1.編號1,2,3的三位學生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數是X.（1）求隨機變量X的分布列；（2）求隨機變量X的數學期望和方差.解 （1）P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=3）=；隨機變量X的分布列為 X013P（2）E（X）=1+3=1.D（X）=(1-0)2+(1-1)2+(3-1)2=1.2 某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現有甲、乙兩位顧客，規定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：（1）X的分布列；（2）X的均值.解 （1）X的所有可能取值為0，10，20，50，60.P（X=0）=；P（X=10）=+=;P(X=20)= =;P(X=50)=;P(X=60)= =.故X的分布列為X010205060P（2）E（X）=0+10+20+50+60=3.3(元).3（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（2）當產品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時,該產品為優等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數的分布列極其均值（即數學期望）。解：（1），即乙廠生產的產品數量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產品為優等品，所以乙廠生產的產品中的優等品故乙廠生產有大約（件）優等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P故4湖南理18（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量（件）0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變），設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（）求當天商品不進貨的概率；（）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列和數學期型。4解（I）（“當天商品不進貨”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當天商品銷售量為1件”） （“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為2件”）（“當天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數學期望為5、江西理16（本小題滿分12分）某飲料公司招聘了一名員工，現對其進行一項測試，以使確定工資級別，公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則月工資定為3500元，若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數，假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力 （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望。（本小題滿分12分）解：（1）X的所有可能取值為：0，1，2，3，4即X01234P （2）令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100，2800，3500所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、遼寧理（19）（本小題滿分12分）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望；（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？附：樣本數據的的樣本方差，其中為樣本平均數6解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數學期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 10分由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.7、山東理18（本小題滿分12分）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立。（）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望.7解：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此20解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i=1,2用頻率估計相應的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應選擇L2（）A,B分別表示針對（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨立， 的分布列為X012P0040420548、四川理18（本小題共12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望；8解析：（1）所付費用相同即為元。設付0元為，付2元為，付4元為則所付費用相同的概率為（2）設甲，乙兩個所付的費用之和為，可為分布列9、天津理16（本小題滿分13分）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數的分布列及數學期望 .9本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分. （I）（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則 （ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的數學期望10重慶理17（本小題滿分13分）（）小問5分，（）小問8分）某市公租房的房源位于A，B，C三個片區，設每位申請人只申請其中一個片區的房源，且申請其中任一個片區的房源是等可能的求該市的任4位申請人中： （）恰有2人申請A片區房源的概率； （）申請的房源所在片區的個數的分布列與期望10（本題13分）解：這是等可能性事件的概率計算問題. （I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區房源的概率為解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.記“申請A片區房源”為事件A，則從而，由獨立重復試驗中事件A恰發生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區房源的概率為 （II）的所有可能值為1，2，3.又綜上知，有分布列 1 2 3P 從而有11.（2008全國理，20）已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗方案:方案甲:逐個化驗,直到能確定患病動物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗,直到能確定患病動物為止;若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.(1)求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率;(2)表示依方案乙所需化驗次數,求的期望.解 （1）設1、2分別表示依方案甲和依方案乙需化驗的次數，P表示對應的概率，則方案甲中1的分布列為1234P方案乙中2的分布列為 123P0若甲化驗次數不少于乙化驗次數,則P=P(1=1)P(2=1)+P(1=2)P(2=1)+P(2=2)+P(1=3)P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)+P(1=4)=0+（0+）+（0+）+=0.72.(2)E（）=10+2+3=2.4.12.甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為，求的分布列和數學期望.解 (1)設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B.由題意得(1-P(B)2=(1-p)2=,解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率為.（2）由題設和（1）知P(A)=,P()=,P(B)= ,P()=.可能的取值為0，1，2，3，故P(=0)=P()P()=,P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）=+2=,P(=3)=P(A)P(BB)=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.的分布列為0123P的數學期望 E（）=0+1+2+3=2.13.設在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個數.（1）求的分布列、期望值及方差；（2）求的分布列、期望值及方差.解 （1）的可能值為0，1，2.若=0，表示沒有取出次品，其概率為：P（=0）=;同理，有P（=1）=；P（=2）=.的分布列為：012PE（）=0+1+2=.D（）=(0-)2+=+=.(2)的可能值為1，2，3，顯然+=3.P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=3)=P(=0)=.的分布列為： 123PE（）=E（3-）=3-E（）=3-=.=-+3，D（）=（-1）2D（）=.14.某地區的一個季節下雨天的概率是0.3，氣象臺預報天氣的準確率為0.8.某廠生產的產品當天怕雨，若下雨而不做處理，每天會損失3 000元，若對當天產品作防雨處理，可使產品不受損失，費用是每天500元.（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的分布列，并求其平均值；（2）若該廠完全按氣象預報作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的分布列.計算的平均值，并說明按氣象預報作防雨處理是否是正確的選擇？解 （1）設為損失數，分布列為：03 000P0.70.3E（）=3 0000.3=900（元）.（2）設為損失數，則P（=0）=0.70.8=0.56.P(=500)=0.30.8+0.70.2=0.38.P（=3 000）=0.30.2=0.06.分布列為：05003 000P0.560.380.06E（）=0+5000.38+3 0000.06=370平均每天損失為370元.370900，按天氣預報作防雨處理是正確的選擇.15.（2008湖北理，17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現從袋中任取一球，表示所取球的標號.（1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,試求a,b的值.解 （1）的分布列為 01234PE（）=0+1+2+3+4=1.5.D（）=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75.(2)由D（）=a2D（）,得a22.75=11,即a=2.又E（）=aE（）+b,所以當a=2時,由1=21.5+b,得b=-2.當a=-2時,由1=-21.5+b,得b=4.或即為所求.16.A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗.每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效.若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組.設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效