第一章 集合 常用邏輯用語 四種命題與充分條件 必要條件 第3講 解析 命題是可以判斷真假的陳述句 故是命題的序號為 2 命題 若a 1 則a 2 以及它的逆命題 否命題 逆否命題這四個命題中 真命題的個數(shù)是 解析 命題 若a 1 則a 2 真命題 它的逆命題 若a 2 則a 1 假命題 否命題 若a 1 則a 2 假命題 逆否命題 若a 2 則a 1 真命題 所以真命題的個數(shù)為2個 2個 3 已知p是r的充分不必要條件 s是r的必要條件 q是s的必要條件 那么p是q成立的 條件 解析 由題設(shè)得p r s q 若q p 則由r s q 得r p 與題設(shè)p是r的充分不必要條件矛盾 故由q推不出p 即p是q成立的充分不必要條件 充分不必要 4 x 3 是 x2 4 的 條件 解析 x 3 x2 4 x2 4 x 3 所以 x 3 是 x2 4 的充分不必要條件 1 充分不必要 四種命題及其關(guān)系 例1 設(shè)原命題是 已知a b c d是實數(shù) 若a b c d 則a c b d 寫出它的逆命題 否命題 逆否命題 并判斷它們的真假 解析 逆命題 已知a b c d是實數(shù) 若a c b d 則a b c d 假命題 否命題 已知a b c d是實數(shù) 若a b或c d 則a c b d 假命題 逆否命題 已知a b c d是實數(shù) 若a c b d 則a b或c d 真命題 點評 對于命題 要注意大前提以及命題的條件和結(jié)論 在寫命題的其他形式時 大前提一般不動 只是對條件和結(jié)論作相應(yīng)的改寫 變式練習1 已知命題p 若a 0 則方程x2 x a 0有實數(shù)根 寫出命題p的否命題和逆否命題 并分別判斷其真假 解析 否命題 若a 0 則方程x2 x a 0沒有實數(shù)根 該命題是假命題 逆否命題 若方程x2 x a 0無實數(shù)根 則a 0 該命題為真命題 充分 必要條件的判斷 例2 在下列四個結(jié)論中 正確的是 填上你認為正確的所有答案的序號 x 0 是 x x 0 的必要不充分條件 已知a b R 則 a b a b 的充要條件是ab 0 a 0 且 b2 4ac 0 是 一元二次不等式ax2 bx c 0的解集是R 的充要條件 x 1 是 x2 1 的充分不必要條件 解析 因為由x 0推不出x x 0 如x 1 x x 0 而x x 0 x 0 故 正確 因為a 0時 也有 a b a b 故 錯誤 正確的應(yīng)該是 a b a b 的充分不必要條件是ab 0 由二次函數(shù)的圖象可知 正確 x 1時 有x2 1 故 錯誤 正確的應(yīng)該是 x 1 是 x2 1 的必要不充分條件 所以 正確 答案 點評 判斷充分條件和必要條件可以從邏輯上判斷 也可以從命題的關(guān)系上判斷 還可以從集合的角度判斷 同時 要善于通過舉反例說明一個命題不成立 變式練習2 2012 如皋期中卷 x 1 2成立 是 x 1 x 3 0成立 的 請在 充分非必要條件 必要非充分條件 充要條件 既非充分也非必要條件 選擇一個最恰當?shù)慕Y(jié)果填在橫線上 解析 由 x 1 2可得 2 x 1 2 即 1 x 3 所以 x 1 2 x 1 x 3 0 反之亦真 充要條件 充分條件和必要條件的應(yīng)用 點評 要理解充分條件和必要條件 能夠正確地將充分條件和必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系 圖形之間的關(guān)系 也即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 2 2 1 命題 若x2 1 則 1 x 1 的逆否命題是 2 a 2 是 函數(shù)f x x2 ax 1在區(qū)間 1 上為增函數(shù) 的 條件 解析 函數(shù)f x x2 ax 1在區(qū)間 1 上為增函數(shù) 則 1 即a 2 若a 2 函數(shù)f x x2 ax 1在區(qū)間 1 上為增函數(shù) 反之不然 若x 1或x 1 則x2 1 充分不必要 3 命題 若a b 則2a 2b 1 的否命題為 若a b 則2a 2b 1 5 已知集合P x x 1 2 S x x2 a 1 x a 0 若 x P 的充要條件是 x S 求a的值 1 判斷一個語句是否為命題 關(guān)鍵要看能否判斷其真假 陳述句 反意疑問句都是命題 祈使句 疑問句 感嘆句都不是命題 2 在判斷四種命題的相互關(guān)系時 首先要分清原命題的條件和結(jié)論 再寫出其它相應(yīng)命題的條件和結(jié)論 而在判斷命題真假性時 經(jīng)常利用判斷其逆否命題的真假性判