第1章立體幾何初步1 2點 線 面之間的位置關系1 2 2空間兩條直線的位置關系 欄目鏈接 在天安門廣場上 旗桿所在的直線與長安街所在的直線 它們既不相交 也不平行 它們具有怎樣的位置關系呢 旗桿與天安門廣場 天安門廣場與地面又有怎樣的位置關系呢 欄目鏈接 欄目鏈接 1 理解異面直線的概念 畫法2 理解并掌握公理4 等角原理3 理解異面直線所成角的概念 會求異面直線所成角 欄目鏈接 欄目鏈接 1 空間的兩條直線有如下三種關系 相交直線 同一平面內 平行直線 同一平面內 公共點 異面直線 在任何一個平面內 沒有公共點 和 統稱為共面直線 2 公理4 文字語言 的兩條直線互相平行 符號語言 設a b c是三條直線 a b c b 有且只有一個公共點 沒有 不同 相交直線 平行直線 平行于同一條直線 a c 欄目鏈接 3 空間中的等角定理 空間中 如果兩個角的兩邊 并且 那么這兩個角 4 異面直線所成的角 已知異面直線a b 經過空間中任一點o作直線a a b b 我們把a 與b 所成的 叫異面直線a與b所成的角 夾角 分別對應平行 方向相同 相等 銳角 或直角 欄目鏈接 欄目鏈接 一 空間兩條直線的位置關系 1 共面 空間的幾個點或幾條直線 如果都在同一平面內 我們就說它們共面 共面的兩條直線位置關系又分平行和相交兩種 2 異面直線 把既不相交也不平行的直線叫做異面直線 異面直線判定方法 與一平面相交于一點的直線與這個平面內不經過該點的直線是異面直線 欄目鏈接 空間的兩條直線的位置關系的判定是以平面的基本性質和推論為重要依據的 位置關系的表示則是通過相關符號語言實現的 以下幾種常用的符號語言同學們要記牢 點a在直線b上 記作a b 點b不在直線b上 記作 b b 點b在平面 內 記作b 點b不在平面 內 記作 b 直線a在平面 內 記作a 直線a不在平面 內 記作a 欄目鏈接 二 公理4 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 用符號語言表示為 設a b c是三條直線 a b c b a c 公理4將平面內兩條直線平行的傳遞性推廣到了空間中 是證明線線平行的重要依據之一 但要注意 并不是所有平面內的結論都能推廣到空間中來 欄目鏈接 三 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應平行并且方向相同 那么這兩個角相等 等角定理的實質是空間中角的平移 在應用時我們需要注意以下兩個結論的區別 如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊且兩邊的方向分別相同 那么這兩個角相等 如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊且有一組邊的方向相同 另一組邊的方向相反 那么這兩個角互補 其中 角的兩邊分別平行 這個條件要特別注意 謹記等角定理的逆命題不成立 欄目鏈接 四 異面直線所成的角 已知異面直線a b 經過空間中任一點o作直線a a b b 我們把a 與b 所成的銳角 或直角 叫做異面直線a與b所成的角 夾角 求異面直線所成角的一般步驟是 根據定義作出或找出兩異面直線所成的角 使該角為某個三角形的內角 解這個三角形求角 其中通過平移法作出其所成角是關鍵 解答相關題目時要謹記異面直線所成角的取值范圍 千萬不要把相交直線所成的鈍角作為異面直線所成的角 若求出的是鈍角 應取它的補角作為異面直線所成的角 欄目鏈接 欄目鏈接 題型1異面直線的判斷與證明 例1如右圖 在空間四邊形abcp中 連接ac pb d e是pc上不重合的兩點 f h分別是pa pb上的點 且與點p不重合 求證 ef和dh是異面直線 欄目鏈接 分析 根據兩直線異面的定義 要直接證明兩直線異面是比較困難的 因而往往從問題的反面入手 即采用反證法 當然 還可以直接使用異面直線的判定定理 過平面內一點與平面外一點的直線 和這個平面內不經過該點的直線是異面直線 而進行直接的證明 欄目鏈接 解析 方法一假設ef dh不是異面直線 則由兩直線的位置關系知 它們必在同一個平面 內 e d ed 即pc p c 又 h ph b ph b 同理 由f 可得 a 由此可知 p a b c四點都在平面 內 這與四點是空間四邊形的四個頂點相矛盾 故假設不成立 于是ef與dh是異面直線 欄目鏈接 方法二 pa pc p pa pc確定一個平面 不妨記平面為 e pc f pa e f ef d pc d 且d ef pb p h pb h ef與dh是異面直線 欄目鏈接 規律總結 1 異面直線的判定方法一般有兩種 利用異面直線的判定定理 反證法 2 證明兩直線異面 一般要從定義出發 由于定義是一個否定形式的命題 因而常用反證法 反證法也是常用的一種重要的思維方式和數學方法 它在立體幾何中有著廣泛的應用 反證法的一般步驟為 反設 即作出與命題結論相反的假設 欄目鏈接 歸繆 以所作的假設為依據 通過嚴格的邏輯推理 導出矛盾 結論 判斷產生矛盾的原因在于所作的假設是錯誤的 因而原命題正確 導出邏輯矛盾時常出現以下幾種情形 欄目鏈接 與定義 公理 定理 推論及性質等的矛盾 與已知條件的矛盾 與假設的矛盾 自相矛盾 欄目鏈接 變式訓練 1 如右圖所示 已知不共面的三條直線a b c相交于點p a a b a c b d c 求證 ad與bc是異面直線 欄目鏈接 變式訓練 證明 反證法 假設ad與bc共面 所確定的平面為 那么點p a b c d都在平面 內 直線a b c都在平面 內 此與已知條件a b c不共面相矛盾 ad和bc是異面直線 欄目鏈接 題型2求異面直線所成的角 例2如右圖所示 在正方體abcda1b1c1d1中 求 1 異面直線ab與a1d1所成的夾角 2 ad1與dc1所成的夾角 分析 依據異面直線所成的角 或夾角 的定義來求 欄目鏈接 解析 1 a1b1 ab 而a1d1 a1b1 a1d1 ab ab與a1d1所成的夾角為90 2 連接ab1 b1d1 ab1 dc1 ab1與ad1所成夾角即為dc1與ad1所成的夾角 又ad1 ab1 b1d1 ab1d1為正三角形 欄目鏈接 ad1與ab1所成夾角為60 ad1與dc1所成夾角為60 規律總結 1 求異面直線所成的角就是要通過平移轉化的方法將異面直線所成角轉化成同一平面內的直線所成的角 放到同一三角形中求解 2 要多角度地平移 不能局限于一個平面 欄目鏈接 變式訓練 2 如右下圖 空間四邊形abcd中 e f分別是對角線bd ac的中點 若bc ad 2ef 求直線ef與直線ad所成的角及直線ef與直線bc所成的角 欄目鏈接 變式訓練 解析 因為e是bd中點 f是ac中點 故聯想三角形中位線定理 取cd中點g 將ad平移至fg 故ef與fg所成的角 efg 就是平面直線ef與ad所成的角 由bc ad 2ef 得ef eg fg 所以 efg為正三角形 所以 efg 60 即ef與ad所成的角為60 同理ef與bc所成角也為60 欄目鏈接 題型3平行公理的應用 例3如右圖 空間四邊形abcd中 e f g h分別是ab bc cd da的中點 且ac與bd所成的角為90 求證 四邊形efgh是矩形 欄目鏈接 欄目鏈接 又 e f分別為ab bc的中點 ef ac 又fg bd efg為ac與bd所成的角 而ac與bd所成的角為90 efg 90 又 四邊形efgh為平行四邊形 故四邊形efgh為矩形 規律總結 平行公理的本質是線線平行的