第二部分 （理科加試內(nèi)容）20、曲線與方程201 曲線與方程 求曲線的方程【知識網(wǎng)絡】1鞏固前期學習的曲線的定義與性質(zhì)，熟悉圓錐曲線的統(tǒng)一定義2體會曲線與方程的對應關系3進一步感受數(shù)形結合的基本思想【典型例題】例1（1）圓心在拋物線（）上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程是（ ）A BC D（2）已知兩點M（1，），N（4，），給出下列曲線方程：4x2y1=0x2y2=3y2=1y2=1在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程的代號是 （ ）A B C D（3）條件A：曲線C上所有點的坐標都是方程f(x,y)=0的解；條件B：以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上則A與B關系是（ ）AA是B的充分不必要條件 BA是B的必要不充分條件CA是B的充要條件 DA既不是B的充分條件也不是B的必要條件（4）已知曲線C：xy2xky3=0經(jīng)過點（1，2），則k=（5）點（m,n)在圓x2y22x4y=0外，則m，n滿足的條件是例2求到兩不同定點距離之比為一常數(shù)（0）的動點的軌跡方程例3 已知三點A(-2-a,0)，P(-2-a，t)，F(xiàn)(a,0),其中a為大于零的常數(shù)，t為變數(shù)，平面內(nèi)動點M滿足=0，且=+2（1）求動點M的軌跡；（2）若動點M的軌跡在x軸上方的部分與圓心在C(a+4,0)，半徑為4的圓相交于兩點S，T，求證：C落在以S、T為焦點過F的橢圓上例4 已知點P(-3,0)，點A在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線AQ上，滿足（1） 當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡C的方程；（2） 設軌跡C的準線為l，焦點為F，過F作直線m交軌跡C于G，H兩點，過點G作平行于軌跡C的對稱軸的直線n，且nl=E，試問點E，O，H（O為坐標原點）是否在同一條直線上？并說明理由【課內(nèi)練習】1方程表示的圖形是（ ）A一條直線和一條雙曲線 B兩條雙曲線 C兩個點 D以上答案都不對2下列各組方程中表示同一曲線的是 （ ）Ax2=y與x=By2x1=0與Cy=|x|與x2y2=0 Dy1=與y2xxy1=03到x軸y軸距離之積等于常數(shù)k（k0）的點的軌跡所在象限是（ ）A一、三象限 B二、四象限 C第一象限 D第一、二、三、四象限4長為m的一條線段AB，其兩段分別在x軸正半軸和y軸正半軸上移動，則線段的中點軌跡是 （ ）A直線的一部分 B圓的一部分 C橢圓的一部分 D一個以原點為圓心半徑為的圓5 到兩定點（1，0），（1，0）的距離之比等于2的點的軌跡方程是6已知動拋物線以x軸為準線，且經(jīng)過點（0，1），則拋物線的焦點的軌跡方程是7橢圓上一點到其左準線的距離是2，則到右焦點的距離等于8已知動點P到定點(3，0)的距離比它到直線x1=0的距離大2，求動點P的軌跡方程9拋物線y2=2px(p0)有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點為原點，一直角邊的方程為y=2x，斜邊長為5，求拋物線的方程10已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值，且的最小值為（1）求動點的軌跡方程； （2）若已知，、在動點的軌跡上且，求實數(shù)的取值范圍201 曲線與方程 求曲線的方程A組1方程表示的圖形是 （ ）A一條直線 B兩條平行線段 C一個正方形 D一個正方形（除去四個頂點）2已知線段AB=2，動點M到A，B兩點的距離的平方差是10，則動點的軌跡是（ ）A一條直線 B一個圓 C一個橢圓 D雙曲線3已知直角ABC的斜邊BC的兩個端點分別在x軸正半軸、y軸正半軸上移動，頂點A和原點分別在BC的兩側，則點A的軌跡是 （ ）A線段 B射線 C一段圓弧 D一段拋物線4拋物線y2=6x的斜率為2的平行弦的中點軌跡方程是5點Q是雙曲線x24y2=16上任意一點，定點A（0，4），則內(nèi)分所成比為的點P的軌跡方程是6已知動圓過點F1（5，0）且與定圓x2y210x11=0相外切，求動圓圓心的軌跡方程7已知常數(shù)。經(jīng)過原點O以為方向向量的直線與經(jīng)過定點為方向向量的直線相交于P，其中。試問：是否存在兩個定點E、F，使得為定值。若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由。8A、B是兩個定點，且|AB|=8，動點M到A點的距離是10，線段MB的垂直平分線l交MA于點P，若以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立直角坐標系.（）試求P點的軌跡C的方程；（）直線mxy4m=0(m)與點P所在曲線C交于弦EF，當m變化時，試求AEF的面積的最大值.B組1已知點P（x,y)在以原點為圓心的的單位圓上運動，則點Q（xy,xy)的軌跡是（ ）A圓 B拋物線 C橢圓 D雙曲線2點P與兩定點F1（a,0),F2(a,0)（a0)的連線的斜率乘積為常數(shù)k，當P點的軌跡是離心率為2的雙曲線時，k的值是（ ）A3BCD43方程表示的曲線是（ ）A 直線 B雙曲線 C橢圓 D拋物線4過點M（2，0）作直線l交雙曲線x2y2=1于A，B兩點，以OA，OB為一組鄰邊作OAPB，則P點的軌跡方程是5從直線y=x上一點P引拋物線y=x21的兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB中點的軌跡方程是6已知兩個定點A，B距離是6，動點M滿足MBA=2MAB，求動點M的軌跡方程7已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.8已知當橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b時，橢圓的面積是ab請針對橢圓，求解下列問題：（1）若m，n是實數(shù)，且|m|5，|n|4求點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率以及點P落在橢圓上的概率（2）若m，n是整數(shù)，且|m|5，|n|4求點P（m，n）落在橢圓外的概率以及點P落在橢圓上的概率201 曲線與方程 求曲線的方程【典型例題】例1、D提示：過拋物線的焦點（，0）作x軸的垂線，與拋物線的交點即為圓心，半徑是1（2）D提示：看MN的中垂線與曲線有沒有公共點（3）D提示：聯(lián)想曲線方程的定義（4）提示：坐標代入（5）m2n22m4n0提示：（m,n)到圓心的距離大于半徑例2、以兩不同定點A，B所在的直線為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系設（x,y）是軌跡上任一點，A(-a,0)，B(a,0)，（a）由題設得，即，當時，方程x=0表示一條直線當時，方程為，表示一個圓所以當時，點的軌跡是一條直線；當時，點的軌跡是一個圓例3、 (1)=0 又=+2M在以F為焦點,x=-a為準線的拋物線上 動點M的軌跡方程：y2=4ax（2）證明：過S、T分別作準線x=-a的垂線，垂足分別為S1、T1，設S(x1,y1)，T(x2,y2)則SF+TF=SS1+TT1= x1+x2+2a由得x2+(2a-8)x+a(a+8)=0 x1+x2=8-2aSF+TF=8即SF+TF=CS+CTC落在以S、T為焦點，且過F的橢圓上例4、（1）設點M的坐標為(x,y)，則由得A(0,-)得(3,)=0y2=4x所求動點M的軌跡C的方程：y2=4x(2)軌跡C的焦點為F（1，0），準線為l：x=-1，對稱軸為x軸，當直線m的傾角為90時，直線m的方程為x=1，代入y2=4x，得y=2，H(1,2),G(1,-2),nl=E(-1,-2),顯然E，O，H三點共線當直線的傾角不為90時，直線m的方程為y=k(x-1)，代入y2=4x，得y2-y-4=0設H、G的坐標分別為()，()，則y1y2=-4nl=E(-1,y2)y2),-y2-y2=-y2+y2=0E，O，H三點共線【課內(nèi)練習】1C 提示：將問題轉化成一個方程組2D提示：注意：變量的取值范圍3D提示：取一個具體的k=1，畫圖觀察4B提示：動點移動有范圍53x23y210x3=0提示：直接設動點坐標建立方程并化簡6x2y22y=0(y0)提示：用拋物線定義78提示：聯(lián)想橢圓的兩個定義8由已知動點P到定點(3，0)的距離等于到定直線x=3的距離，根據(jù)拋物線定義，P點的軌跡是以(3，0)為焦點，x=3為準線的拋物線 故P點軌跡方程為：y2=12x9由得，由得交點坐標為（8p,4,p),用勾股定理得p2=,因p0，故拋物線的方程是10(1)由題意，設（），由余弦定理得又，當且僅當時， 取最大值，此時取最小值，令，解得，故所求的軌跡方程為（2）設，則由，可得，故， 、在動點的軌跡上，故且，消去可得，解得，又，解得，故實數(shù)的取值范圍是201 曲線與方程 求曲線的方程A組1D提示：注意：字母的取值范圍2A提示：建立坐標系設動點的坐標，求軌跡方程3A提示：用參數(shù)法設角為參數(shù)4y=(x)提示：參數(shù)法求軌跡5提示：用定比分點及坐標轉移法6根據(jù)已知條件動圓與定圓相外切則兩圓心之間的距離等于兩圓的半徑之和，又動圓過定點根據(jù)雙曲線的定義，可直接判斷動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，從而求得動圓圓心的軌跡方程故所求軌跡方程為：7根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點的坐標滿足方程.整理得 因為所以得： （i）當時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F； （ii）當時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點； （iii）當時，方程也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點8（）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，則A（4，0），B（4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 2a=10,2c=8,a=5,c=4P點軌跡為橢圓=1 （）mxy4m=0，過橢圓右焦點B（4，0） (m0)(25+)y2+y81=0|y1y2|=m為直線斜率可令m=tan,代入上式得:|y1y2|= (sin0)=，當且僅當sin=,|y1y2|max=(SAEF)max=B組1B提示：用參數(shù)法2A提示：求出雙曲線方程及其離心率（含k），再用離心率計算公式3B點（x,y)到定點（2，2）的距離與到定直線xy3=0的距離之比是4x2y24x=0(x0)提示：利用平行四邊形對角線互相平分求解5y=2x2x2提示：用法結合韋達定理6以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設出點的坐標，用二倍角的正切公式得到方程，化簡得：y=0(3x3)或3x2y26x9=07按題意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）設，由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為：， 直線GE的方程為：.從，消去參數(shù)k，得點P（x，y）坐標滿足方程，整理得.當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.當時，點P到橢圓兩個焦點的距離之和為定值.當時，點P到橢圓兩個焦點的距離之和為定值.8（1）當m，n是實數(shù)，且|m|5，|n|4時，所有形如（m，n）的點覆蓋的圖形的面積是80橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為20故點P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率為=由于橢圓是條曲線，線上