǎn)垂直射入磁場，故圓弧軌道的圓心在AP上，AP是直徑。 設(shè)入射粒子的速度為v1，由洛倫茲力的表達(dá)式和牛頓第二定律得：RAOPDQO/R/ 解得：設(shè)O/是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心，連接O/Q，設(shè)O/QR/。 由幾何關(guān)系得： 由余弦定理得： 解得： 設(shè)入射粒子的速度為v，由 解出：1 .（2007新課標(biāo)全國卷T24）（17分）在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)（AP=d）射入磁場（不計(jì)重力影響）。（1）如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場，求入射粒子的速度。（2）如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線的夾角為（如圖）。求入射粒子的速度。【解析】由于粒子在P點(diǎn)垂直射入磁場，故圓弧軌道的圓心在AP上，AP是直徑。RAOPDQO/R/ 設(shè)入射粒子的速度為v1，由洛倫茲力的表達(dá)式和牛頓第二定律得： 解得：設(shè)O/是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心，連接O/Q，設(shè)O/QR/。 由幾何關(guān)系得： 由余弦定理得： 解得： 設(shè)入射粒子的速度為v，由 解出：【答案】（1）（2）7導(dǎo)學(xué)號：82460345如圖所示，AOB為一邊界為圓的勻強(qiáng)磁場，O點(diǎn)為圓心，D點(diǎn)為邊界OB的中點(diǎn)，C點(diǎn)為邊界上一點(diǎn)，且CDAO.現(xiàn)有兩個完全相同的帶電粒子以相同的速度射入磁場(不計(jì)粒子重力)，其中粒子1從A點(diǎn)正對圓心射入，恰從B點(diǎn)射出，粒子2從C點(diǎn)沿CD射入，從某點(diǎn)離開磁場，則可判斷()A粒子2在BC之間某點(diǎn)射出磁場B粒子2必在B點(diǎn)射出磁場C粒子1與粒子2在磁場中的運(yùn)動時(shí)間之比為32D粒子1與粒子2的速度偏轉(zhuǎn)角度應(yīng)相同解析：粒子從A點(diǎn)射入，恰好從B點(diǎn)射出，則粒子做圓周運(yùn)動的半徑等于圓的半徑，從圓弧AB水平入射的粒子都將聚集到B點(diǎn)，則選項(xiàng)B正確；分析得粒子1和2的運(yùn)動的圓弧對應(yīng)的圓心角分別為90和60，由tT，得兩粒子運(yùn)動的時(shí)間之比為32，則選項(xiàng)C正確答案：BC(六)圓形磁場典例6(2012安徽高考)如圖8222所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一個帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場，經(jīng)過t時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場，OC與OB成60角。現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)椋詮腁點(diǎn)沿原方向射入磁場，不計(jì)重力，則粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間變?yōu)?)圖8222A.tB2tC.t D3t解析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，據(jù)牛頓第二定律有qvBm，解得粒子第一次通過磁場區(qū)時(shí)的半徑為r，圓弧AC所對應(yīng)的圓心角AO1C60，經(jīng)歷的時(shí)間為tT(T為粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期，大小為T，與粒子速度大小無關(guān))；當(dāng)粒子速度減小為后，根據(jù)r知其在磁場中的軌道半徑變?yōu)椋Ｗ訉腄點(diǎn)射出，根據(jù)圖中幾何關(guān)系得圓弧AD所對應(yīng)的圓心角AO2D120，經(jīng)歷的時(shí)間為tT2t。由此可知本題正確選項(xiàng)只有B。答案B6.(2013全國卷)如圖5，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為。已知粒子射出磁場與射入磁場時(shí)運(yùn)動方向間的夾角為60，則粒子的速率為(不計(jì)重力)()圖5A.B.C. D.解析：選B作出粒子在圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的運(yùn)動軌跡如圖，連接MN，根據(jù)粒子射出磁場時(shí)的速度方向與初速度方向間的夾角為60，及MP，得出各角大小如圖所示，粒子的出射點(diǎn)必與磁場圓的圓心等高，四邊形OMON為菱形，粒子做圓周運(yùn)動的半徑rR，根據(jù)qvB，得v。b11、（2013新課標(biāo)全國卷T18）（6分）如圖，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，一電荷量為q（q0）。質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為，已知粒子射出磁場與射入磁場時(shí)運(yùn)動方向間的夾角為60，則粒子的速率為（不計(jì)重力）A B C D【解析】由題意知,設(shè)入射點(diǎn)為A,AC平行于ab,穿出磁場的點(diǎn)為B,圓心為O,由題意知,粒子射入磁場和射出磁場的夾角60,所以圓心角就為60,ABO為等邊三角形, BAC=30,過B點(diǎn)做AC垂線交于C點(diǎn),由三角形可得,所以帶電粒子運(yùn)動的半徑為r=R,由解得,所以選項(xiàng)B正確。【答案】B12、（2013新課標(biāo)全國卷T17）（6分）空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，該區(qū)域的橫截面的半徑為R，磁場方向垂直橫截面。一質(zhì)量為m、電荷量為q（q0）的粒子以速率v0沿橫截面的某直徑射入磁場，離開磁場時(shí)速度方向偏離入射方向60。不計(jì)重力，該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為【解析】畫出粒子的運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運(yùn)動的半徑，由可知，本題選A。【答案】A（08四川卷）24（19分）如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上。整個空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下。一電荷量為q（q0）、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動，圓心為O。球心O到該圓周上任一點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為（0。為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值及小球P相應(yīng)的速率。重力加速度為g。解析：據(jù)題意，小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動，該圓周的圓心為O。P受到向下的重力mg、球面對它沿OP方向的支持力N和磁場的洛侖茲力 fqvB 式中v為小球運(yùn)動的速率。洛侖茲力f的方向指向O。根據(jù)牛頓第二定律 由式得 由于v是實(shí)數(shù)，必須滿足0 由此得B 可見，為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值為 此時(shí)，帶電小球做勻速圓周運(yùn)動的速率為 由式得 (七)三角形磁場典例7如圖8223所示，ABC為與勻強(qiáng)磁場垂直的邊長為a的等邊三角形，比荷為的電子以速度v0從A點(diǎn)沿AB邊入射，欲使電子經(jīng)過BC邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值為()圖8223ABBBCB DB解析由題意，如圖所示，電子正好經(jīng)過C點(diǎn)，此時(shí)圓周運(yùn)動的半徑R，要想電子從BC邊經(jīng)過，電子做圓周運(yùn)動的半徑要大于，由帶電粒子在磁場中運(yùn)動的公式r有，即B，選D。答案D