高三年級考試 數 學 試 題（文科）【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養的考查.知識考查注重基礎、注重常規、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：集合、不等式、向量、三視圖、導數、簡單的線性規劃、直線與圓、圓錐曲線、數列、函數的性質及圖象、三角函數的性質、三角恒等變換與解三角形、充要條件等；考查學生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.2015.1【題文】一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.【題文】1.若，則等于A.B. C.D. 【知識點】集合的并集與補集 A1【答案】【解析】B解析：由并集定義可得，由補集定義可得.故選B.【思路點撥】由并集以及補集定義可以求得.【題文】2.已知，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【知識點】充分必要條件 A2【答案】【解析】A解析：因為由，可得，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選A.【思路點撥】找到不等式的解集為，然后根據“小范圍能推大范圍，大范圍推不出小范圍”進行判斷.【題文】3.正項等比數列的公比為2，若，則的值是A.8B.16C.32D.64【知識點】等比數列的性質 D3【答案】【解析】C解析：因為且等比數列各項為正，由等比中項可得，而可得.故選C【思路點撥】由等比中項可得，再由等比數列公式可得.【題文】4.已知命題：命題.則下列判斷正確的是A.p是假命題B.q是真命題C.是真命題D.是真命題【知識點】復合命題的真假 A3 【答案】【解析】C解析：命題由基本不等式可得為真命題，而命題的解為，所以為假命題，由復合命題的真值表可得C正確.故選C.【思路點撥】由基本不等式可得命題p為真命題，解可得命題q為假命題，再結合復合命題的真值表可得.【題文】5.已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是A. B. C. D. 【知識點】空間中的直線與平面的位置關系 G4 G5 【答案】【解析】D解析：A. 因為，所以不正確；B. 不能確定關系，所以不正確；C. 若兩平面相交且都平行于交線，也可以滿足，所以不正確；D.直線垂直于平面，則過該直線的所有的面都與此面垂直，所以正確.故選D.【思路點撥】A.中直線還可以在平面內；B.中的關系不能確定；C. 若兩平面相交且都平行于交線，也可以滿足；D.由線面垂直的性質定理可得正確.【題文】6.若變量滿足條件，則的最小值為A. B.0C. D. 【知識點】線性規劃 E5 【答案】【解析】A解析：根據線性條件畫出可行域如圖：令可得由圖像可知當過點時，目標函數有最小值為.故選A.【思路點撥】由線性條件畫出可行域，目標函數為是一組平行線，可得當過B點時為最小值.【題文】7.下列函數中，與函數的奇偶性相同，且在上單調性也相同的是A. B. C. D. 【知識點】函數的奇偶性單調性 B3 B4 【答案】【解析】B解析：因為函數當時，當時，所以函數為偶函數，排除A,C，且在上單調減，排除D.故選B.【思路點撥】由函數的奇偶性可得為偶函數，由函數的性質可得在上單調減，逐一檢驗即可.【題文】8.設函數的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位得函數的圖象，則A. 上單調遞減B. 上單調遞減C. 上單調遞增D. 上單調遞增【知識點】三角函數的圖象與性質 C4 【答案】【解析】A解析：由題意可得：因為最小正周期為，所以可得，即，其圖象向左平移個單位得函數，由余弦函數圖像的性質可得上單調遞減.故選A【思路點撥】由輔助角公式可得，由最小正周期為，可得，由圖像的平移變換可得，再由余弦函數圖像的性質可得結果.【題文】9.設函數的零點為的零點為，若可以是A. B. C. D. 【知識點】函數的零點 B9 【答案】【解析】D解析：因為且函數為增函數，所以零點在區間內，又因為，所以可得函數的零點在區間內，只有D的零點滿足.故選D.【思路點撥】根據零點存在性定理可得零點在區間內，由可得函數的零點在區間內，逐一檢驗即可.【題文】10.設函數 若，則實數t的取值范圍是A. B. C. D. 【知識點】分段函數 B1【答案】【解析】A解析：設，當時，解得，當時符合，所以，因此，當時，解得，當時，解得，綜合上可得.故選A.【思路點撥】利用符合函數以及分段函數的數學思想進行分論討論，即可得到.【題文】二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.請把答案填在答題紙的相應位置.【題文】11.已知向量共線，則t= .【知識點】向量共線的坐標表示 F2【答案】【解析】解析：由已知可得，由兩向量共線的充要條件可得，解得.故答案為【思路點撥】兩向量共線的充要條件：可求得.【題文】12.設為銳角，若 .【知識點】三角變換 C7 【答案】【解析】解析：因為為銳角，所以可得，所以有，而.故答案為.【思路點撥】通過湊角由，然后利用兩角差的正弦展開式求得.【題文】13.計算： .【知識點】指數與對數 B6 B7 【答案】【解析】1解析：.故答案為1【思路點撥】先將根式化為分式指數冪的形式，再由指數運算性質化簡，即可得到.【題文】14.若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為 .【知識點】橢圓方程 直線與圓的切線 H5 H4 【答案】【解析】.解析：設切點坐標為則即，即AB的直線方程為，線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點解得，所以，所以橢圓方程為.故答案為.【思路點撥】設出切點坐標，利用切點與原點的連線與切線垂直，列出方程得到AB的方程，將右焦點坐標及上頂點坐標代入AB的方程，求出參數c，b；利用橢圓中三參數的關系求出a，求出橢圓方程【題文】15.棱長為4的正方體被一平面截成兩個幾何體，其中一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是 .【知識點】三視圖 正方體的體積 G2 【答案】【解析】32解析：如圖，紅色虛線表示截面，可見這個截面將正方體分為完全相同的兩個幾何體，則所求幾何體的體積即是原正方體的體積的一半，.故答案為32.【思路點撥】由圖像的直觀圖可得，截面將正方體分為完全相同的兩個幾何體，則所求幾何體的體積即是原正方體的體積的一半.【題文】三、解答題：（本大題共6個小題，滿分75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.請將解答過程寫在答題紙的相應位置.）【題文】16.（本小題滿分12分）在中，角A、B、C所對的邊分別為，且（I）求角C的大小；（II）若的面積，求的值.【知識點】解三角形 C8【答案】（I）；（II）.【解析】解析： （I）由可得：即：即：整理可得：即：又；（II）由題意可得：有余弦定理可得：由正弦定理得：【思路點撥】由正弦定理可得，再由化簡即可得到；由面積公式可得，有余弦定理可得，由正弦定理可得的值.【題文】17.（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，AC=BC，D為AB的中點，且（I）；（II）證明：平面【知識點】線線垂直 線面平行 G4 G5【答案】（I）略；（II）略.【解析】解析：（I）如圖：因為三棱柱為直三棱柱所以平面所以又，D為AB的中點所以又所以平面，又平面所以又，所以平面又平面所以（II）連接交于點F，連接因為四邊形為平行四邊形所以F為中點，又D為AB的中點所以在中，又平面所以平面【思路點撥】通過證明， ，證明平面，進而得到；連接交于點F，連接，在中，所以可得平面. 【題文】18.（本小題滿分12分）等差數列的前n項和為，滿足：（I）求；（II）數列滿足，數列的前項和為，求證.【知識點】等差數列的性質前n項和 數列求和 D2 D4 【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）設等差數列的公差為d，由題意可得：， （II）由題意可得： 【思路點撥】由題意可求得與的值，即可求出通項公式以及前n項和；求得所以采用裂項相消求和可得.【題文】19.（本小題滿分12分）某公司生產的商品A每件售價為5元時，年銷售10萬件，（I）據市場調查，若價格每提高一元，銷量相應減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多提高多少元？（II）為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產進行技術革新，將技術革新后生產的商品售價提高到每件元，公司擬投入萬元作為技改費用，投入萬元作為宣傳費用。試問：技術革新后生產的該商品銷售量m至少應達到多少萬件時，才可能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？【知識點】函數的應用 基本不等式 E6【答案】（I）5；（II）.【解析】解析： （I）設商品的銷售價格提高a元則解得：所以商品的銷售價格最多提高5元；（II）由題意可得，技術革新后的該商品銷售收入為萬元，若改革后的銷售收入不低于原銷售收入與總投入和，只需滿足：即可即：當且僅當，即時，取得“=”號答：商品銷售量至少應達到萬件時，才可能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和.【思路點撥】設商品的銷售價格提高a元，由題意列的解不等式即可得到；由題意可得：要滿足題意只需滿足即可，即利用基本不等式求得其最大值.【題文】20.（本小題滿分13分）已知橢圓的兩個焦點為，離心率為，直線l與橢圓相交于A、B兩點，且滿足O為坐標原點.（I）求橢圓的方程; （II）證明：的面積為定值.【知識點】橢圓方程 直線與圓錐曲線 H5 H8 【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）由橢圓的離心率為，可得：又所以橢圓方程為：；（II）設直線AB的方程為，設聯立 可得：又，設原點到直線AB的距離為d，則 因為當直線斜率不存在時，由即的面積為定值.【思路點撥】由離心率為，可得：，由橢圓的定義可得，即可求得；只需與橢圓方程聯立可得，由可得即，再由直線可得，列的等式解得，再由面積公式列的等式，即可得.【題文】21.（本小題滿分14分）設函數.（I）當時，求的極值；（II）設A、B是曲線上的兩個不同點，且曲線在A、B兩點處的切線均與軸平行，直線AB的斜率為，是否存在，使得若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【知識點】導數的應用 B12【答案】（I）（II）故不