量子力學題庫一、 簡答題1 試寫了德布羅意公式或德布羅意關系式，簡述其物理意義答：微觀粒子的能量和動量分別表示為：其物理意義是把微觀粒子的波動性和粒子性聯系起來。等式左邊的能量和動量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長則是描述波的特性的量。2 簡述玻恩關于波函數的統計解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？答：波函數的統計解釋是：波函數在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。按這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。3 根據量子力學中波函數的幾率解釋，說明量子力學中的波函數與描述聲波、光波等其它波動過程的波函數的區別。答：根據量子力學中波函數的幾率解釋，因為粒子必定要在空間某一點出現，所以粒子在空間各點出現的幾率總和為1，因而粒子在空間各點出現的幾率只決定于波函數在空間各點的相對強度而不決定于強度的絕對大??；因而將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態不變，這是其他波動過程所沒有的。4 設描寫粒子狀態的函數可以寫成，其中和為復數，和為粒子的分別屬于能量和的構成完備系的能量本征態。試說明式子的含義，并指出在狀態中測量體系的能量的可能值及其幾率。答：的含義是：當粒子處于和的線性疊加態時，粒子是既處于態，又處于態。或者說，當和是體系可能的狀態時，它們的線性疊加態也是體系一個可能的狀態；或者說，當體系處在態時，體系部分地處于態、中。在狀態中測量體系的能量的可能值為和，各自出現的幾率為和。5 什么是定態？定態有什么性質？答：定態是指體系的能量有確定值的態。在定態中，所有不顯含時間的力學量的幾率密度及向率流密度都不隨時間變化。6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？兩者的關系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態的改變。泡利不相容原理是指不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態。兩者的關系是由全同性原理出發，推論出全同粒子體系的波函數有確定的交換對稱性，將這一性質應用到費米子組成的全同粒子體系，必然推出費米不相容原理。7 試簡述波函數的標準條件。答：波函數在變量變化的全部區域內應滿足三個條件：有限性、連續性和單值性。8 為什么表示力學量的算符必須是厄米算符？答：因為所有力學量的數值都是實數。而表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可能值，所以表示力學量的算符的本征值必須是實數。厄米算符的本征值必定是實數。所以表示力學量的算符必須是厄米算符。9 請寫出微擾理論適用條件的表達式。答：， 10 試簡述微擾論的基本思想。答：復雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。 是可求出精確解的，而 可看成對 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。11 簡述費米子的自旋值及其全同粒子體系波函數的特點，這種粒子所遵循的統計規律是什么？答：由電子、質子、中子這些自旋為的粒子以及自旋為的奇數倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數是反對稱的，這類粒子服從費米(Fermi) 狄拉克 (Dirac) 統計，稱為費米子。12 通常情況下，無限遠處為零的波函數所描述的狀態稱為什么態？一般情況下，這種態所屬的能級有什么特點？答：束縛態，能級是分立的。13 簡述兩個算符存在共同的完備本征態的充要條件，并舉一例說明（要求寫出本征函數系）。在這些態中，測量這兩個算符對應的力學量時，兩個測量值是否可以同時確定？答：兩個算符存在共同的完備本征函數系的充要條件是這兩個算符對易。例如，這兩個算符有共同的完備本征函數系。14 若兩個力學量的算符不對易，對這兩個力學量同時進行測量時，一般地它們是否可以同時具有確定值？它們的均方偏差之間有什么樣的關系？答：不可能同時具有確定值。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關系。15 請寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。答： 16 指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 ； ； 解：是線性算符 不是線性算符 是線性算符 17 指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。 18 下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？ ， ， ， 解： 不是的本征函數。 不是的本征函數，其對應的本征值為1。 可見，是的本征函數，其對應的本征值為1。 是的本征函數，其對應的本征值為1。 是的本征函數，其對應的本征值為1。 19 問下列算符是否是厄米算符： 解： 因為 不是厄米算符。 是厄米算符。20 全同粒子體系的波函數應滿足什么條件？答：描寫全同粒子體系的波函數只能是對稱的或是反對稱的，且它們的對稱性不隨時間改變。二、 證明題1 已知粒子在中心力場中運動，試證明（角動量在方向的分量）是守恒量。證：因為粒子在勢函數為的中心力場中運動時，哈密頓算答是 因為與、有關而與無關，且所以，2 試證：對于一維運動，設有兩個波函數及是對應于同一級量E的解，則常數。其中，“”是對x的微商。證：因為，所以湊全微分得：積分得： 常數3 試證明：一維運動的束縛態都是不簡并的。證明：設和是對應于同一能級E的不同本征態，則常數。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個態。4 試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況 為厄密算符, 為厄密算符, 為實數 為厄密算符 為厄密算符5 已知軌道角動量的兩個算符 和 共同的正交歸一化本征函數完備集為 ,取 試證明: 也是 和 共同本征函數, 對應本征值分別為: 。證。 是 的對應本征值為 的本征函數 是 的對應本征值為 的本征函數6 .證明在定態中，幾率流與時間無關。證：對于定態，可令 可見無關。7 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。 證：在一維勢場中運動的粒子的定態S-方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態的波函數。由于它們描寫的是同一個狀態，因此之間只能相差一個常數。方程、可相互進行空間反演 而得其對方，由經反演，可得， 由再經反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 乘 ，得 可見， 當時，具有偶宇稱， 當時，具有奇宇稱， 當勢場滿足時，粒子的定態波函數具有確定的宇稱。8 證明氫原子中電子運動所產生的電流密度在球極坐標中的分量是 證：電子的電流密度為 在球極坐標中為 式中為單位矢量 中的和部分是實數。 可見， 9 如果算符滿足關系式，求證 證： 10 證明：證：由對易關系 及對易關系 ， 得 上式兩邊乘，得 11 證明和組成的正交歸一系。證： = 1= 0 = 0同理可證其它的正交歸一關系。 12 對于無限深勢阱中運動的粒子（如圖所示）證明 并證明當時上述結果與經典結論一致。解寫出歸一化波函數： （1）先計算坐標平均值：利用公式： （2）得 （3）計算均方根值用以知，可計算利用公式 （5） （6） 在經典力學的一維無限深勢阱問題中，因粒子局限在（0，a）范圍中運動，各點的幾率密度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度。故當時二者相一致。13 設是的可微函數，證明下述各式：一維算符（1）（證明）根據題給的對易式及（2）（證明）同前一論題（3）證明同前一題論據：（4）證明根據題給對易式外，另外應用對易式 （5）（證明）論據同（4）：（6）（證明）論據同（4）：14 設算符A，B與它們的對易式A，B都對易。證明(甲法）遞推法，對第一公式左方，先將原來兩項設法分裂成四項，分解出一個因式，再次分裂成六項，依次類推，可得待證式右方，步驟如下：按題目假設重復運算n-1次以后，得15 證明 是厄密算符證明）本題的算符可以先行簡化，然后判定其性質是厄密算符，因此原來算符也是厄密的。另一方法是根據厄密算符的定義：用于積分最后一式：前式=說明題給的算符滿足厄密算符定義。16 定義（反對易式）證明： 其中，與，對易。（證明）第一式等號右方第一式等號左方第二式等號右方因，與，對易，前式17 證明力學量（不顯含）的平均值對時間的二次微商為：（是哈密頓量）（解）根據力學量平均值的時間導數公式，若力學量 不顯含，有（）將前式對時間求導，將等號右方看成為另一力學量的平均值，則有：（）此式遍乘即得待證式。18 試證明：一維運動的束縛態都是不簡并的。證明：設和是對應于同一能級E的不同本征態，則常數。在特例下，令0，即由此得： 所以和描述同一個態。19 證明泡利矩陣滿足關系?！咀C】. 20 試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況 為厄密算符, 為厄密算符, 為實數 為厄密算符 為厄密算符21 已知軌道角動量的兩個算符 和 共同的正交歸一化本征函數完備集為 ,取 試證明: 也是 和 共同本征函數, 對應本征值分別為: 。證。 是 的對應本征值為 的本征函數 是 的對應本征值為 的本征函數22 22 證明：描寫全同粒子體系的波函數的對稱性不隨時間改變證明：設時刻波函數是對稱的，用表示， 因為是對稱的，所以在時刻也是對稱的，由 知，在時刻也是對稱的，故在下一時刻的態函數：也是對稱的以此類推，波函數在以后任意時刻都是對稱的。同理可證，若某一時刻波函數反對稱，則以后任一時刻的波函數都是反對稱的。三、 計算題1 由下列定態波函數計算幾率流密度： 從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點) 傳播的球面波。 解：在球坐標中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(即向原點) 傳播的球面波。2 一粒子在一維勢場 中運動，求粒子的能級和對應的波函數。解：無關，是定態問題。其定態S方程 在各區域的具體形式為 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。 方程(2)可變為 令，得 其解為 根據波函數的標準條件確定系數A，B，由連續性條件，得 由歸一化條件 得 由 可見E是量子化的。對應于的歸一化的定態波函數為 3 求一維諧振子處在激發態時幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。 可見是所求幾率最大的位置。4 一維諧振子處在基態，求： (1)勢能的平均值； (2)動能的平均值； (3)動量的幾率分布函數。解：(1) (2) 或 (3) 動量幾率分布函數為 5 氫原子處在基態，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動量的幾率分布函數。 解：(1) (3)電子出現在r+dr球殼內出現的幾率為 令 當為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動量幾率分布函數 6 設t=0時，粒子的狀態為 求此時粒子的平均動量和平均動能。解： 可見，動量的可能值為 動能的可能值為 對應的幾率應為 上述的A為歸一化常數，可由歸一化條件，得 動量的平均值為 7 設氫原子處于狀態 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應的幾率分別為 ， 其平均值為 8 試求算符的本征函數。 解：的本征方程為 （的本征值）9 設波函數，求解： 10 證明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的 證： +也是厄米的。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。 解： 14 求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。解：基矢： 能量：對角元： 當時， 15 求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。 解： 16 求連續性方程的矩陣表示 解：連續性方程為 而 寫成矩陣形式為 17 設一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數。用微擾公式求能量至二級修正值。 解：由微擾公式得 得 能量的二級修正值為 18 計算氫原子由第一激發態到基態的自發發射幾率。 解： 由選擇定則，知是禁戒的 故只需計算的幾率 而 2p有三個狀態，即 (1)先計算z的矩陣元 (2)計算x的矩陣元 (3)計算的矩陣元 (4)計算 19 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則 解： 由 時， 即選擇定則為 20 一維無限深勢阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態能級的一級修正。 解：基態波函數（零級近似）為 能量一級修正為 21 求在自旋態中，和的測不準關系： 解：在表象中、的矩陣表示分別為 在態中 討論：由、的對易關系 ，要求 在態中， 可見式符合上式的要求。22 求的本征值和所屬的本征函數。解：的久期方程為 的本征值為。設對應于本征值的本征函數為 由本征方程 ，得 由歸一化條件 ，得即 對應于本征值的本征函數為 設對應于本征值的本征函數為 由本征方程 由歸一化條件，得 即 對應于本征值的本征函數為 同理可求得的本征值為。其相應的本征函數分別為 23 求自旋角動量方向的投影 本征值和所屬的本征函數。 在這些本征態中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現？的平均值是多少？解：在 表象，的矩陣元為其相應的久期方程為 即： 所以的本征值為。設對應于的本征函數的矩陣表示為，則由歸一化條件，得取 ，得 可見， 的可能值為 相應的幾率為 同理可求得 對應于的本征函數為在此態中，的可能值為 相應的幾率為 24 設氫的狀態是 求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值； 求總磁矩 的 z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解：可改寫成 從的表達式中可看出的可能值為 0相應的幾率為 的可能值為 相應的幾率為 25 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態。問體系可能的狀態有幾個？它們的波函數怎樣用單粒子波函數構成？解：體系可能的狀態有4個。設兩個單粒子態為，則體系可能的狀態為26 設體系處于態，求（1）的可能測值及其平均值。（2）的可能測值及相應的幾率。（3），的可能測值。（解）（1）按照習慣的表示法表示角量子數為，磁量子數m的，的共同本征函數，題材給的狀態是一種的非本征態，在此態中去測量都只有不確定，下面假定 從看出，當體系處在態時，的測值，處在態時，的測值為零。 在態中的平均值 （2）又從波函數看出，也可以有兩種值，體系處態中時測值為 當體系處在態時的測值為 相應的幾率即表示該態的展開式項系數的復平方：， 的并態中的平均值(3)關于在態中，的可能測值可以從對稱性考慮來確定，當使用直角坐標表示算符時，有輪換對稱性，由于在態中可有二種量子數所以將輪換的結果，知道的可能測值只能是 ，0，同理，的可能測值也是這此值 ，0，27 設粒子處在寬度為的無限深勢阱中，求能量表象中粒子坐標和動量的矩陣表示。解一維無限深方勢阱的歸一化波函數是： 這波函數是能量本征函數，任何力學量的矩陣元是： 此公式用于坐標矩陣： 此式不適用于對角矩陣元，后者另行推導。當m=n時，得對角矩陣元： 動量矩陣元（非對角的） 28 粒子在二維無限深勢阱中運動，已知寫出第一激發態的能級；問第一激發態的能級是否簡度，若是簡并，是幾重簡并？以下的線不知如何去掉？解：（1）二維無限深勢阱中運動的粒子，其能級為，所以其基態能級為，而第一激發態能級為， （2）粒子的波函數為所以，第一激發態是二重簡并的。29 求一維諧振子的坐標及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。提示：可利用公式：及 解：線性諧振子的能級為 對應的能量本征函數 ， 利用公式(1) （2）30 質量為的粒子在一維勢場中運動。設狀態由波函數 描述。求（1）粒子能量的可能值及相應的幾率；（2）粒子的平均能量；（3）寫出狀態在能量表象中的波函數。（1）而一維無限深勢場中的能量本征函數為，對應的本征值為所以本題中，粒子的能量的可能值是，出現的幾率均為1/2。（2）（也可由求出）（3）由（1）得， 所以，在能量表象中， 31 設在 （無微擾時的哈密頓算符）表象中， 的矩陣表示為其中 , 試用微擾論求能級二級修正。解：在 表象中， 32 求在狀態 中算符的本征值。解： 所以，算符的本征值為33 已知厄密算符和是二行二列矩陣，且 ， （1） 求算符 的本征值，（2）在A 表象下求算符 的矩陣表示。解：（1） 設 的本征值為 ,本征函數為 , 則 又 同理算符 的本征值也為 .（2） 在A表象，算符 的矩陣為一對角矩陣,對角元素為本征值，即 設 利用 B為厄密算符 即 又 ?。?34 （1）粒子在二維無限深方勢阱，請寫出能級和能量本征函數；（2）加上微擾，求最低能級的一級微擾修正。解： （1）無微擾時， （2）最低能級為基態能級?；鶓B非簡并，所以 35 試在為對角的表象中，（1）求的本征值和所屬的本征函數；（2）在的本征值為的本征態中，求的平均值；（3）在的本征值為的本征態中，測的可能值及相應的幾率。解：（1）設的本征態及所屬的本征值為和，則由此可得：，由 得：當 時，當 時，（2） 的本征值為的本征態為所以，（3）將的本征值的本征態展開為：兩邊相等，得 所以，當時幾率 當時幾率36 (1)證明 是的一個本征函數并求出相應的本征值；(2)求x在 態中的平均值。解： 即 是 的本征函數。本征值 37 一維諧振子在 時的歸一化波函數為 所描寫的態中式中， 是諧振子的能量本征函數，求（1） 的數值；（2）在 態中能量的可能值，相應的概率及平均值；（3） 時系統的波函數 。解(1) , 歸一化， ， （2） ， ， ； ， ；， ； （3） 時， 所以： 38 已知體系的能量算符為 , 其中 , 為軌道的角動量算符。視 項為微擾項，求能級至二級近似值。計算過程中可用公式： 的精確解為 本征函數 本征能量 按微擾論 利用了公式 能量二級修正為 在二級近似下 39 ，求的值解：由的歸一化條件得：1=，所以，或40 求在球諧函數所描述的態中，力學量的平均值。解：因為 所以， 同理， 另解：令，得，所以，四 填空題1 為歸一化波函數，粒子在方向、立體角內出現的幾率為 ，在半徑為，厚度為的球殼內粒子出現的幾率為 。2 ，為單位矩陣，則算符的本征值為_。3自由粒子體系，_守恒；中心力場中運動的粒子_守恒。4力學量算符應滿足的兩個性質是 。5厄密算符的本征函數具有 。6設為歸一化的動量表象下的波函數，則的物理意義為_。7. _； _； _。8