對原函數存在條件的探討中文摘要 在微積分學中原函數存在是其理論的核心原函數存在定理初步揭示了積分學中定積分與原函數之間的關系引用導函數的性質以及微積分基本定理來論證原函數存在得到了原函數存在的條件對原函數存在條件的探討最后用原函數存在的條件去解決生活中的實際例子Abstract: in calculus, the original function existence is the core of the theory. The original function existence theorem initially revealed the relationship between the original function and the integral in integral calculus and reference guide function and the fundamental theorem of calculus to prove the existence of primitive function, the original function of the existence condition is obtained, discussion on the existence conditions of the original function, conditions for the original function exists to solve practical examples in life.關鍵詞 原函數 定積分 導函數 微積分基本定理Keywords: primary function, integral, derivative, the fundamental theorem of calculus, Newton Leibniz formula引言 微積分基本定理即原函數存在定理和newton-leibniz公式肯定了連續函數的原函數存在的重大意義有利于我們研究原函數的特殊性質newton-leibniz公式則是證明原函數存在的一個公式因此它們都具有十分重要的意義 在教學中我們學習了導數性質不定積分可積的概念來計算定積分利用newton-leibniz公式計算定積分的值然而定積分的計算用黎曼可積往往比較復雜為尋求簡便計算方法引入原函數為此原函數和可積之間在某些情況下就聯系起來了在微積分學中我們探討原函數存在的條件能夠充分認識導函數的性質證明原函數存在通過原函數存在性將積分與導數緊密聯系在一起其中運用到newton-leibniz公式將導數和定積分連接起來函數可積的條件導函數的一些性質充分利用它們的關系導出原函數存在的條件并推廣和運用得到實踐效果使復雜問題簡單化發揮數學獨到的美感1. 原函數1.1原函數的定義定義1.1函數與在區間上有定義若或者則稱為在區間上的一個原函數注 對于原函數的說法是有針對性的必須指明在哪個區間這樣原函數才有意義1.2 可積的概念及相關定理定義1.2.1設為上的函數在中插入若干個分點(這里插入 個) 來劃分區間在每一個部分區間中任取一點作和式 其中設為中的最大數即 當時如果和式的極限存在即 就稱此極限值為在上的定積分記為.數分別稱為積分上限與積分下限和式稱為的積分和 注 在上述意義下的定積分也叫黎曼積分簡稱積分 定理1.2.1(定積分存在的充要條件)函數在可積的充要條件是即 (其中為達布上和為達布下和)定理1.2.2設是上的有界函數則(表示在上黎曼可積)當且僅當其上下積分相等此時有定理1.2.3 若則.(其中表示在上連續)定理1.2.4 若是上的單調函數則.定理1.2.5（Du Bois Reymond）上有界函數可積的必要條件是：對任給的存在分劃：其相應于的子區間的長度的總和小于.定理1.2.6(牛頓萊布尼茨公式（Newton-leibniz公式）設在上可積且在上有原函數則（下文中簡稱此公式為N-L公式）1.4原函數的意義定積分的值是在可積基礎上計算出來的而在微積分學中有些定積分往往不是太容易計算而利用newton-leibniz公式尋找被積函數的原函數從而可以把復雜問題簡單化 利用定積分和導數的關系用newton-leibniz公式把定積分和原函數聯系起來可以得到原函數利用原函數求定積分生活中也經常出現這些類似的問題在我們設計鐵路公路天空中飛機的航線往往需要微積分定理的知識將定積分和原函數緊密聯系在一起將誤差降低到最小保證人們的安全具有十分重要的意義2. 原函數存在的條件2.1原函數存在的定理及證明定理2.1(充分條件）若函數在區間上連續且在 處連續則其變上限積分 在點處可微且其導數等于.(當是端點或時是指右左導數)證明 記且不妨討論它在處的右導數. 首先取,因為有 所以其差商滿足 其次根據在點處的連續性可知對任給存在使得且 現在取就有. 從而又可得差商的估計式： . 這說明 同理可證得 綜上在上可微且其導函數等于注 由的任意性可以得到在上處處可導從而變上限積分 也就為的原函數定義2.1若函數在點的左右極限都存在但不相等或者 在點的左右極限存在且相等但不等于（或在點處無定義）則稱為第類間斷點 定義2.2 函數在點的左右極限中至少有一個不存在則稱為第類間斷點定理2.2 (導函數極限定理)設函數在點的某領域連續在內可導如果極限存在則函數在點處可導且 定理2.3(達布定理)設是某個區間內的可微函數是內任意兩點而是和之間的任意值則必有一點使得定理2.4(原函數存在的必要條件1)在某區間上處處有定義的導函數如果在內有間斷點那么這個間斷點必為振蕩間斷點證明 設在區間內某一點處間斷那么由定理2.2和定理2.3可知 肯定不是第一類間斷點（否則必在區間連連續）也不是無窮間斷點不妨設故不存在故矛盾推論2.1 定義在某個區間內的函數若有可去間斷點或者在間斷點處 的左右極限中有一個為無窮則在區間上不存在原函數定理2.5 （原函數存在的必要條件2）若函數在某個區間內存在原函數則函數在區間內具有介值性推論2.2 設且有定義在上的可微函數滿足 則函數 在上可微且有（看成復合函數）推論2.3 設且在開區間上有原函數.（1） 若在上連續=（2） 若在點,上有則2.2 原函數存在與否的實例 例2.1 計算定積分 解 方法一 利用定積分概念當為各小區間的右端點時有 此題關鍵利用 方法二 被積函數在上連續的則由定理2.1知存在原函數又由newton-leibniz公式得如下注 比較上面兩個方法可以知道利用函數可積的概念計算不定積分往往比較困難然而利用原函數和N-L公式計算不定積分相對容易些例2.2 狄里克萊函數（dirichlet 函數）在內每一點都是的第二類間斷點問是否dirichlet函數存在原函數解 在任意閉區間內不具有介值性且在內不連續由推論2.1知狄里克萊函數不存在原函數注 dirichlet不連續也不存在原函數例2.3 若函數 求的原函數解 當時由于在時連續因而由定理2.1知存在原函數即 當時也存在原函數即 因此原函數為注 1)此函數在上不連續但存在原函數由上面例子知不能說明原函數存在的必要條件2)可以斷言如果不存在原函數那么這個函數一定不連續例2.4 設函數 問是否存在一個以為其導數的一個原函數 解 因在上只有在不連續據定理1.2.6知該函數可積但為的第一類間斷點從而不存在原函數 注 此例函數不可積但是其原函數存在3原函數存在和函數的可積性的聯系3.1函數的原函數存在性問題由newton-leibniz公式可以知道函數可積和原函數密切聯系函數可積的條件滿足（定理1.2.1至定理1.2.6滿足可積）可以計算原函數如果函數不連續是否也能存在原函數呢計算定積分下面我們將討論例3.1 設在上黎曼可積且有求 解 在上黎曼可積并記為（1）式 兩邊同時對求導可得 記為（2）式在上連續由定理2.1知具有原函數即 記為（3）式 將（3）式代入（1）式有： 解得 引理3.1 在區間上的導數它在上沒有第一類間斷點定理3.1 若函數在區間不連續且存在第類間斷點則在區間一定不存在原函數 證明 若函數在區間上存在原函數則 定理2.3知若有間斷點必為振蕩間斷點 與存在第類間斷點矛盾 一定不存在原函數例3.2 證明黎曼函數 在內不存在原函數證明 在不連續且存在第一類間斷點 定理3.1知不存在原函數 注 此例說明了不連續的函數沒有原函數但函數卻可以是可積的 例3.3 已知函數 問原函數是否存在？ 解 函數的第類間斷點(無窮間斷點) 由推論2.1知在處不存在原函數 結論 (1)若函數在區間上只有第類間斷點則不存在原函數 (2)若函數在區間上只有無窮間斷點則不存在原函數 (3)若函數在區間上只有振蕩間斷點則原函數的存在性需要經進一步探討（由例2.2和例2.3可知）3.2函數的可積性與原函數存在無蘊涵關系 例3.2.1已知 求原函數 解 當時的某個原函數為 當時的原函數為 故原函數為注 此在上無界由定理1.2.1知不可積但是卻存在原函數結論3.2.1 若函數可積不一定存在原函數結論3.2.2 若函數不可積也可能存在原函數 因此函數可積性和函數的原函數存在并無蘊涵關系4原函數的存在性的推廣及運用例4.1 計算定積分 解 在時易知 這說明在上的原函數之一是但因我們有所以根據推論2.3知 例4.2 設討論是否存在原函數 解 函數不具有介值性 由定理2.5可知不存在原函數例4.3 設 試問是否存在原函數 解 當時處處連續而當時 當 是的第一類間斷點根據定理3.1可知函數在 處沒有原函數例4.4 設試問是否存在原函數 解 顯然當時處處連續（1） 若時 在點處連續 根據原函數存在定理可知在實數域上存在原函數（2） 若 在點處為的第一類間斷點 據定理3.1可知不存在原函數 綜上, 當時不存在原函數 當時存在原函數例4.5 設試討論是否存在原函數 解 不存在 點為的振蕩間斷點 當時有原函數 當時在處不存在原函數5總結通過資料查閱對原函數條件進一步了解去運用原函數去解決某些實際問題本文首先給出了原函數的概念利用原函數計算定積分進一步給出可積的相關定理其次對原函數存在的條件進行討論再次從原函數與定積分的關系可積函數的原函數是否存在進行探討等最后應用定理解答若干例子本文中原函數最終是一個函數因此函數值有很多利用原函數存在定理可以知道函數可積是原函數存在的某一個函數值因此函數有原函數存在要比函數可積要多得多故只討論了原函數存在的某一個局部性質本文的不足在于不能對原函數存在與可積性的關系給以理論上的證明只給出了反例還有就是對原函數存在條件的試探還太淺面不夠深入參考文獻1 華東師范大學數學系.數學分析第三版M.高等教育出版社,1999.2 周民強.數學分析第二冊M.上?？茖W技術出版社,2003.3 吳崇儉,錢林寧.關于原函數存在條件的討論J.安徽建設工業學院學報,1995,(1).4 陳妙琴,關于函數可積與原函數的存在性問題J.福建教育學院報,2007.5 胡宏, 戴冕,原函數的存在性J.淮陰工業專科學校學報.2000,(1).6 張申媛,關于函數可積性與原函數存在問題J.中國科技信息.2011(01).7 馬保國,王延軍.分段函數函數的可積性與原函數存在性J.大學數學.2009(02).8 賀彭雄,淺談不連續函數的原函數J.湖北成人教育院學報.2007(05).9 王薇,定積分中的間斷點與原函數存在性問題之探討J.南京工業職業技術學院報.2004(02).10馮春.原函數性質的討論及運用J.高