2019年小學數學四年級排列組合習題解答 極客數學幫黃加明老師前面我們已討論了加法原理、乘法原理、排列、組合等問題.事實上，這些問題是相互聯系、不可分割的.例如有時候，做某件事情有幾類方法，而每一類方法又要分幾個步驟完成.在計算做這件事的方法時，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相時，如果對坐的位置有些規定，那么就不再是簡單的排列問題了.類似的問題有很多，要正確地解決這些問題，就一定要熟練地掌握兩個原理和排列、組合的內容，并熟悉它們所解決問題的類型特點. 看下面的例子.例1 由數字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復數字的偶數？分析 注意到由四個數字0、1、2、3可組成的偶數有一位數、二位數、三位數、四位數這四類，所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決.第一類：一位偶數只有0、2，共2個；第二類：兩位偶數，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0，則十位可有C13種取法；若個位取2，則十位有C12種取法.故兩位偶數共有（C13C12）種不同的取法；第三類：三位偶數，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0，則十位和百位共有P23種取法；若個位取2，則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取法，十位也有2種取法，由乘法原理，個位為2的三位偶數有22個，三位偶數共有（P2322）個；第四類：四位偶數.它包含個位為0、2的兩類.若個位取 0，則共有P33個；若個位取 2，則其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2種取法，百位和十位在剩下的兩個數中取，再排成一列，有P22種取法.由乘法原理，個位為2的四位偶數有2P22個.所以，四位偶數共有（P332P22）種不同的取法.解： 由加法原理知，共可以組成2（C13C12）（P2322）（P332P22）25101027個不同的偶數.補充說明：本題也可以將所有偶數分為兩類，即個位為0和個位為2的兩類.再考慮到每一類中分別有一位、兩位、三位、四位數，逐類討論便可求解.例2 國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，第二組7個隊.各組都進行單循環賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環賽，決出冠亞軍.問：共需比賽多少場？如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在A隊所在的城市比賽一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？分析 比賽的所有場次包括三類：第一組中比賽的場次，第二組中比賽的場次，決賽時比賽的場次.中，第一組中8個隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽C28場；第二組中7個隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽C27場；決賽中4個隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽C24場.中，由于是實行主客場制，每兩個隊之間要比賽兩場，比賽場次是中的2倍.另外，還可以用排列的知識來解決.由于主客場制不僅與參賽的隊有關，而且與比賽所在的城市（即與順序）有關.所以，第一組共比賽P28場，第二組共比賽P27場，決賽時共比賽P24場.解： 由加法原理： 行單循環賽共比賽實行主客場制，共需比賽2（C28C27C24）110（場）.或解為：P28P27P24877643564212110（場）.例3 在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個 角形？四邊形？分析 我們知道，不在同一直線上的三個點確定一個三角形，由圖可見，半圓弧上的每三個點均不共線（由于A、B既可看成半圓上的點，又可看成線段上的點，為不重復計算，可把它們歸在線段上），所以，所有的三角形應有三類：第一類，三角形的三個頂點全在半圓弧上取（不含A、B兩點）；第二類，三角形的兩個頂點取在半圓弧上（不包含A、B），另一個頂點在線段上取（含A、B）；第三類，三角形的一個頂點在半圓弧上取，另外兩點在線段上取.注意到三角形的個數只與三個頂點的取法有關，而與選取三點的順序無關，所以，這是組合問題.解：三個頂點都在半圓弧上的三角形共有兩個頂點在半圓弧上，一個頂點在線段上的三角形共有一個頂點在半圓弧上，兩個頂點在線段上的三角形共有由加法原理，這12個點共可以組成C37（C27C15）（C17C25）3510570210（個）不同的三角形.也可列式為C312C3522010210（個）.分析 用解的方法考慮.將組成四邊形時取點的情況分為三類：第一類：四個點全在圓弧上取.（不包括A、B）有C17種取法.第二類：兩個點取自圓弧.兩個點取自直線AB.有取法C27C25種.第三類：圓弧上取3個點，直線上取1個點，有C37C15種取法.解： 依加法原理，這12個點共可組成：C47+ C27C25+C37C1535210175420個不同的四邊形.還可直接計算，這12個點共可組成：C412-C45-C35C174955-70420個不同的四邊形.例4 如下圖，問下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？分析 由于長方形是由兩組分別平行的線段構成的，因此只要看上左圖中水平方向的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線，豎直方向上的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線？由于長方體是由三組分別平行的平面組成的.因此，只要看上頁右圖中，平行于長方體上面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面，平行于長方體右面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的兩個平面，平行于長方體前面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面.解： C25C27210（個）因此，上頁左圖中共有210個長方形.C25C26C24900（個）、因此，上頁右圖中共有900個長方體.例5 甲、乙、丙、丁4人各有一個作業本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，問： 拿到自己作業本的拿法有多少種？恰有一人拿到自己作業本的拿法有多少種？至少有一人沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？誰也沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？分析 甲拿到自己的作業本，這時只要考慮剩下的三個人拿到其他三本作業本的情況.由于其他三人可以拿到自己的作業本，也可以不拿到自己的作業本.所以，共有P33種情況.恰有一人拿到自己的作業本.這時，一人拿到了自己的作業本，而其他三人都沒能拿到自己的作業本.拿到自己作業本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人，共4種情況.另外三人全拿錯了作業本的拿法有2種.故恰有一人拿到自己作業本的情況有42種情況.至少有一人沒有拿到自己的作業本.這時只要在所有拿法中減去四人全拿到自己作業本的拿法即可.由于4人拿作業本的所有拿法是P44，而4人全拿到自己作業本只有1種情況.所以，至少有一人沒拿到自己作業本的拿法有P441種情況.誰也沒拿到自己的作業本.可分步考慮（假設四個人一個一個地拿作業本，考慮四人都拿錯的情況即可）.第一個拿作業本的人除自己的作業本外有3種拿法.被他拿走作業本的人也有3種拿法.這時，剩下的兩人只能從剩下的兩本中拿，要每人都拿錯，只有一種拿法.所以，由乘法原理，共有331種不同的情況.解： 甲拿到自己作業本的拿法有P33321 6種情況；恰有一人拿到自己作業本的拿法有428種情況；至少有一人沒有拿到自己作業本的拿法有P4414321123種情況；誰也沒有拿到自己作業本的拿法有3319種情況.由前面的各例題可以看到，有關排列組合的問題多種多樣，思考問題的方法靈活多變，入手的角度也是多方面的.所以，除掌握有關的原理和結論，還必須學習靈活多樣的分析問題、解決問題的方法.附送：2019年小學數學四年級期末測試題60分鐘 一、謹慎填寫 1. 5和30兩個數，（ ）是（ ）的倍數，（ ）是（ ）的因數。 24的因數有（ ）。21、2、28、31、57和86這些數可以填入下面的哪些圈里？填一填。 奇數 素數 合數3如右圖，一塊三角形紙片被撕去了一個角。 這個角是（ ）度，原來這塊紙片的形狀是（ ）三角形，也是（ ）三角形。 10cm 7cm10cm9cm4在括號里填上“升”或“毫升”。 一瓶椰子汁約有240（ ）。 一個電熱水器能盛水60（ ）。5右邊梯形的上底與下底長度的和是（ ）厘米，高是（ ）厘米。6在 里填“”或“”，在 里填數。 15612 =（1563）（12 ） =（1563）（12 ）7如圖:小紅從家出發，經過學校去超市,有( )條路可以選擇。 學校 小紅家 超市8一張長方形紙，長a厘米，寬b厘米。從這張紙上剪出一個最大的正方形，這個正方形的周長是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。當a=15, b=10時，原來長方形紙的周長是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。二、準確判斷 （對的在括號內打“”，錯的打“”）118500，積的末尾有兩個0。 （ ）2梯形不可能是軸對稱圖形。（ ）3（12K）5605K。 （ ）4一個自然數越大，它的因數個數就越多。（ ）三、慎重選擇 （把正確答案的序號填在括號里）3厘米3厘米6厘米4厘米4厘米4厘米3厘米3厘米5厘米 1下面三組小棒，不能圍成三角形的是（ ）。 2把1升的水倒入容量為200毫升的紙杯中，可以倒（ ）杯。1 5 2003小猴要給一塊地圍上籬笆，（ ）的圍法更牢固些。 4ab的一個乘數乘10，另一個乘數也乘10，得到的積等于（ ）。 原來的積乘100 原來的積乘20 原來的積乘10四、細心計算 1 直接寫出得數。（8分）12300= 20034= 50110= 8000=60050= 40050= 2630 15040=2 用豎式計算。 28307= 76050= 40030=3 計算下面各題，能簡便計算的要用簡便方法計算。 60151560 206（39134） 1255446125 （730802）23 400（27080）7 9999992先畫出平行四邊形底邊上的高，再分別量出底和高的長度。1畫出下面圖形的對稱軸。 （能畫幾條就畫幾條）五、畫畫量量 底 底（ ）毫米，高（ ）毫米3A 小魚圖從右下方移至左上方，先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格。 把梯形繞A點順時針方向旋轉90，畫出旋轉后的圖形。六、解決問題 滬寧路128km3小時后兩車相距多少千米？1每小時73千米每小時87千米 每個茶杯6元,茶壺的價錢是1個茶杯價錢的5倍。買右圖這樣一套茶具，一共要用多少錢？23中國代表團在亞洲運動會上金牌數已經連續七屆高居榜首，下面是中國代表團第715屆亞運會獲得金牌情況統計圖。中國代表團第715屆獲得金牌情況統計圖15012913718394615132 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 單位：塊 XX年1月制 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 從上圖中看出（ ）月份西紅柿售價最高，是（ ）元。第十五屆多哈亞運會中國代表團的金牌數比第十四屆增加了15塊。把上面的統計圖畫完整。（ ）屆亞運會中國代表團獲得的金牌數最多，（ ）最少。金牌數上升最快的是（ ）屆到（ ）屆，下降最快的是（ ）屆到（ ）屆。看了這幅統計圖，你有什么想法？ 中國象棋3副平均每副12元圍 棋4副平均每副？元4 買中國象棋和圍棋一共用去了 96元，平均每副圍棋多少元？ 七、探索規律 先數一數，再填一填，你能發現什么規律？三角形個數123456小棒根數35擺20個這樣的三角形，需要多少根小棒？有59根小棒，能擺出多少個這樣的三角形？小學數學四年級下冊期末測試題參 考 答 案一、謹慎填寫20分（1小題前四空0.5分，6小題每空0.5分，其余各1分）130、5，5、30，1、2、3、4、6、8、12、242奇數：1、31、57 素數：2、31 合數：28、57、86367，銳角，等腰4毫升 升517，963，37684b，b，50，150二、準確判斷（每題1分）1 2. . .三、慎重選擇（每題1分）1. 2. 3. 4.四、細心計算（1題每題1分，2題每題3分，3題每題3分