2 2 2反證法 第二章推理與證明 學習導航 1 反證法假設原命題 即在原命題的條件下 結論不成立 經過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 錯誤 從而證明了 成立 這種證明方法叫做反證法 不成立 假設 原命題 想一想2 反證法 與 證逆否命題 有什么主要區別 提示 1 兩種證法的邏輯原理不同 反證法 的原理是命題與命題的否定一真一假 證逆否命題 的原理是命題與其逆否命題的等價性 即同真假 2 兩種證明的推理形式不同 證明逆否命題實際上就是從結論的反面出發 推出條件的反面成立 而反證法一般是假設結論的反面成立 然后通過推理導出矛盾 2 反證法常見矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與已知條件 公理 定義 定理及明顯成立的事實或自相矛盾等 名師點評 1 當結論為否定形式的命題時 通過反設 轉化為肯定性命題 可作為條件應用進行推理 因此對此類問題用反證法很方便 2 用反證法證明問題的一般步驟 假設命題的結論不成立 即假設結論的反面成立 從這個假設出發 經過推理論證 得出矛盾 從矛盾判定假設不正確 從而肯定命題的結論正確 題型二用反證法證明唯一性命題若函數f x 在區間 a b 上的圖象連續不斷開 且f a 0 f b 0 且f x 在 a b 上單調遞增 求證 f x 在 a b 內有且只有一個零點 證明 由于f x 在 a b 上的圖象連續不斷開 且f a 0 f b 0 即f a f b 0 所以f x 在 a b 內至少存在一個零點 設零點為m 則f m 0 假設f x 在 a b 內還存在另一個零點n 即f n 0 則n m 若n m 則f n f m 即0 0 矛盾 若n m 則f n f m 即0 0 矛盾 因此假設不正確 即f x 在 a b 內有且只有一個零點 名師點評 證明 有且只有一個 的問題 需要證明兩個命題 即存在性和唯一性 本例用直接證法中的綜合法證明了存在性 反證法證明了唯一性 跟蹤訓練2 1 證明 方程2x 3有且只有一個根 2 證明 兩條相交直線有且只有一個交點 證明 1 2x 3 x log23 這說明方程有一個根 下面用反證法證明方程2x 3的根是唯一的 假設方程2x 3有兩個根b1 b2 b1 b2 則2b1 3 2b2 3 兩式相除 得2b1 b2 1 如果b1 b2 0 則2b1 b2 1 這與2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 2b1 b2 1 這也與2b1 b2 1相矛盾 所以方程2x 3有且只有一個根 2 假設結論不成立 即有兩種可能 無交點 不只有一個交點 若直線a b無交點 那么a b或a b是異面直線 與已知矛盾 若直線a b不只有一個交點 則至少有兩個交點a和b 這樣同時經過點a b就有兩條直線 這與 經過兩點有且只有一條直線 相矛盾 綜上 所以結論成立 即兩條相交直線有且只有一個交點 題型三用反證法證明 或解答 至多 或 至少 類命題 名師點評 1 要想得到原命題的反面 必須先弄清原命題的含義 即原命題包含哪幾個結論 不能縮小也不能擴大 2 至多 至少 都 等詞語的否定形式 用反證法證題時要把握三點 1 必須先否定結論 對于結論的反面出現的多種可能 要逐一論證 缺少任何一種可能 證明都是不完全的 2 反證法必須從否定結論進行推理 且必須根據這一條件進行論證 否則 僅否定結論 不從結論的反面出發進行論證 就不是反證法 3 推導出來的矛盾可能多種多樣 有的與已知矛盾 有的與假設矛盾 有的與定理 公理相違背等 但推導出的矛盾必須是明顯的 信