主管單位：黑龍江省教育廳主辦單位：哈爾濱大學數理化解題研究2009年第2期碰撞、繩子繃直機械能損失錯解例析汪新亮(丹江口市一中 湖北 丹江口 442700)在涉及有碰撞、爆炸、打擊、射擊、繩繃緊等物理現象時，必須注意到這些過程一般都隱含有機械能與其他形式的能之間的轉化.這一類問題由于作用時間都很短，學生在做題過程中往往忽略這一過程，導致解題錯誤.圖1例1質量均為m的A、B兩球，以輕彈簧連結后放在光滑水平面上，A被一水平速度為v0、質量為m/4的泥丸P擊中并粘合，求彈簧具有的最大勢能. 錯解：如圖1所示，當A和B速度都達到v時，A、B距離最近此時彈簧有最大彈性勢能EP從圖所示狀態到圖狀態，由動量守恒得 得 從，由機械能守恒是 解得 。 錯解分析：上述解法沒考慮泥丸P與A碰撞粘合過程中機械能損失.正確解：從圖至圖狀態的過程中，泥丸P與A碰撞粘合（B尚未參與作用），是一個完全非彈性碰撞模型，部分機械能經由瞬間內力做功轉達化為內能，所損失的機械能設為，則從圖所示狀態到圖狀態，由動量守恒得 ， 從圖所示狀態到圖狀態，由動量守恒得 得 從圖所示狀態到圖狀態，由機械能守恒得 HABv0m圖2 得拓展1：泥丸P與A碰撞粘合過程中機械能損失是多少？例2 如圖2所示，光滑水平面上有一小車B，右端固定一個砂箱，砂箱左側連著一水平輕彈簧，小車和砂箱（包含沙的質量）的總質量為M，車上放有一物塊A質量也是M。物塊A和小車以相同的速度v0向右勻速運動。物塊A與車面間摩擦不計。車勻速運動時，距砂面H高處有一質量為m（m = M）的泥球自由下落，恰好落在砂箱中。求：在以后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值。錯解：在m落在砂箱砂里到彈簧被壓縮到最短的過程中，設整個系統的最后速度為v1，設最大彈性勢能為Ep，由水平方向動量守恒和機械能守恒有：又由以上三式解得:錯解分析：上述解法沒考慮物塊A水平速度為0到與小車速度相等過程中有機械能損失。正確解：過程1：泥球自由落體運動，滿足機械能守恒定律或動能定律；過程2：泥球豎直方向速度迅速變為0；過程3：泥球水平方向加速，小車和砂箱做減速運動，直到水平方向速度相等，小車和砂箱及泥球系統動量守恒，機械能有損失；過程4：物塊A壓縮彈簧減速，小車和砂箱及泥球加速，最后速度相等，系統動量守恒和機械能守恒.在m落在砂箱砂里的過程中，車及砂、泥球組成的系統的水平方向動量守恒，則有： (1) 得： 此時物塊A繼續向右做勻速直線運動再與輕彈簧相碰，以物塊A、彈簧、車系統為研究對象，系統動量守恒，當彈簧被壓縮到最短，達最大彈性勢能Ep時，整個系統的速度為v2，則由動量守恒和機械能守恒有： (2) (3) 由(2)式解得： 由(3)式解得： 拓展2：從泥球自由下落到彈簧壓縮到最短過程中損失機械能是多少?EOLAC圖3例3 如圖3所示，長為L的絕緣細線，一端懸于O點，另一端連接帶電量為q的金屬小球A，置于水平向右的勻強電場中，小球所受的電場力是其重力的倍，電場范圍足夠大，現將細線向右水平拉直后從靜止開始釋放A球。求A球到O點正下方的速度？（小球體積可忽略不計）錯解：根據動能定理：圖4又則：錯解分析：上述解法沒考慮繩子繃直瞬間有機械能損失正確解：過程1：金屬小球A沿合力方向勻加速運動；過程2：繩子繃直過程，沿繩子方向速度變為0，只剩下垂直繩子方向速度（物體做初速度為0的勻加速度直線運動軌跡與以O為圓心以L為半徑的圓交點就是繩子繃直的地方）；過程3：從繃直點到最底點滿足動能定理.如圖4所示，金屬球A由a到b過程做勻加速直線運動，細繩與水平方向夾角為600時突然繃緊. 由題意 ,故電場力和重力的合力：，由動能定理得 ， 求得：； 在b點細繩突然繃緊時，小球只剩下切向速度； 球A由b到c過程中，細繩的拉力對A球不做功，由動能定理得 解之得： 拓展3： ， 時求A球到O點正下方的速度？（該過程物體做勻加速直線運動，沒有繩子繃直過程）V0O1RO圖5例4 一質量為m的質點，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是不可伸長的、柔軟且無彈性的.今把質點從O點的正上方離O點的距離為的O1點以水平的速度拋出，如圖5所示. 試求：當質點到達O點的正下方時，繩對質點的拉力為多大？錯解：設質點到達O點的正下方時速度為V,根據能量守恒定律可得：根據向心力公式得：，解得：.錯解分析：上述解法是錯誤的,物理過程沒有弄清楚，忽視了在繩被拉直瞬時過程中機械能的瞬時損失.OV0VVyV/圖6正確解：第一過程：質點做平拋運動.設繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為，如圖5所示，則，其中聯立解得第二過程：繩繃直過程.繩繃直時，繩剛好水平，如圖6所示.由于繩不可伸長，故繩繃直時，V0損失，質點僅有速度，且第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動.設質點到達O點正下方時，速度為，根據機械能守恒守律有：設此時繩對質點的拉力為T，則，聯立解得：.圖7鞏固練習：1 用輕彈簧相連的質量均為2 kg的A、B兩物塊都以v6 ms的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處于原長，質量4 kg的物塊C靜止在前方，如圖7所示.B與C碰撞后二者粘在一起運動.求：在以后的運動中：（1）當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度多大?（2）彈性勢能的最大值是多大?2如圖8所示，長為L的輕繩一端系于固定點O，另一端系質量為m小球，將小球從O點正下方L/4處以一定初速度水平向右拋出，經一定時間繩被拉直，以后小球將以O點為支點在豎直面內擺動，已知繩剛被拉直時，繩與豎直線成600角，求：(1)小球水平拋出時的初速度；EOHLAB圖10圖9 (2)小球到最低點時，繩子所受的拉力.圖83 在光滑的水平面上，有一質量為m1=20千克的小車，通過幾乎不可伸長的輕繩與另一個質量m2 =25千克的足夠長的拖車連接。質量m3 =15千克的物體在拖車的長平板上，與平板間的動摩擦因數=0.2 ，開始時，物體和拖車靜止，繩未拉緊。如圖9所示，小車以v03米/秒的速度向前運動，求： （1）三者以同一速度前進時速度大小. （2）物體在平板車上移動的距離. 4 如圖10所示，長為L的絕緣細線，一端懸于O點，另一端連接帶電量為q的金屬小球A，置于水平向右的勻強電場中，小球所受的電場力是其重力的倍，電場范圍足夠大，在距點為L的正下方有另一個完全相同的不帶電的金屬小球B置于光滑絕緣水平桌面的最左端，桌面離地距離為H，現將細線向右水平拉直后從靜止開始釋放A球.（1）求A球與B球碰撞前的速度？（小球體積可忽略不計）（2）若（2 + ）L = 0.1m，H = 0.6m。則B球落地時的速度大小是多少？（不計碰撞過程中機械能損失及小球間庫侖力的作用）鞏固練習答案1 解析：（1）當A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大.由于A、B、C三者組成的系統動量守恒，解得 vA=3 m/s（2）B、C碰撞時B、C系統動量守恒，設碰后瞬間B、C兩者速度為v，則 解得v=2 m/s設物A速度為vA時彈簧的彈性勢能最大為Ep，根據能量守恒=12 J2解析：（1）小球做平拋運動由A到B的過程中，豎直位移，水平位移為，由以上兩式解得；（2）在繩子拉直前的瞬間，豎直方向速度為，水平方向速度為，設合速度與水平方向夾角為，則，則，小球速度方向與繩子方向相同，小球在繩子拉直后瞬間速度為零. 小球以后做圓周運動到最低點過程中，機械能守恒 ，小球在最低點受重力mg和繩的拉力T，由牛頓第二定律有 解得3解析：（1）在從繩子開始拉緊到m1、m2、m3以共同速度運動m1、m2、m3組成的系統，動量守恒 代入數據解得 （2）在繩子拉緊得瞬間，m1、m2組成的系統動量守恒圖11代入數據解得 由功能關系得代入數據解得4 解析：（1）如圖11所示，金屬球A由a到b過程做勻加速直線運動，細繩與水平方向夾角為600時突然繃緊. 由題意 故電場力和重力的合力：，由動能定理得 ， 求得：； 在b點細繩突然繃緊時，小球只剩下切向速度； 球A由b到c過程