2013年普通高等學校統一考試試題 江蘇卷 參考公式 樣本數據的方差 其中 12 n x xx 2 2 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 棱錐的體積公式 其中S是錐體的底面積 為高 1 3 VSh h 棱柱的體積公式 其中S是柱體的底面積 為高 VSh h 填空題 本大題共14小題 每小題5分 共計70分 請把答案 填寫在答題卡相印位置上 1 函數的最小正周期為 4 2sin 3 xy 2 設 為虛數單位 則復數的模為 2 2 iz iz 3 雙曲線的兩條漸近線的方程為 1 916 22 yx 4 集合共有 個子集 1 0 1 5 右圖是一個算法的流程圖 則輸出的的值是 n 6 抽樣統計甲 乙兩位射擊運動員的5此訓練成績 單位 環 結果如下 運動員第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 則成績較為穩定 方差較小 的那位運動員成績的方差為 7 現在某類病毒記作 其中正整數 可以任意選取 則都取到奇數的概 nmY Xmn7 m9 nnm 率為 8 如圖 在三棱柱中 分別是的中ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 點 設三棱錐的體積為 三棱柱的體積為 則ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21 V V 9 拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為 包含三角形 2 xy 1 xD 內部和邊界 若點是區域內的任意一點 則的取值范圍是 yxPDyx2 10 設分別是的邊上的點 ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 為實數 則的值為 12 DEABAC 21 21 11 已知是定義在上的奇函數 當時 則不等式的解集用區間 xfR0 xxxxf4 2 xxf 表示為 12 在平面直角坐標系中 橢圓的標準方程為 xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦點為 右準線為 短軸的一個端點為 設原點到直線的距離為 到 的距0ab FlBBF 1 dFl 離為 若 則橢圓的離心率為 2 d 12 6dd C 13 在平面直角坐標系中 設定點 是函數 圖象上一動點 若點之間xOy aaAP x y 1 0 xAP 的最短距離為 則滿足條件的實數的所有值為 22a 14 在正項等比數列中 則滿足的最大正整數 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 n 的值為 二 解答題 本大題共6小題 共計90分 請在答題卡指定區域內作答 解答時應寫出文字說明 證明過程或 演算步驟 15 本小題滿分14分 已知向量 sin cos sin cos ba 0 1 若 求證 2 baba 2 設 若 求的值 1 0 ccba 16 本小題滿分14分 如圖 在三棱錐中 平面平面 ABCS SABSBC 過作 垂足為 點BCAB ABAS ASBAF FGE 分別是棱的中點 SCSA 求證 1 平面平面 EFGABC 2 SABC 17 本小題滿分14分 如圖 在平面直角坐標系中 點 直線 xOy 3 0 A42 xyl 設圓的半徑為 圓心在 上 C1l 1 若圓心也在直線上 過點作圓的切線 求切線C1 xyAC 的方程 2 若圓上存在點 使 求圓心的橫坐標的CMMOMA2 Ca 取值范圍 18 本小題滿分16分 如圖 游客從某旅游景區的景點處下山至處有兩種路徑 一種是從沿直線步行到 另一種是先從ACAC 沿索道乘纜車到 然后從沿直線步行到 ABBC 現有甲 乙兩位游客從處下山 甲沿勻速步行 速度為 在甲出發后 乙從乘纜AACmin 50mmin2A 車到 在處停留后 再從勻速步行到 假設纜車勻速直線運動的速度為 山路BBmin1Cmin 130m 長為 經測量 ACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的長 AB 2 問乙出發多少分鐘后 乙在纜車上與甲的距離最短 3 為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘 C3 乙步行的速度應控制在什么范圍內 19 本小題滿分16分 設是首項為 公差為的等差數列 是其前項和 記 其中為 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 Nn c 實數 1 若 且成等比數列 證明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差數列 證明 n b0 c 20 本小題滿分16分 設函數 其中為實數 axxxf ln axexg x a 1 若在上是單調減函數 且在上有最小值 求的取值范圍 xf 1 xg 1 a 2 若在上是單調增函數 試求的零點個數 并證明你的結論 xg 1 xf 2013年普通高等學校統一考試試題 江蘇卷 答案 一 填空題 1 2 5 3 3 4 yx 4 8 5 4 6 2 7 20 63 8 1 24 9 1 2 2 10 1 2 11 5 0 5 12 3 3 13 1 3 14 12 二 解答題 15 1 略 2 5 66 16 證 1 由題 平面SABA AFSB SFBF SEEA EFAB EF ABC 平面 平面 同理平面 與為平面內的兩條相交AB ABC EF ABC EGABCEF EGEFG 直線 平面平面 EFGABC 2 平面平面于 平面 平面 SABSBCSBAF SABAF SBCAFBC 又且與為平面內的兩條相交直線 BCAB ABAFSABBCSA 17 解 1 由題設點 又也在直線上 24 C aa C1 xy241 3aaa 由題 過A點切線方程可設為 即 則 22 3 2 1Cxy A3ykx 30kxy 解得 所求切線為或 2 31 1 1 k k 3 0 4 k 3y 3 3 4 yx 2 設點 24 C aa 00 M xy2MAMO 3 0 A 0 0 O 即 又點在圓上 2222 0000 3 4 xyxy 22 000 32xyy MC 兩式相減得 22 00 24 1xaya 由題以上兩式有公共點 2 00 5 23 89 0 2 a axaya 2 2 22 5 23 24 89 2 1 23 a aaaa aa 整理得 即 令 則 2 2 5 63 5129 2 a aaa 222 5126 4 5129 aaaa 2 5126taa 解得 解得 2 4 3 tt 26t 2 251266aa 12 0 5 a 18 解 1 在中 ABC 13 12 cos A 5 3 cos C 5 sin 13 A 4 sin 5 C 63 sinsin sincoscossin 65 BACACAC sinsin ABAC CB 565 1260 463 AB 答 索道的長為 1040AB AB1040m 2 設乙出發到點 則甲出發到點 mintP 2 mint Q130APt 50 2 AQt 在中 APQ 222222 12 2cos 130 50 2 2 13050 2 13 PQAPAQAPAQAtttt 2222222 100 13 5 2 120 2 100 16925 2 120 2 PQttt ttttt 當且僅當時 最小 22 100 74140100 PQtt 35 min 37 t PQ 答 乙出發分鐘后 乙在纜車上與甲的距離最短 35 37 3 甲走完長為的山路 共需分鐘 設乙總用時為 乙步行的速度為m1260AC 1260 25 2 50 mint 則 由題 在中 由正弦定理求得 minvm22 228 2t 1040 21 130 BC t v ABC 500BC 500 11 22 2 28 2 t v 500 11 2 17 2 v 11 50017 2 11 2 v 500 500 17 2 11 2 v 500 500 17 2 11 2 v 5000 5000 172112 v 5000 5000 172112 v 39 29 44 4314 v 答 為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘 乙步行的速度應控制到C3 3 29 min 43 m 內 9 44 min 14 m 19 證明 1 若 則 又由題 0 c n n S b n Nn 1 2 n n nd Sna 1 2 n n Sn bad n 1 1 2 nn bbd 是等差數列 首項為 公差為 又成等比數列 n b a 2 d 0 d 421 bbb 2 21 4 bbb 2 3 22 dd aa a 2 3 42 dd ada 0d 2da 2 n Sn a 222222 nkk Snkan k a n Sn k a 2 nkk Sn S Nnk 2 由題 若是等差數列 則可設 cn nS b n n 2 Nn 2 2 2 1 2 n nand b nc n b n bxyn 是常數 關于恒成立 整理得 x y 2 2 2 1 2 nand xyn nc Nn 32 2 22 220dy nadx ncyncx 關于恒成立 Nn 20 220 20 20dyadxcycx 20 22 0 0dyaxd cycx 0c 20 解 1 由題在上恒成立 在上恒成立 1 0fxa x 1 1 a x 1 1a x g xea 若 則在上恒成立 在上遞增 在上沒有最0a 0 x g xea 1 xg 1 g x 1 小值 0a 當時 由于在遞增 時 遞增 lnxa 0g x x g xea 1 lnxa 0g x xg 時 遞減 從而為的可疑極小點 由題 lnxa 0g x xglnxa xgln1a ae 綜上的取值范圍為 aae 2 由題在上恒成立 在上恒成立 0 x g xea 1 x ea 1 1 a e 由得 令 則 ln0 0 f xxaxx ln 0 x ax x ln 0 x h xx x