多邊形的內角和外角和教案1教學目標：知識與技能：1敘述多邊形的定義2熟記多邊形的內角和公式過程與方法：1經歷探索多邊形內角和公式的過程，進一步發展學生的合情推理意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系2探索并了解多邊形的內角和公式，進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力情感、態度與價值觀：1通過師生共同活動，訓練學生的發散性思維，培養學生的創新精神2使學生懂得數學內容普遍存在相互聯系，相互轉化的特點教學重、難點：教學重點：多邊形的內角和教學難點：多邊形的內角和的公式推導教學過程：巧設情景問題，引入課題師前面我們學習了三角形、平行四邊形，今天我們要學習什么內容呢？請看大屏幕(出示投影片：石英鐘、六角螺母、地板磚等)師剛才大家看到許多實物圖片，它與數學圖形聯系起來，你知道它們各是什么圖形？生四邊形、五邊形、六邊形、八邊形師對，這些在日常生活中經常看到的圖形，就是我們這節課要研究的內容多邊形講授新課師什么叫多邊形呢？多邊形是由一些不在同一直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形我們在初中階段主要探討的平面幾何所以現在定義的多邊形應在同一平面內，即：在平面內，由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形在定義中應注意：若干條；首尾順次相連，二者缺一不可多邊形有凸多邊形和凹多邊形之分，如圖把多邊形的任何一邊向兩方延長，如果其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形(如圖(2)圖(1)的多邊形是凹多邊形我們探討的一般都是凸多邊形多邊形的邊、內角、頂點、對角線、內角和的含義與三角形相同，即：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點對角線：在多邊形中，連結不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角如圖：多邊形通常以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數最少的多邊形多邊形的表示方法與三角形、四邊形類似可以用表示它的頂點的字母來表示，如可順時針方向表示，也可逆時針方向表示，如圖(3)，可表示為五邊形ABCDE，也可表示為五邊形EDCBA，還可以用下標表示為五邊形A1A2A3A4A5，n邊形可表示為n邊形A1A2A3An(n3的自然數)三角形可用三條邊來表示，四邊形可用四條邊來表示n邊形呢？要畫多少條邊來表示呢？我們可用虛線表示省略的邊，其余的邊用實線表示如上圖，就是n邊形A1A2A3Ann邊形有n條邊，n個頂點，n個內角好，我們了解了多邊形的有關概念后，看一幅圖及問題(1)上圖中廣場中心的邊緣是一個五邊形，你能設法求出它的五個內角的和嗎？與同伴交流(2)小明、小亮分別利用下面的圖形求出了該五邊形的五個內角的和你知道他們是怎么做的嗎？(3)還有其他的方法嗎？(學生討論、畫圖、歸納)生甲(1)求五邊形的內角和可以利用量角器測每個內角的度數，然后求出這五個內角的和，即是五邊形的內角和為540也可以把五邊形分割成三角形，因為三角形的內角和是180生乙小明是直接把五邊形的五個內角分割在3個三角形中(如圖(1)，每個三角形的內角和是180，所以五邊形的內角和為3180=540小亮是在五邊形內任意取一個點，然后把五邊形分割成五個三角形(如圖(2)，但從圖中可以知道，這時多了一個周角，即360因此，五邊形的內角和為：1805360=540生丙也可以在五邊形的任一條邊上取一個點，然后這個點與各頂點連結，這時五邊形被分割成四個三角形(如圖(3)，但多了一個平角，即180，因此，五邊形的內角和為：1804180=540生丁在五邊形外任取一點，將這點與五邊形的各頂點連結起來，這時五邊形被分割成四個三角形，此時，從圖中可以看出多出一個三角形因此五邊形的內角和為1804180=540師很不錯，同學們回答得很好，在求五邊形的內角和時，先把五邊形轉化成三角形進而求出內角和，這種由未知轉化為已知的方法是我們數學中一種非常重要的方法下面大家來“想一想”1按如下圖(5)所示的方法，六邊形能分成多少個三角形？n邊形(n是大于或等于3的自然數)呢？2你能確定n邊形的內角和嗎？師同學們可以多畫幾個邊數不一樣的多邊形，來總結歸納分割多邊形的方法生甲如圖(5)，從五邊形的一個頂點向和它不相鄰的頂點引了兩條對角線，這時五邊形分成三個三角形；從六邊形的一個頂點向和它不相鄰的頂點引了三條對角線，這時六邊形分成了四個三角形；從七邊形的一個頂點向和它不相鄰的頂點引四條對角線，這時七邊形分成了五個三角形從n邊形的一個頂點向和它不相鄰的頂點引(n3)條對角線，把n邊形分成了(n2)個三角形生乙從n邊形的一個頂點出發，向自身和相鄰的兩個頂點無法引對角線，向其他頂點共引(n3)條對角線，這時n邊形被分割成(n2)個三角形，因為每個三角形的內角和是180，所以n邊形的內角和為(n2)180師要求n邊形的內角和，關鍵是將n邊形分割轉化為有公共頂點的三角形；由三角形的內角和得到n邊形的內角和即：n邊形的內角和為(n2)180大家想一想，n邊形的內角和公式中，字母n取值有沒有范圍？生有，必須是大于3的自然數師對，同學們口答一下：12邊形的內角和是多少呢？生齊聲1800師很好，要求n邊形的內角和，只需把n代入內角和公式：(n2)180，即可算出下面大家“想一想”觀察下圖中的多邊形，它們的邊、角有什么特點？生這五個多邊形，每個多邊形的邊都相等，內角也都相等師很好，在平面內，內角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形，如上圖中的多邊形分別為：正三角形、正四邊形即正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形正多邊形都是軸對稱圖形，邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形下面大家想一想，議一議：1一個多邊形的邊都相等，它的內角一定都相等嗎？2一個多邊形的內角都相等，它的邊一定都相等嗎？3正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內角分別是多少度？生甲一個多邊形的邊都相等，它的內角也一定都相等，如正三角形、正方形生乙錯的如菱形的四條邊相等，但它的內角不一定都相等，所以應該說：一個多邊形的邊都相等，它的內角不一定都相等生丙一個多邊形的內角都相等，它的邊不一定都相等，如：矩形的內角都是直角，但它的邊未必都相等師同學們從不同角度進行分析，得到了準確的答案，非常好，接下來看第(3)小題生丁因為正多邊形的每個內角都相等，且它的內角和為(n2)180，所以，正n邊形的每個內角為：180因此，正三角形的內角是：正方形的內角是：180=90正五邊形的內角是：180=108正六邊形的內角是：180=120正八邊形的內角是：180=135師很好，接下來我們做練習來鞏固多邊形的內角和公式例1、如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？已知：四邊形ABCD的AC=180求：B與D的關系分析：本題要求B與D的關系，由于已知AC=180，所以可以從四邊形的內角和入手，就可得到完滿的答案解：如圖，四邊形ABCD中，AC180A+B+C+D=(42)360=180，BD=360(AC)=180這就是說：如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補課堂練習1如下圖(1)作多邊形所有過頂點A的對角線，并分別用字母表示出來(2)求這個多邊形的內角和解：(1)如下圖：過頂點A的對角線是AC、AD、AE(2)從(1)圖中可知：這個六邊形被過頂點A的對角線分割成四個三角形，所以，這個多邊形的內角和為1804=720也可以利用多邊形的內角和公式進行計算即：(62)180=720課時小結本節課我們研究了多邊形的定義及其內角和公式，重點探討了多邊形的內角和公式即：n邊形的內角和等于(n2)180，它揭示了多邊形內角和與邊數之間的關系課后作業課本P145習題59的1、2、3多邊形的內角和外角和教案2教學目標：知識與技能：1認識多邊形的外角2熟記多邊形的外角和公式過程與方法：1經歷探索多邊形的外角和公式的過程進一步發展學生的合情推理意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系2探索并了解多邊形的外角和公式，進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力情感、態度與價值觀：培養學生勇于實踐、大膽創新的精神和積極探求客觀真理的科學態度，滲透數學中普遍存在的相互聯系、相互轉化及數學來源實踐，又反過來作用于實踐的觀點教學重、難點：教學重點：多邊形的外角和公式及其應用教學難點：多邊形的外角和公式的應用教學過程：巧設情景問題，引入課題師大家清早跑步嗎？小明每天堅持跑步，他怎樣跑步呢？清晨，小明沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角？在圖中標出它們(2)他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出1+2+3+4+5嗎？你是怎樣得到的？師同學們來分組討論，演示一下(學生6人一組，可實地做一做，讓學生體會數學與現實生活的聯系)生甲(1)小明每從一條街道轉到下一街道時，身體轉過的角(如圖中)是1、2、3、4、5(2)我們五個人做為五邊形的頂點，圍成一個五邊形，由伴為小明進行跑步，跑完一圈后，他的身體轉過的角度之和是360(3)由上述知道：1，2，3，4，5分別是小明從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角，而他跑一圈，身體轉過的角度是360，因此得：1+2+3+4+5=360生乙我們討論的結果和甲同學的一樣，只不過求1、2、3、4、5的和時，我們組是先畫了一個如投影所示的五邊形然后把1、2、3、4、5這五個角剪下，將它們的頂點拼在一起，即各角的頂點重合，這時發現這五個角正好組成了一個周角由此得到：1+2+3+4+5=360師很好，下面大家來看小亮的思考：如圖所示，過平面內一點O分別作與五邊形ABCDE各邊平行的射線OA、OB、OC、OD、OE，得到、，其中：=1，=2，=3，=4，=5、恰好組成一個周角這樣，1、2、3、4、5的和等于360師小亮也驗證了大家得到的結論，好，大家看圖，1、2、3、4、5不是五邊形的角，那是什么角呢？它們的和叫什么呢？生這五個角是五邊形的外角，它們的和叫外角和師很好，我們這節課就來探討多邊形的外角、外角和講授新課師那什么是多邊形的外角、外角和呢？我們可類似三角形的外角定義來定義多邊形的外角多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和一般地，在多邊形的任一頂點處按順(逆)時針方向可作外角，n邊形有n個外角那多邊形的外角和是多少呢？我們來回憶一下：三角形的外角和為多少？生齊360師好，剛才我們又研究了五邊形的外角和，它為360，那大家想一想如果廣場的形狀是六邊形、八邊形它們的外角和也等于360嗎？(學生討論，得出結論)生甲我們通過討論，演示得到：六邊形的外角和是360，八邊形的外角和是360生乙老師，能不能由此得出：多邊形的外角和都等于360呢？師誰來解決這個問題呢？生丙由五邊形、六邊形和八邊形的外角和都等于360，不能得出所有多邊形的外角和都等于360，只能是猜想：多邊形的外角和都等于360師能得證嗎？生丁因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角，所以，n邊形的外角和加內角和等于n180，內角和為(n2)180，因此，外角和為：n180(n2)180=360師很好，由此我們得到了多邊形的外角和公式：多邊形的外角和都等于360師由此可知，多邊形的外角和與多邊形的邊數無關，它恒等于360下面大家來師好，學完了外角和公式，現在我們來應用一下，以熟悉鞏固外角和公式例2一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？分析：這是多邊形的內角和公式與外角和公式的簡單應用根據題意，可列方程解答(讓學生動手解答)解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和是(n2)180，外角和等于360，所以：(n2)180=3360解得：n=8這個多邊形是八邊形師好，通過同學們的解答，知道大家基本掌握了多邊形的外角和公式，接下來我們通過練習進一步鞏固外角和公式課堂練習1一個多邊形的外角都等于60，這個多邊形是n邊形？解：因為多邊形的外角