初三幾何總復習中的問題解決及變式教學 河南省濮陽范縣張莊一中 范再瑞 郵箱：電話內容摘要：正確面對總復習中出現的問題，選擇變式教學提高學生學習的興趣，提高學生處理問題的能力。關鍵詞：問題解決，變式教學正文：一、前言練習是數學教學的有機組成部分，對學生掌握基礎知識。基本技能和發展能力是不可以缺少的，是他們學好數學的必要條件。初三進入總復習，學生手中的學習資料各式各樣，習題花樣翻新，如何正確對待復習中出現的新問題，從而正確引導，為提高復習效率服務，提高學生解決數學問題的能力是一個非常現實的問題。二、正確對待總復習中出現的問題首先不怕出現問題。美國數學家哈莫斯（P.RHalmog）宣稱“問題是數學的心臟”。自年代始，問題解決已成為世界性數學教學的熱點及核心問題。“問題解決”作為數學教學的新趨勢，已為國內外教育同行認可。許多數學家。心理學家對問題解決進行了大量系統的研究，提出了許多精辟的見解。從他們的見解中不難發現，“問題解決”貫穿整個數學教學過程中，是數學教學所體現的一條主線。在問題解決的方法上也出現了許多模式，其中包括：德國心理學家卡爾。鄧克爾（Kar.Dancker）的范圍漸趨縮小的模式；美國教育家杜威(丁，Dewey)的“五步模式”，波利亞的“四步模式”等。所以，我們應鼓勵學生“提出問題”，聽取他們對“問題解決”的看法。三 數學復習不同于單純知識的教學單純知識的數學，在推理論證之后就基本完結。培養思維的數學教學在獲得論證之后，回顧整個思維過程，檢查得失，加深對所學原理，公式的認識，聯系以往知識中有共同本質的東西，概括帶有普遍性的規律，從而推動同化。順應的深入。在復習階段，學生接觸到更多的是問題，隨著諸多的問題得以解決，學生的能力定會得到相應的提高。在此階段，學生往往忽視對課本基礎知識的復習，一味地鉆研習題集是不對的，作為教師往往也會被學生提出的問題很緊張。此時，教師如果能從學生反應的諸多問題中發現規律，進行歸納。總結，在復習課中適時指導，會收到事半功倍的效果。如果再能將學生復習的焦點向課本中轉移，也會減輕教師疲于奔命的局面，在這個過程中，變式教學可起到一定的作用。1 運用變式教學能促進學生學習的主動性。課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有學習的主動性，有了學習主動性才能積極參與學習。增強學生在課堂中的主動學習意識，使學生真正成為課堂的主人，是現代數學教學的趨勢。變式教學使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動的感覺，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與學習的動力，保持其參與教學活動的興趣和熱情 2 運用變式教學能培養學生的創新精神。創新，即通過舊的知識，新的組合，得出新的結果的過程。“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同。創新學習的關鍵是培養學生的“問題意識，學生有疑問，才會去思考，才能有所創新。在課堂中運用變式教學可以引導學生多側面，多角度，多渠道地思考問題，讓學生多探討，多爭論，能有效地訓練學生思維創造性，大大地激發了學生的興趣，從而培養了學生的創新能力。 3 運用變式教學能培養學生思維的深刻性。變式教學變換問題的條件和結論，變換問題的形式，但不改變問題的本質，使本質的東西更全面。使學生學習時不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，同時學會比較全面地看問題，注意從事物之間的聯系的矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學的內容。 變式教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學的樂趣。總之，在新課標下的教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續完善好“變式”教學模式，最終達到提高教學質量的目的，并為學生學好數學、用好數學打下良好的基礎。四 演化課本例題，激活創新思維中招考試的特殊性（即使選拔性考試，又是水平考試）決定了命題立足于選拔新生的同時，也必須考慮到對初中教學的影響。事實上，數學學科的中招考試是在考查數學基礎知識，基本技能，基本思想和方法，不出現繁雜的計算題和證明題，所以將學生復習的注意力轉移到課本上是很有必要的。下面就以幾何例題的“變式教學”為例，對幾道中招命題進行歸納。案例一POBA圖1例題：（初中數學第三冊上第96頁97頁，切線長定理的證明）如圖1 外一點P，引圓的兩條切線PA,PB求證：PA=PB, APO=BPO證明：PA,PB是的兩條切線， OAAP OBBP又 OA=OB, OP=OPRtAOPRtBOP. PA=PB, APO=BPO變式一 如圖2 ：和外切于點A,BC是和的外公切線。OBB、C為切點。C求證：ABAC（參考如下：.A證明：作兩圓的內公切線AO交BC于O 由切線長定理可知AB=AC圖2BAO=OBA同理可證OAC=OCA又OBA+BAO+OAC+OCA=180CBPBAC=90）。變式二 如圖3 和外A圖3切于點A,內公切線AP交外公切線BC于P。求證：P為Rt （參考：由切線長定理可知BP=AP,AP=CP又因為平角等于180，所以P=90)變式三 圖3題設不變，增加條件，的半徑分別為。求PA的長； 解法1：先證明P為Rt,再由PA，證明PAPA 。BP 得= A圖4ECPA=解法2：如圖4，連接作EB求BC=E=2而PA=BC PA= B D CE A 圖5 變式四：如圖5，變式一條件不變，增加條件過點A作ADBC與D,以CD為直徑的圓交AC于E,連接DE,那么圖中的相似三角形有對。（答案10對）CB變式五：如圖6，變式一條件不變，。設直線BA,CA分別交A和于F,EF求證：（1）BE,CF分別為和圖6E的直徑（2）=BECF（3）若AP為兩圓公切線（AP交BC于P）且AP=2，和半徑之比為1:3，求AP的長。（參考：(1) 由切線長定理可證明BAC=90.，再由臨補角定義可知BAE=CAF=90，再由90的圓周角所對的弦是直徑可以判定BE,CF是直徑。 （2）由（1）可知BE,CF是直徑,所以EBC=FCB=90.再證明 CBF=E,可以推出BECCBF。 所以=,即=BECF（3）容易證明BAEFAC, = 設AC=X.則AE=3X,EC=4X 由AP=2，得BC=4 而=ACEC,=X4X,X=2AE=3X=6）B變式六：如圖7，作過的直線，一定過A交于D,交于F，交BC于E,連接BD.C求證：（1）BDACFDE。(2)EAE=EDEA(3) =圖7(4)若DF=8，AD=6，求EF的長提示：(1)證明DBA=BAC=90 (2) 連接B,C 可以證明= (3) DBABAC EABECA(4)借助第二步結論變式七：如圖8，AC是的切線,是的割線，A,B是焦點求證：APC+BPC=180ACB. . P 圖8變式八：如圖9 ，與相交與P,Q.外公切線BC,B,C是切點B C P Q 圖9求證: BPC+BQC=180案例二例題：(初中數學第三冊下第49頁50頁。 相似三角形應用舉例)C如圖10.左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹根部的距離BD=5m，一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路L 從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端C? (分析，解題過程過程略)AKDBH圖10FEL變式一：如圖11所示，身高1.6米的某學生想測量學校旗桿的高度，當他站在C 處時，他的頭頂的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并且測得AC=2米,BC=8米。求旗桿的高度是多少？參考：設旗桿的高度為X米，根據題意得=，解得X=8A C B 圖11EHF變式二：如圖12，小明在墻上掛了一面鏡子AB，調整好標桿CD，正好通過標桿頂部在鏡子上邊緣A處看到旗桿的頂端E的影子，已知，AB=2米,CD=1.5米,BD=2米,A G CB DBF=20米。求旗桿EF的高度? 參考：解法一：作CD關于AB的對稱 線段，可以將圖形轉化為圖10的形式，進而求解。圖12 解法二：如圖12，作CGAB,AHEF, 容易 證明ACG EAH 所以= 即 =解得 X=7變式三：在陽光下測得1米長的竹竿的影子長度為0.4米，同時，另一個同學測量樹的高度時，發現樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影