熱點總結與強化訓練 四 熱點1空間幾何體的三視圖及其表面積 體積1 本熱點在高考中的地位柱 錐 臺 球及其簡單組合體 三視圖 直觀圖等內容是立體幾何的基礎 是研究空間問題的基本載體 也是高考對立體幾何考查的一個重要方面 其中幾何體的結構特征和三視圖是高考的熱點 從近幾年的新課標高考來看 對三視圖的考查每年都有 主要以選擇題 填空題的形式考查三視圖 幾何體的表面積 體積的計算 且難度有逐年加大的趨勢 2 本熱點在高考中的命題方向及命題角度從高考來看 對三視圖的考查每年都有所變化 主要有以下幾種方式 1 由幾何體畫三視圖或考查對簡單幾何體的三視圖的識別 2 由三視圖還原幾何體 主要考查對空間幾何體的認識及空間想象能力 3 借助于三視圖研究幾何體 將三視圖與幾何體的表面積 體積的計算結合在一起進行考查 另外 此類問題也可能以解答題的形式進行綜合考查 以三視圖的形式給出幾何體的特征 進一步考查空間中的位置關系 1 識與畫三視圖的關鍵點 1 要牢記三視圖的觀察方向和長 寬 高的關系 三視圖的正視圖 側視圖 俯視圖分別是從物體的正前方 正左方 正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形 反映了一個幾何體各個側面的特點 正視圖反映物體的主要形狀特征 是三視圖中最重要的視圖 俯視圖要和正視圖對正 畫在正視圖的正下方 側視圖要畫在正視圖的正右方 高度要與正視圖平齊 2 要熟悉各種基本幾何體的三視圖 2 空間幾何體的表面積和體積 1 柱體 錐體 臺體的側面積就是各個側面積之和 表面積就是各個面的面積之和 即側面積和底面積之和 2 圓柱 圓錐 圓臺 球的表面積和體積公式 3 幾何體的表面積及體積問題求解技巧 1 求幾何體的表面積和體積問題 可以多角度 多方位考慮 熟記公式是關鍵所在 求三棱錐的體積 等體積轉化是常用的方法 轉換原則是其高易求 底面放在已知幾何體的某一面上 2 求不規(guī)則幾何體的體積 常用分割或補形的思想 將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以便于求解 平時的備考中要從對空間幾何體的整體觀察入手 遵循從整體到局部 從具體到抽象的原則認識空間圖形 通常采用直觀感知認識空間圖形 培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力及幾何直觀能力 同時對于幾何體的表面積 體積的求法要加大訓練 培養(yǎng)準確運算的能力 1 2011 廣東高考 如圖 某幾何體的正視圖 主視圖 是平行四邊形 側視圖 左視圖 和俯視圖都是矩形 則該幾何體的體積為 a 6 b 9 c 12 d 18 解析 選b 由三視圖得 幾何體為一平行六面體 底面是邊長為3的正方形 高 所以幾何體的體積故選b 2 2011 浙江高考 若某幾何體的三視圖如圖所示 則這個幾何體的直觀圖可以是 解析 選d 由三視圖的概念容易判斷a b的正視圖應是正方形 c的俯視圖不含從正方形的頂點到一邊中點的斜線 故d正確 3 2012 濟南模擬 一個幾何體的三視圖如圖所示 單位長度 cm 則此幾何體的表面積是 a 80 16 cm2 b 84cm2 c 96 16 cm2 d 96cm2 解析 選a 由三視圖可得該幾何體是正四棱錐與正方體的組合 s表面積 42 5 4 80 16 cm2 4 2012 揭陽模擬 如圖 三棱柱abc a1b1c1的側棱長和底面邊長均為4 且側棱aa1 底面abc 其正視圖是邊長為4的正方形 則此三棱柱的側視圖的面積為 a 16 b c d 解析 選d 由題意知該三棱柱的側視圖是長為4 寬為的矩形 故其面積為 5 2012 武漢模擬 一個幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積與體積分別為 a 7 3 b 8 3 c 7 d 8 解析 選c 由幾何體的三視圖可得 此幾何體是四棱柱 底面是梯形 其表面積為s 2 1 2 1 12 12 1 2 1 7 體積為 6 2012 濰坊模擬 某幾何體的一條棱長為 在該幾何體的正視圖中 這條棱的投影是長為的線段 在該幾何體的側視圖與俯視圖中 這條棱的投影分別是長為a和b的線段 則a b的最大值為 a b c 4 d 解析 選c 結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算 如圖 設長方體的長 寬 高分別為m n k 由題意得 n 1 a2 1 b2 1 6 a2 b2 8 a b 2 a2 2ab b2 8 2ab 8 a2 b2 16 即a b 4 當且僅當a b 2時取等號 7 2012 福州模擬 一幾何體的三視圖如圖所示 1 畫出它的直觀圖 并求其體積 2 你能發(fā)現(xiàn)該幾何體的哪些面互相垂直 試一一列出 解析 1 幾何體的直觀圖如圖 棱錐p abc 其中pc 平面abc abc 90 abc斜邊ac上的高為cm pc 6cm ac 5cm 2 互相垂直的面分別有 平面pac 平面abc 平面pbc 平面abc 平面pbc 平面pab 熱點2點 線 面的位置關系及空間向量在立體幾何中的應用1 本熱點在高考中的地位點 直線 平面的位置關系主要包括空間點 直線 平面之間的位置關系及線面 面面平行 垂直 的判定和性質 是解決立體幾何中推理和計算問題的基礎 而空間向量在立體幾何中主要用于證明空間線面間的位置關系及計算空間角 它們都是高考的必考內容 2 本熱點在高考中的命題方向及命題角度高考對本部分內容考查的題型比較穩(wěn)定 以空間線面關系的推理證明與二面角的求解為主 難度中等 1 以選擇題 填空題的形式考查空間中的位置關系 且這種題型常與充要條件及命題結合在一起 有時也以此類題型考查空間角的求法 2 解答題考查空間角的求法以及線線 線面 面面的垂直與平行等 第一問一般為空間線面關系的證明 第二問一般是二面角的求法 并且根據(jù)幾何體很容易建立空間直角坐標系 將二面角的求解轉化為空間向量的有關運算 1 直線 平面平行的判定與性質利用線線平行 線面平行 面面平行的相互轉化 解決平行關系的判定時 一般遵循從 低維 到 高維 的轉化 即從 線線平行 到 線面平行 再到 面面平行 而應用性質定理時 其順序正好相反 但也要注意其轉化的方向 要依題目的具體條件而定 不可過于模式化 2 直線 平面垂直的判定與性質 1 線面垂直的判定和性質實質體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉化 判定定理中的兩條相交直線必須保證 在平面內相交 這一條件 而且已知線面垂直 則直線與平面內任一直線垂直的性質又為我們提供了證明線線垂直的依據(jù) 2 要證面面垂直 可以考慮利用面面垂直的定義即證這兩個平面所成的二面角是直二面角 也可先證線面垂直 即設法先找到其中一個平面的一條垂線 再證這條垂線在另一個平面內或與另一個平面內的一條直線平行 而見到面面垂直時要首先想到在其中一個平面內找 或作 出交線的垂線 此直線與另一個平面垂直 3 向量法證明線面位置關系的常用依據(jù)設直線l m的方向向量分別 a1 b1 c1 a2 b2 c2 平面 的法向量分別為 a3 b3 c3 a4 b4 c4 1 線線平行 l m a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 2 線線垂直 l m a1a2 b1b2 c1c2 0 3 線面平行 l a1a3 b1b3 c1c3 0 4 線面垂直 l a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 5 面面平行 a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 6 面面垂直 a3a4 b3b4 c3c4 0 4 巧用 向量法 求解 空間角 1 向量法求異面直線所成的角若異面直線a b的方向向量分別為 異面直線所成的角為 則 2 向量法求線面所成的角求出平面的法向量 直線的方向向量 設線面所成的角為 則 3 向量法求二面角求出二面角 l 的兩個半平面 與 的法向量 若二面角 l 所成的角 為銳角 則若二面角 l 所成的角 為鈍角 則 1 熟練掌握立體幾何的基本概念 公理 定理是基礎 解題步驟要規(guī)范 注重通性通法的運用 2 從高考的考查形式看 命題的載體以柱體 錐體為主 但同時也逐步趨向不規(guī)則幾何體 因此要有意識地加強對空間幾何體結構特征的認識和空間想象能力的培養(yǎng) 3 重視空間直角坐標系的建立方法及對向量計算的訓練 4 注重數(shù)學方法 加強學法指導 轉化與化歸的思想貫穿立體幾何的始終 是處理立體幾何問題的基本思想 另外還要注意提高識圖 理解圖 應用圖的能力 解題時應多畫 多看 多想 這樣才能提高空間想象能力和解決問題的能力 1 2011 新課標全國卷 如圖 四棱錐p abcd中 底面abcd為平行四邊形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 證明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 解題指南 1 利用勾股定理證明bd ad 從而證明pd 平面abcd 再證bd 平面pad即可 2 建立空間直角坐標系 求出平面pab和平面pbc的法向量 利用向量求解 解析 1 因為 dab 60 ab 2ad 由余弦定理得bd ad 從而bd2 ad2 ab2 故bd ad 又pd 底面abcd 可得bd pd 又因為pd ad d 所以bd 平面pad 故pa bd 2 如圖 以d為坐標原點 ad的長為單位長 射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標系dxyz 則a 1 0 0 b 0 0 c 1 0 p 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 設平面pab的一個法向量為 x y z 由 得令y 1 得同理可得平面pbc的一個法向量為所以由圖形知 二面角a pb c為鈍角 故二面角a pb c的余弦值為 2 如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc 1 cc1 2 點d e分別是aa1 cc1的中點 1 求證 ae 平面bc1d 2 證明 平面bc1d 平面bcd 3 求cd與平面bc1d所成角的正切值 解析 1 在矩形acc1a1中 由c1e ad c1e ad 得四邊形aec1d是平行四邊形 所以ae dc1 又ae 平面bc1d c1d 平面bc1d 所以ae 平面bc1d 2 直三棱柱abc a1b1c1中 bc cc1 ac bc cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 而c1d 平面acc1a1 所以bc c1d 在矩形acc1a1中 dc dc1 cc1 2 從而dc2 dc12 cc12 所以c1d dc 又dc bc c 所以c1d 平面bcd 而c1d 平面bc1d 所以平面bc1d 平面bcd 3 方法一 由 2 可知平面bc1d 平面bcd 所以 斜線cd在平面bc1d的射影在bd上 bdc即為直線cd與平面bc1d所成的角 又由 2 可知 bc 平面acc1a1 所以 bc cd 所以 三角形bcd是直角三角形 bc 1 cd 所以所求值為 方法二 以c1為原點 射線c1a1 c1b1 c1c為x y z軸的正半軸建立空間直角坐標系 則c 0 0 2 d 1 0 1 c1 0 0 0 b 0 1 2 則 1 0 1 1 0 1 0 1 2 設平面bc1d的一個法向量為 x y 1 由 得x 1 0 由 得y 2 0 由以上兩式解得x 1 y 2 1 2 1 設與的夾角為 則即cd與平面bc1d所成角的正弦值為 故所求值為 3 如圖 矩形abcd所在的平面與平面aeb垂直 且 bae 120 ae ab 4 ad 2 f g h分別為be ae bc的中點 1 求證 直線de與平面fgh平行 2 若點p在直線gf上 且二面角d bp a的大小為 試確定點p的位置 解析 1 取ad的中點m 連接mh mg f g h分別是be ae bc的中點 mh ab gf ab mh gf mg 平面fgh 又mg de 且de 平面fgh de 平面fgh 2 如圖 在平面abe內 過a作ab的垂線 記為ai 則ai 平面abcd 以a為原點 ai ab ad所在的直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系axyz a 0 0 0 b 0 4 0 d 0 0 2 e 2 2 0 g 1 0 f 1 0 0 2 0 0 4 2 5 0 設 0 2 0 則設平面pbd的一個法向量為 x y z 則取y 得z 2 x 5 2 又平面abp的一個法向量為 0 0 1 解得 1或4 故或 點p與f點重合或 4 4 已知某幾何體的三視圖如圖所示 其中p p 分別是該幾何體的一個頂點p在三個投影面上的投影 a b c d 分別是另四個頂點a b c d的投影 1 從 兩個圖中選擇出該幾何體的直觀圖 2 求直線pa與平面pbc所成角的正弦值 3 設平面pa