對數來自 維基百科 各種底數的對數: 紅色函數底數是e, 綠色函數底數是10，而紫色函數底數是1.7。在數軸上每個刻度是一個單位。所有底數的對數函數都通過點（1,0），因為任何數的0次冪都是1，而底數的函數通過點（, 1），因為任何數的1次冪都是自身1。曲線接近y軸但永不觸及它，因為x=0的奇異性。在數學中，數x（對于底數）的對數是y的指數y，使得x=y。底數的值一定不能是1或0(在擴展到復數的復對數情況下不能是1的方根)，典型的是e、10或2。數x(對于底數)的對數通常寫為。 當x和進一步限制為正實數的時候，對數是1個唯一的實數。 例如，因為， 我們可以得出， 用日常語言說，對81以3為基的對數是4。對數函數函數logx依賴于和x二者，但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如logx的函數，在其中底數是固定的而只有一個參數x。所以對每個基的值（不得是負數、0或1）只有唯一的對數函數。從這個角度看，底數的對數函數是指數函數y = x的反函數。詞語“對數”經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的1個特定值。對數函數圖像和指數函數圖像關于直線y=x對稱，互為逆函數。對數函數的性質有：1. 都過(1,0)點； 2. 定義域為|R|0，值域為R； 3. 1，在(0,+)上是增函數；10時，在(0,+)上是減函數。 常用公式 和差 基變換 指系 還原 互換 倒數 鏈式 有理和無理指數如果n是有理數，n表示等于的n個因子的乘積:。 但是，如果是不等于1的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數n（參見冪）。類似的，對數函數可以定義于任何正實數。對于不等于1的每個正底數，有一個對數函數和一個指數函數，它們互為反函數。對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用于天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。底數最常用做底數的是e 、10和2。當寫出不帶底數的“log”的時候，意圖要從上下文中確定: 自然對數Natural log):,有時寫為);在微積分、數論中。 常用對數(Common log, lc)10進制對數(Decimal log, ld)、科學對數(Scientific log, ls):或簡寫(極易產生歧義)為,有時寫為;在工程中和在使用對數表簡化計算的時候。 二進制對數(Binary log):;有時寫為lbx;在信息論和音程中。 不確定對數在底數無關緊要的時候，比如計算復雜性理論用大O符號描述算法的漸進行為的時候。 為了避免混淆，在可能有歧義的時候最好指定底數。底數變換（換底公式）盡管有很多有用的恒等式，對計算器最重要的是找到不是建造于計算器內的底數(通常是loge和log10)的其他底數的對數。要使用其他底數找到底數的對數:。 此外，這個結果蘊涵了所有對數函數（任意底數）都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:。 對數的用途對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式bn = x中，b可以從x的n次方根，n從x的b底數的對數，x從b的n次的冪來確定。參見對數恒等式得到掌控對數函數的一些規則。簡便計算對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易:數的運算冪的運算對數恒等式這些關系使在兩個數上的這種運算更快，在加法計算器出現之前正確的使用對數是基本技能。群論從純數學的觀點來看，恒等式， 在兩種意義上是基本的。首先，其他3個算術性質可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。復對數復對數計算公式， 微積分自然對數函數的導數是。 通過應用換底規則，其他底數的導數是。 自然對數的不定積分是而其他底數對數的不定積分是。 計算自然對數的級數有一些級數用來計算自然對數。1最簡單和低效的是:當。 下做推導：由。 在兩邊積分得到。 設并因此，得到更有效率的級數是對帶有正實部的z。推導：代換-x為x，得到。 做減法，得到。 設并因此，得到。 例如，應用這個級數于得到并因此在這里我們在第一行的總和中提出了因數1/10。對于任何其他底數，我們使用。 計算機多數計算機語言把log(x)用做自然對數，而常用對數典型的指示為log10(x)。參數和返回值典型的是浮點數據類型。因為參數是浮點數，可以有用的做如下考慮:浮點數值x被表示為尾數m和指數n所形成的x = m2n。 因此ln(x) = ln(m) + nln(2)。 所以，替代計算ln(x)，我們計算對某個m的ln(m)使得1 m 2。有在這個范圍內的m意味著值總是在范圍內。某些機器使用在范圍內的尾數，并且在這個情況下u的值將在范圍內。在任何一種情況下，這個級數都是更容易計算的。一般化普通的正實數的對數一般化為負數和復數參數，盡管它是多值函數，需要終止在分支點0上的分支切割，來制作一個普通函數或主分支。復數z的（底數e）的對數是復數ln(|z|) + i arg(z)，這里的 |z| 是z的模，arg(z)是輻角，而i是虛單位；詳情參見復對數。離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程bn = x，這里的b和x是這個群的元素，而n是指定在群運算上的冪。對于某些有限群，據信離散對數是非常難計算的，而離散指數非常容易。這種不對稱性可用于公開密鑰加密。矩陣對數是矩陣指數的反函數。對于不等于1的每個正數b，函數logb (x)是從在乘法下的正實數的群到在加法下（所有）實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函數可以擴展為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。歷史對數方法是蘇格蘭的Merchiston男爵約翰納皮爾1614年在書Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio2中首次公開提出的。(Joost Brgi獨立的發現了對數；但直到納皮爾之后4年才發