“任一偶數均可表為兩個奇素數之差”簡捷證明王若仲 （務川自治縣實驗學校 貴州564300）摘要：“任一不小于4的偶數，偶數均可表為兩個均不大于偶數2的奇素數之差”確實存在一種簡捷的證明方法，即就是證明存在有“奇素數-奇素數”的情形可以轉換到奇素數的個數和奇合數的個數上來加以分析，即通過順篩和逆篩的辦法，從而得到“任一不小于4的偶數，偶數均可表為兩個均不大于偶數2的奇素數之差”的一種簡捷證明。關鍵詞：奇素數 奇合數 順篩 逆篩我們知道，只能被1和本身整除的正整數，稱為素數。定義1：我們把既是奇數又是合數的正整數，稱為奇合數。引理1：對于任一正整數M（M2），關于某一奇素數p，pM，設集合p，2p，3p，mp中元素個數與集合 1，2，3，4,5,6，M 中元素個數的比值為t，則（1）、當mp=M時，t=1/p；（2）、當mpM時，t1/p。其中mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數。證明：因為集合p，2p，3p，mp有個元素，集合1，2，3，4, 5, 6，M有M個元素，（）、當mp=M時，t=m/mp=1/p；（）、當mpM時，又因為mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數，那么mpM，而t=m/Mm/mp1/p。綜上所述，引理1成立。引理2：對于任一奇數M（M2），關于某一奇素數p，pM，設集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中元素個數與集合1，3，5，7，9，M中元素個數的比值為t,則（1）、當（2m-1）p=M時，t1/p；（2）、當（2m-1）p+p-1=M時，t1/p；（3）、當（2m-1）p+p-1M時，t1/p；（4）、當（2m-1）p+p-1M時，t1/p；其中（2m-1）p為該形式下不大于正整數M的最大奇數。證明：因為集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m個元素,集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 個元素（）、當（2m-1）p=M時，則(M+1)/2=(2m-1)p/2mp,所以t=2m/(M+1)1/p ；（）、當（2m-1）p+p-1=M時，則(M+1)/2=mp，所以t=m/mp=1/p ； （）、當（2m-1）p+p-1M時，則(M+1)/2mp，所以t=2m/(M+1)1/p；（）、當（2m-1）p+p-1M時，則(M+1)/2mp，所以t=2m/(M+1) 1/p。綜上所述，引理2成立。引理3：對于一個相當大的正整數M，關于任一小于正整數M的奇素數p，設集合p，2p，3p，mp中元素個數與集合1，2，3，4,5,6，M中元素個數的比值為t，則t1/p（其中mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數）。證明：對于任一奇素數p，集合p，2p，3p，mp有m個元素，集合1，2，3，4, 5, 6，M有M個無素（）、當mp=M時，t=m/mp=1/p；（）、當mpM時，因為mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數，那么mpM，我們令M=mp+h，那么hp，所以mpM=mp+h（m+1）p，則m/（m+1）pt=m/Mm/mp，因為正整數M相當大，那么正整數m也相當大，故t1/p。綜上所述，引理3成立。引理4：對于一個相當大的奇數M，關于任一小于奇數M的奇素數p，設集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中元素個數與集合1，3，5，7，9，M中元素個數的比值為t，則t1/p（其中（2m-1）p為該形式下不大于奇數M的最大奇數）。證明：對于任一奇素數p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m個元素，集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 個元素（）、當（2m-1）p=M時，(M+1)/2 =mp-（p-1）/2，因為m/（mp-p）= m/（m-1）p，M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，則m/（mp-p）= m/（m-1）p1/p，即m/mp-（p-1）/21/p，t1/p；（）、當（2m-1）p+p-1=M時，(M+1)/2=mp，則t=m/mp=1/p；（）、當（2m-1）p+p-1M時，我們令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1hp+1，這是因為（2m-1）p 為該形式下不大于奇數M的最大奇數，我們令h=p，則(M+1)/2 =mp+p/2（m+1）p，即mpmp-（p-1）/2（m+1）p，M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，m/（m+1）p1/p，故t1/p；（）、當（2m-1）p+p-1M時，我們令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，這是因為（2m-1）p 為該形式下不大于奇數M的最大奇數，我們令h=p-1，則(M+1)/2 =mp-（p-1）/2（m-1）p，即（m-1）pmp-（p-1）/2mp，M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，m/（m-1）p1/p，故t1/p。綜上所述，引理4成立。引理5：對于任一比較大的正整數M，設奇素數p1，p2，p3，pt均為不大于M的全體奇素數（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），那么在區間M，M中任何一個奇合數a，奇合數a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一個奇素數pi整除。證明：設奇數a為區間M，M中的一個奇合數，那么奇數a總可以分解為兩個均不小于3的奇數的積，具體分析如下：（1）、當M =bc，如果b=c，b和c均為素數，那么M =b2=c2；則素數b為不大于M；（2）、當M =bc，如果b=c，b和c均為大于M的素數，那么Mbc，即奇合數bc不可能是區間M，M中的一個奇合數，這種情形與已知情形產生矛盾；（3）、當M =bc，如果b=c，b和c均為奇合數，那么奇合數b中必有一個奇素數因子q小于M；（4）、當M =bc，如果bc，b和c均為奇合數，那么奇合數c中必有一個奇素數因子q小于M；（5）、當M =bc，如果bc，b和c均為奇素數，那么奇素數c小于M；（6）、設奇數a為區間M，M中的一個奇合數，令奇合數a=bc，a M，如果b=c，b和c均為素數，那么b素數為小于M奇素數；（7）、設奇數a為區間M，M中的一個奇合數，令奇合數a=bc，a M，如果b=c，b和c均為奇合數，那么奇合數b中必有一個素數因子p小于M；（8）、設奇數a為區間M，M中的一個奇合數，令奇合數a=bc，a M，如果bc，b和c中一個為素數和一個為合數，那么奇數b和c必為一大一小的奇數，不妨設小的一個奇數為素數，則小的一個素數必為小于M的奇素數；（9）、設奇數a為區間M，M中的一個奇合數，令奇合數a=bc，a M，如果bc，b和c中一個為素數和一個為合數，那么奇數b和c必為一大一小的奇數，不妨設大的一個奇數為素數，那么小的一個奇數必為奇合數，不妨令小的一個奇數為c，則奇合數c總可以分解為素因子的乘積，其中任何一個素因子必為小于M的奇素數；（10）、其它情形同理可得出同樣的結論。綜上所述，引理5成立。引理6：對于一個相當大的奇數M，關于任何兩個均小于正整數M的奇素數p和q（pq），若在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全體元素和篩除屬于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全體元素，則有下列等式成立：W1-（1/p+1/q）+1/pq= W（1-1/p）-（1-1/p）/q=W（1-1/p）（1-1/q）。其中W為集合1，3，5，7，9，M中元素的個數，（2m-1）p為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m-1）q為該形式下不大于奇數M的最大奇數。證明：對于一個相當大的奇數M，由引理4可知，關于任一小于奇數M的奇素數g，那么集合g，3g，5g，7g，9g，（2m-1）g中元素個數與集合1，3，5，7，9，M中元素個數的比值約等于1/g，其中（2m-1）g為該形式下不大于奇數M的最大正整數；那么任何兩個均小于正整數M的奇素數p和q（pq），若要在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全體元素和篩除屬于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全體元素，則有W-（W/p+W/q）+W/pq= W1-（1/p+1/q）+1/pq= W（1-1/p）-（1-1/p）/q=W（1-1/p）（1-1/q），其中W為集合1，3，5，7，9，M中元素的個數。故引理6成立。引理7：對于一個相當大的奇數M，設奇素數p1，p2，p3，pt均為不大于M的全體奇素數（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），若要在集合1，3，5，7，9，M中篩除全體奇合數，那么只須在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m-1）p1中的全體元素，篩除屬于集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m-1）p2中的全體元素，篩除屬于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m-1）p3中的全體元素，篩除屬于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2m-1）pt中的全體元素；并且有下列等式成立：W1-（1/p1+1/p2+1/p3+1/pt）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p1p4+1/pt-1pt）-（1/p1p2p3+1/p1p2p4+1/p1p2p5+1/pt-2pt-1pt）+（-1）t1/p1p2p3pt-2pt-1pt=W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）（1-1/pt-1）（1-1/pt）。其中W為集合1，3，5，7，9，M中元素的個數，（2m-1）p1為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m-1）p2為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m-1）p3為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m-1）pt-1為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m-1）pt為該形式下不大于奇數M的最大奇數。證明：因為W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）= W1-（1/p1+1/p2+1/p3）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3）-（1/p1p2p3），又因為在區間M，M中的任何一個奇合數a，奇合數a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一個奇素數pi整除，故由引理4和引理5以及引理6可知引理7成立。定義2：在集合1，3，5，7，9，（M-3），（M-1）中篩除屬于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全體元素，這種篩除方式，稱之為順篩；其中M為比較大的偶數，p為小于偶數M的奇素數，（2m-1）p為該形式下小于偶數M的最大奇數。引理8：設有一個相當大的正整數M，對于任一小于正整數M的奇素數p，集合p，2p，3p，mp中的元素個數為m，其中mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數，則mM/p。證明：（）、當mp=M時，則m=M/p；（）、當mpM時，因為mp為該形式下不大于正整數M的最大正整數，則mM/p。綜上所述，引理8成立。引理9：設有一個相當大的奇數M，對于任一小于奇數M的奇素數p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的元素個數為m，其中（2m-1）p為該形式下不大于奇數M的最大奇數，則mM/p。證明：對于任一小于奇數M的奇素數p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m個元素，集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 個元素（）、當（2m-1）p=M時，(M+1)/2 =mp-（p-1）/2，因為mp-（p-1）/2/p（m-1）p/p=（m-1），M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，故mM/p；（）、當（2m-1）p+p-1=M時，(M+1)/2=mp，則m=M/p；（）、當（2m-1）p+p-1M時，我們令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1hp+1，這是因為（2m-1）p 為該形式下不大于奇數M的最大奇數，我們令h=p，則(M+1)/2 =mp+p/2（m+1）p，即mpmp-（p-1）/2（m+1）p， M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，故mM/p；（）、當（2m-1）p+p-1M時，我們令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，這是因為（2m-1）p 為該形式下不大于奇數M的最大奇數，我們令h=p-1，則(M+1)/2 =mp-（p-1）/2（m-1）p，即（m-1）pmp-（p-1）/2mp，M為相當大的奇數，那么m也為相當大的正整數，故mM/p。綜上所述，引理9成立。定義3：對于某一偶數2m，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b中至少有一個為奇合數，則稱a和b為關于偶數2m的負合對子，記為2m（ab）。定義4：對于某一偶數2m，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b均為奇素數，則稱a和b為關于偶數2m的負素對子，記為2m（ab）。定義5：對于某一偶數2m，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b中一個為奇素數一個為奇合數，則稱奇素數的一個為關于偶數2m的負虛合數，特別當b 為1時，仍稱a為關于偶數2m的負虛合數，記為2m（p）。定義6：在集合M，（M+1），（M+3），M+（2m-3）p，M+（2m-1）p中篩除屬于集合（M+p），（M+3p），（M+5p），（M+7p），（M+9p），M+（2m-1）p中的全體元素或者在集合1，3，5，7，9，（M-1），M 中篩除屬于集合（2m-a1）pM，（2m-a2）pM，（2m-a3）pM，（2m-1）p- M中的全體元素，這種篩除方式，稱之為逆篩；其中M為比較大的偶數，p為小于偶數M的奇素數，（2m-a1）p為該形式下大于偶數M的最小奇數，（2m-1）p為該形式下小于偶數2M的最大奇數。定理1：任一不小于4的偶數H，偶數H均可表為兩個均不大于該偶數H兩倍的奇素數之差。證明：對于任一比較大的偶數2m，mN，我們設奇素數p1，p2，p3，pr均為不大于2m的全體奇素數（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，r），rN；設奇素數p1，p2，p3，pt均為不大于4m的全體奇素數（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。 因為偶數2m=（4m-1）-（2m-1）=（4m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=（2m+3）-3=（2m+1）-1。對于“奇數-奇數=2m”的情形，則有下列幾種情形：1、 奇合數-奇合數=2m，2、 奇合數-奇素數=2m，3、 奇素數-奇合數=2m，4、 奇素數-奇素數=2m，5、 奇合數-1=2m，6、 奇素數-1=2m，所以關于“2m=奇數-奇數”的情形，我們具體分析如下：（）、對于偶數2m，設不大于偶數2m的全體奇數組成的集合為1，3，5，7，9，H，u為集合1，3，5，7，9，H中元素的個數，設不大于偶數4m的全體奇數組成的集合為1，3，5，7，9，M，W為集合1，3，5，7，9，M 中元素的個數，由引理5可知，若要在集合1，3，5，7，9，M中篩除全體奇合數，那么只須在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全體元素，篩除屬于集合3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全體元素，篩除屬于集合3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全體元素，篩除屬于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全體元素，篩除屬于集合3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全體元素。其中（2m1-1）p1為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m2-1）p2為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2m3-1）p3該形式下為不大于奇數M的最大奇數，（2mr-1）pr為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2mt-1-1）pt-1為該形式下不大于奇數M的最大奇數，（2mt-1）pt為該形式下不大于奇數M的最大奇數。（）、我們令集合A=3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p13p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p23p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p33pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt，則集合A中的元素均為奇合數。設關于偶數2m的全體負虛合數組成的集合為B，由定義9可知，因為集合AB中的任一元素都能組成負合對子，所以只要我們探討得出關于偶數2m的全體負虛合數組成的集合B與全體奇合數組成集合A的并集不包含集合1，3，5，7，9，M；那么集合1，3，5，7，9，M與集合AB的差集中的任一元素必然都能組成負素對子，即集合1，3，5，7，9，M與集合AB的差集中至少有兩個奇素數p和q，使得p-q=2m。（1）、當偶數2m中含有奇素數因子pi（i=1，2，3，t）時，對于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇數g，奇數（g-2m）（2mg4m）和奇數（2m+g）（0g2m）仍能被奇素數pi整除；說明奇數（g-2m）和奇數（2m+g）為奇合數或者為關于偶數2m的負虛合數。若在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全體元素，其中（2mi-1）pi為該形式下不大于偶數4m的最大奇數，由引理4和引理6以及引理7可知，那么篩除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的個數X可轉化為下列計算公式：X=W-W/pi=W（1-1/pi）。（2）、當偶數2m中不含有奇素數因子pi（i=1，2，3，t）時，對于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇數g：、當奇數g小于偶數2m時，則奇數（2m+g）不能被奇素數pi整除；、當奇數g大于偶數2m而小于偶數4m時，則奇數（g-2m）不能被奇素數pi整除；其中（2mi-1）pi為該形式下不大于偶數4m的最大奇數。和說明奇數（2m+g）或（g-2m）（除g=pi外）為奇合數或者為關于偶數2m的負虛合數。在集合1，3，5，7，9，M中除了要篩除屬于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全體元素，同時在集合1，3，5，7，9，M中還要篩除和中的全部情形，即要篩除4m以內pi的全體奇數倍（除pi1外）；還要篩除2m以內pi的全體奇數倍分別加上2m所得的奇數; 還要篩除2m至4m以內3的全體奇數倍分別減去2m所得的奇數;那么由第（2）的情形和引理4以及引理6和引理7以及引理8和引理9可知，則篩除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的個數X可轉化為下列計算公式：X=W-2W/pi=W（1-2/pi）。（3）、在集合1，3，5，7，9，M中篩除屬于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全體元素，篩除屬于集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全體元素，篩除屬于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全體元素，篩除屬于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全體元素篩，篩除屬于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全體元素，以及篩除關于偶數2m的全體負虛合數；根據上述（1）和（2）中分析的情形，由引理5和引理7以及引理8可知，我們可以把按照上述這樣的情形篩除后集合1，3，5，7，9，M中最后剩下元素的個數轉化為下列計算公式：Y=tt-1321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t，其中di=1或2（i=1，2，3，t）。第1、當偶數2m中含有奇素數因子pi時，那么di取值為1；第2、當偶數2m中不含有奇素數因子pi，（2m-pi）為奇素數時那么di取值為2。對于上述計算公式Y=tt-1321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t而言，由上述第（2）和第（3）分析的情形可得，原因是：Y1=W（1-d1/p1）；Y2=W（1-d1/p1）- W（1-d1/p1）d2/p2=21W（1-d1/p1）1（1-d2/p2） 2；Y3=21W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2- 21W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2d3/p3+e3=321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2（1-d3/p3） 3；Yt=Y=tt-1321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t。所以從上述（1）和（2）以及（3）中分析的情形可知，實際上可能沒有被篩除的奇數的個數比數值Y要大得多。（）、我們假定偶數2m中均不含有奇素數因子p1，p2，p3，pt；并且把奇數p1，（2m+p1），p2，（2m+p2），p3，（2m+p3），pt，（2m+ pt）等等均看作要篩除；那么可得如下情形：X1=W（1-2/p1），由第（）中（2）的情形可知，當偶數2m中不含有奇素數因子pi（i=1，2，3，t）時，對于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇數g：、當奇數g小于偶數2m時，則奇數（2m+g）不能被奇素數pi整除；、當奇數g大于偶數2m而小于偶數4m時，則奇數（g-2m）不能被奇素數pi整除；在集合1，3，5，7，9，M中除了要篩除屬于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全體元素，同時在集合1，3，5，7，9，M中還要篩除和中的全部情形，即要篩除4m以內pi的全體奇數倍，還要篩除2m以內pi的全體奇數倍分別加上2m所得的奇數， 還要篩除2m至4m以內3的全體奇數倍分別減去2m所得的奇數，又因為集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全體元素的個數與在集合1，3，5，7，9，M中要篩除和中的全部情形的全體元素的個數相等，并且集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi和在集合1，3，5，7，9，M中要篩除和中的全部情形的全體元素組成的集合都是等差數列；其中（2mi-1）pi為該形式下不大于4m的最大奇數。同理可得下列情形：X2=W（1-2/p1）-（2 W /p2-4 W /p1p2）= W（1-2/p1）（1-2/p2）；X3=W（1-2/p1）（1-2/p2）-（2 W /p3-4 W /p1p3- 4 W /p2p3+8 W /p1p2p3= W（1-2/p1）（1-2/p2）（1-2/p3）；X t=X= W（1-2/p1）（1-2/p2）（1-2/p3）（1-2/pt-1）（1-2/pt）=W（1-2/p1）（1-2/p2）（1-2/p3）（1-2/pt-1）（1-2/pt）。（）、對于第（）中的計算公式Y= W（1-d1/p1）（1-d2/p2）（1-d3/p3）（1-di-1/pi-1）（1-di/pi）（1-di+1/pi+1）（1-dt-1/pt-1）（1-dt/pt）和第（）中的計算公式X= W（1-2/p1）（1-2/p2）（1-2/p3）（1-2/pt-1）（1-2/pt）而言，說明Y的數值大于X的數值，即能夠組成全部關于偶數2m的負合對子的奇數全被篩除。那么Y= W（1-d1/p1）（1-d2/p2）（1-d3/p3）（1-di-1/pi-1）（1-di/pi）（1-di+1/pi+1）（1-dt-1/pt-1）（1-dt/pt）W（1-2/p1）（1-2/p2）（1-2/p3）（1-2/pi-1）（1-2/pi）（1-2