第二章推理與證明2 1 2演繹推理 1 什么是演繹推理 2 什么是三段論 3 合情推理與演繹推理有哪些區(qū)別 4 能舉出一些在生活和學(xué)習(xí)中有關(guān)演繹推理的例子 內(nèi)容 應(yīng)用 1 計算2 用三段論的形式寫出演繹推理3 證明 本課主要學(xué)習(xí)演繹推理 從小故事出發(fā) 調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性 讓學(xué)生初步感受演繹推理的過程 重點是了解演繹推理的含義 能利用 三段論 進(jìn)行簡單的推理 難點是掌握演繹推理的基本方法 另外 從問題入手 引導(dǎo)學(xué)生思考探究 在得到演繹推理相關(guān)概念的同時又與合情推理做了對比 這樣學(xué)生的理解和記憶將會更深刻 既突出了重點又突破了難點 為了鞏固新知識 探究了3個例題 例題設(shè)置難易適度 每個例題后有針對性的變式訓(xùn)練 便于學(xué)生鞏固和掌握 另外題型涉及到用演繹推理的概念 一般模式去求解問題 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力 通過設(shè)置難易不同的必做和選做作業(yè) 對不同的學(xué)生進(jìn)行因材施教 歌德是18世紀(jì)德國的一位著名的文藝大師 有一位與其文藝思想相左的文藝批評家 生性古怪 態(tài)度傲慢 天 歌德與他 狹路相逢 不期而遇 這位文藝批評家見歌德迎面走來 不僅沒有有禮貌地打招呼 反而目中無人 高傲地往前直走 并賣弄聰明地大聲說 我從來不給傻子讓路 面對這十分尷尬的情景 歌德鎮(zhèn)定自若 笑容可掬 謙恭地閃避一旁 并機(jī)智而禮貌地答道 呵呵 我可恰恰相反 故作聰明的文藝批評家頓時怔然 討了個沒趣 只得默然離去 在這故事里 無論是文藝批評家還是歌德 各自都只說了一句 而且話語非常簡練 極為深刻 話中有理 語中有刺 他們的對話 體現(xiàn)了演繹推理的三段論法 一 復(fù)習(xí)回顧 合情推理 歸納推理是由特殊到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理 一般過程 從具體問題出發(fā)觀察 分析 比較 聯(lián)想歸納 類比提出猜想 合情推理的結(jié)論不一定成立 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納 類比 然后提出猜想的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 通俗地說 合情推理是指 合乎情理 的推理 合情推理的應(yīng)用 數(shù)學(xué)研究中 得到一個新結(jié)論之前 合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向 1 所有的金屬都能導(dǎo)電 2 一切奇數(shù)都不能被2整除 3 三角函數(shù)都是周期函數(shù) 4 全等的三角形面積相等 所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬 所以 2100 1 不能被2整除 因為 2100 1 是奇數(shù) 所以是tan周期函數(shù) 因為tan三角函數(shù) 那么三角形abc與三角形a1b1c1面積相等 如果三角形abc與三角形a1b1c1全等 觀察上述例子有什么特點 1 演繹推理 由一般到特殊的推理 2007不能被2整除 冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行 銅能導(dǎo)電 進(jìn)一步觀察上述例子有幾部分組成 各有什么特點 大前提 小前提 結(jié)論 2007不能被2整除 冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行 銅能導(dǎo)電 從一般性的原理出發(fā) 推出某個特殊情況下的結(jié)論 這種推理稱為演繹推理 演繹推理的定義 演繹推理的模式 三段論 是演繹推理的一般模式 m p m是p s m s是m s p s是p 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊對象 結(jié)論 據(jù)一般原理 對特殊對象做出的判斷 若集合m的所有元素都具有性質(zhì)p s是m的一個子集 那么s中所有元素也都具有性質(zhì)p 所有的金屬 m 都能夠?qū)щ?p 銅 s 是金屬 m 銅 s 能夠?qū)щ?p m p s m s p 用集合的觀點來理解 三段論推理的依據(jù) 1 因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù) 而是指數(shù)函數(shù) 所以是增函數(shù) 錯因 大前提是錯誤的 所以結(jié)論是錯誤的 演繹推理的結(jié)論一定正確嗎 2 如圖 在 abc中 ac bc cd是ab邊上的高 求證 acd bcd 證明 在 abc中 因為cd ab ac bc所以ad bd 于是 acd bcd 錯因 偷換概念 3 因為金屬銅 鐵 鋁能夠?qū)щ?大前提 而金是金屬 小前提 所以金能導(dǎo)電 結(jié)論 錯因 推理形式錯誤 因為演繹推理是從一般到特殊的推理 銅 鐵 鋁是特殊事例 從特殊到特殊的推理不是演繹推理 2007不能被2整除 冥王星以橢圓形軌道繞太陽運行 銅能導(dǎo)電 大前提 小前提 結(jié)論 3 在演繹推理中 只要前提和推理形式是正確的 結(jié)論必定正確 大前提 刑法規(guī)定搶劫罪是以非法占有為目的 使用暴力 脅迫或其他方法 強(qiáng)行劫取公私財物的行為 其刑事責(zé)任年齡起點為14周歲 對財物的數(shù)額沒有要求 小前提 小明超過14周歲 強(qiáng)行向路人搶取錢財50元 結(jié)論 小明犯了搶劫罪 小明是一名高二年級的學(xué)生 17歲 迷戀上網(wǎng)絡(luò) 沉迷于虛擬的世界當(dāng)中 由于每月的零花錢不夠用 便向親戚要錢 但這仍然滿足不了需求 于是就產(chǎn)生了歹念 強(qiáng)行向路人搶取錢財 但小明卻說我是未成年人而且就搶了50元 這應(yīng)該不會很嚴(yán)重吧 如果你是法官 你會如何判決呢 演繹推理的特點 1 演繹推理的前提是一般性原理 演繹所得的的結(jié)論是蘊含于前提之中的個別 特殊事實 結(jié)論完全蘊含于前提之中 因此演繹推理是由一般到特殊的推理 2 在演繹推理中 前提于結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系 只要前提和推理形式是正確的 結(jié)論必定正確 因此演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格的證明工具 3 在演繹推理是一種收斂性的思維方法 它較少創(chuàng)造性 但卻具有條理清晰 令人信服的論證作用 有助于科學(xué)論證和系統(tǒng)化 合情推理與演繹推理的區(qū)別 合情推理 歸納推理 類比推理 由部分到整體 個別到一般的推理 由特殊到特殊的推理 結(jié)論不一定正確 有待進(jìn)一步證明 演繹推理 由一般到特殊的推理 在大前提 小前提和推理形式都正確的前提下 得到的結(jié)論一定正確 合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證 而演繹推理的方向和思路一般是通過合情推理獲得的 1 下面說法正確的有 1 演繹推理是由一般到特殊的推理 2 演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的 3 演繹推理一般模式是 三段論 形式 4 演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提 小前提和推理形式有關(guān) a 1個b 2個c 3個d 4個 c 例2 用三段論的形式寫出下列演繹推理 1 三角形內(nèi)角和180 等邊三角形內(nèi)角和180 1 分析 省略了小前提 等邊三角形是三角形 是有理數(shù) 2 分析 省略了大前提 所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù) 小前提 是循環(huán)小數(shù) 解 1 三角形內(nèi)角和180 大前提 所以等邊三角形內(nèi)角和是180 結(jié)論 等邊三角形是三角形 小前提 結(jié)論 2 是有理數(shù) 2 下列幾種推理過程是演繹推理的是 a 5和可以比較大小 b 由平面三角形的性質(zhì) 推測空間四面體的性質(zhì) c 東升高中高二級有15個班 1班有51人 2班有53人 3班有52人 由此推測各班都超過50人 d 預(yù)測股票走勢圖 a 例3 證明函數(shù)f x x2 2x在 1 是增函數(shù) 大前提 增函數(shù)的定義 小前提 結(jié)論 例3 證明函數(shù)f x x2 2x在 1 是增函數(shù) 函數(shù)f x x2 2x在 1 是增函數(shù) 大前提 在某個區(qū)間 a b 內(nèi)若 那么函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 小前提 結(jié)論 在銳角三角形abc中 ad bc be ac d e是垂足 用演繹推理 三段論 格式證ab的中點m到d e的距離相等 1 因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形 在 abc中 ad bc 即 adb 900 所以 abd是直角三角形 同理 abe是直