第二節平面向量基本定理及坐標表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面內的兩個向量 那么對于這一平面內的任意向量a 一對實數 1 2 使a 其中 e1 e2叫做表示這一平面內所有向量的一組 有且只有 不共線 1e1 2e2 基底 2 平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量i j作為基底 對于平面內的一個向量 有且只有一對實數x y 使 xi yj 把有序數對叫做向量的坐標 記作 x y x y i j A B C xi yj x y x y a a a x y 當一個向量的起點在坐標原點時 該向量的坐標就是該向量終點的坐標 yj xi a 3 平面向量的坐標運算 1 加法 減法 數乘運算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 向量和的坐標等于對應坐標的和 向量差的坐標等于對應坐標的差 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 2 向量坐標的求法 已知A x1 y1 B x2 y2 則 即一個向量的坐標等于 x2 x1 y2 y1 該向量終點的坐標減去始點的坐標 3 平面向量共線的坐標表示 設a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 則a與b共線 a b x1y2 x2y1 0 a與b共線 b a x1y2 x2y1 0 不能 有可能為0 A B C D 解析 AB 2 4 AC 1 3 BC AC AB 1 1 BD AD AB BC AB 3 5 B 例2 設向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量4a 4b 2c 2 a c d的有向線段首尾相接能構成四邊形 則向量d為 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解析 由題知4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 且4a 4b 2c 2 a c d 0 則 4 12 6 20 4 2 d 0 0 故d 2 6 D 例3 2009年遼寧卷 在平面直角坐標系xOy中 四邊形ABCD的邊AB DC AD BC 已知A 2 0 B 6 8 C 8 6 則D點的坐標為 A 2 0 B 6 8 C 8 6 D 解析 設D點的坐標為 x y x y AD BC 即 2 2 x 2 y X 2 2 y 2 X 0 y 2 D點坐標為 0 2 0 2 由題意知四邊形ABCD為平行四邊形 例4 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 a mb nc 5 5 6m n 3m 8n 2 5 6m n 5 3m 8n 解得 m 1 n 1 3 CM OM OC OM CM OC 3 1 8 3 4 M 0 20 又 CN ON OC ON CN OC 2 6 3 3 4 9 2 N 9 2 MN 9 18 練習 已知點A 1 2 B 2 8 以及AC DA 求點C D的坐標和CD的坐標 解 A 1 2 B 2 8 AB 3 6 AC 1 2 DA 1 2 又 AC 0C OA 0C AC 0A 1 2 1 2 0 4 C 0 4 又 DA 0A 0D 0D 0A DA 1 2 1 2 2 0 D 2 0 例5已知平面內三個向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 若 a kc 2b a 求實數k 解 由已知得a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 a kc 2b a 3 4k 2 5 2 k 0 解得k 如圖所求 已知點A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC和OB的交點P的坐標 練習 解 設P x y A 4 0 B 4 4 C 2 6 0P x y 0B 4 4 AP x 4 y AC 2 6 0P 0B共線 x 4 6 y 2 0 4x 4y 0 P 3 3 又 AP AC共線 由 得x 4 y 3 小結 1