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文檔簡介

1 3 1函數的單調性 德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯 對人類的記憶牢固程度進行了有關研究 他經過測試 得到了以下一些數據 思考1 觀察 艾賓浩斯遺忘曲線 你能發現什么規律 函數的單調性 思考2 我們發現隨著時間t的增加 記憶保留量y在不斷減少 從圖象上來看 從左至右圖象是在逐漸下降的 x y o 1 x O y 1 1 2 4 1 2 1 1 從左至右圖象 2 在區間 上 隨著x的增大 f x 的值隨著 2 0 上從左至右圖象上升 當x增大時f x 隨著增大 1 上升 增大 下降 減小 思考1 畫出下列函數的圖象 根據圖象思考當自變量x的值增大時 相應函數值是如何變化的 思考3 如何用數學符號語言定義函數所具有的這種性質 那么就說在f x 這個區間上是單調減函數 D稱為f x 的單調減區間 x 如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1 x2 如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1 x2 那么就說在f x 這個區間上是單調增函數 D稱為f x 的單調區間 增 當x1 x2時 都有f x1 f x2 單調區間 如果函數y f x 在區間D是單調增函數或單調減函數 那么就說函數y f x 在區間D上具有單調性 解 函數y f x 的單調區間有 5 2 2 1 1 3 3 5 例1 如圖是定義在閉區間 5 5 上的函數y f x 的圖象 根據圖象說出函數的單調區間 其中y f x 在區間 2 1 3 5 上是增函數 說明 1 區間端點處若有定義寫開寫閉均可 2 圖象法判斷函數的單調性 從左向右看圖象的升降情況 2 5 4 4 x y O 1 3 2 1 解 函數y f x 的單調區間有 1 0 0 2 2 4 4 5 其中y f x 在區間 0 2 4 5 上是增函數 在區間 1 0 2 4 上是減函數 練一練1判斷的單調性 例2證明函數f x 3x 2在區間R上是增函數 設x1 x2是R上任意兩個實數 且x1 x2 證明 則f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2 得x1 x2 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 3x 2在R上是增函數 作差 設值 變形 定號 下結論 用定義證明函數單調性的五步驟 1 設值 在所給區間上任意設兩個實數 2 作差 3 變形 作差 常通過 因式分解 通分 配方 等手段將差式變形為因式乘積或平方和形式 判斷的符號 4 定號 作出結論 5 下結論 例3已知函數 1 判斷函數的單調性并給出證明 2 求函數的最值 x y x

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