2 1 1簡單的隨機抽樣 呼市十八中高一年級組 某校有高中學生900人 校醫務室想對全校高中學生的身高作一次調查 為不影響正常的教學準備抽取50名學生作為調查對象 應該怎樣設計方案 我們知道 工廠生產的產品必須經過檢驗 只有合格產品才能進入市場流通 而有些檢驗帶有極大的破壞性 那么我們應該如何解決既要確保出廠的產品必須合格 又不能對其造成大面積破壞的矛盾呢 每年高考過后 考試中心的工作人員需要對考生的答卷進行分析 總結經驗 找出問題 以利于下一年度的高考命題 指導下一屆考生備考 而調研每位考生答卷的工作量太大 那么應如何科學地進行調研呢 總之 無論是生活 工作 學習 我們每時每刻都要同數據打交道 那么如何從眾多的數據中科學地提取有效數據 又如何科學地對數據進行分析 從而使我們能夠作出科學的決策 這正是統計的內涵 本章先介紹了簡單隨機抽樣 系統抽樣 分層抽樣這三種常用的抽樣方法 接著介紹如何用樣本估計總體 一是如何用樣本的頻率分布估計總體分布 二是如何用樣本的某種特征數去估計總體的相應的特征數 最后介紹了兩個變量之間的關系 除了函數關系這種確定性的關系以外 還存在因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系 相關性 統計是研究如何合理地收集 整理 分析數據的學科 它可以為人們制定決策提供依據 在日常生活中 人們常常需要收集數據 根據所獲得的數據提取有價值的信息 作出合理的決策 在本章中通過對數據的收集 整理和分析 可以增強我們的社會實踐能力 培養我們解決問題的能力 增強我們學習數學的興趣 一 統計的有關概念及統計的基本思想 1 總體 個體 樣本 1 總體 一般把所考察對象的某一數值指標的全體構成的集合看作是總體 2 個體 構成總體的每一個元素叫做個體 3 樣本 從總體中抽出的若干個個體所組成的集合叫做樣本 4 樣本容量 樣本中個體的個數叫做樣本容量 2 隨機抽樣抽樣時保證每一個個體都可能被抽到 并且每一個個體被抽到的機會是均等的 滿足這樣的條件的抽樣就是隨機抽樣 3 統計的基本思想方法統計的基本思想方法就是用樣本估計總體 即通常不直接去研究總體 而是通過從總體中抽取一個樣本 根據樣本的情況去估計總體的相應情況 在1936年的美國總統選舉前 一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測驗 調查蘭頓 當時任堪薩斯州州長 和羅斯福 當時的總統 誰將當選下一屆總統 為了了解公眾意向 調查者根據電話簿和俱樂部的車輛登記簿上的名單 統一給大批人發了調查表 通過分析收回的調查表 顯示蘭頓非常受歡迎 于是此雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝 實際選舉結果正好相反 最后羅斯福在選舉中獲勝 其數據如下 你認為預測結果出錯的原因是什么 分析 當時的訪問對象是從電話號碼簿和俱樂部會員名冊上選取的 但在1936年 美國家庭電話尚未普及 只有100萬部左右 尤其是有條件參加俱樂部的人 大多數是經濟上富有 政治上保守 傾向于共和黨的選民 這就造成了顯著的系統誤差 本例說明了抽樣方法的重要性 只有正確的抽樣方法才能使其樣本代表總體 也就是 一個好的抽樣調查勝過一次蹩腳的普查 盡管普查耗費了大量的人力 物力 財力 因此 我們必須掌握科學的抽樣方法 首先在抽樣時 必須將總體 攪拌均勻 其次還要掌握幾個常用的抽樣方法 如本章所學習的簡單隨機抽樣 系統抽樣 分層抽樣 二 簡單隨機抽樣 一般地 從元素個數為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本 如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到 這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣 這樣抽取的樣本 叫做簡單隨機樣本 簡單隨機抽樣的特點 1 它要求被抽取的樣本的個數有限 這樣 便于通過隨機抽取的樣本對總體進行分析 2 它是從總體中逐個地進行抽取 這樣 便于在抽樣實踐中進行操作 3 它是一種不放回抽樣 由于抽樣實踐中多采用不放回抽樣 使其具有較廣泛的實用性 而且由于所抽取的樣本中沒有被重復抽取的個體 便于進行有關的分析和計算 4 它每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到 從而保證了這種抽樣方法的公平性 問題 下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎 為什么 1 某班45名同學 指定個子最高的5名同學參加學校組織的某項活動 2 從20個零件中一次性抽出3個進行質量檢驗 3 一兒童從玩具箱中的20件玩具中隨意拿出一件來玩 玩后放回再拿下一件 連續玩了5件 三 抽簽法 抽簽法就是把總體中的N個個體編號 把號碼寫在號簽上 將號簽放在一個容器中 攪拌均勻后 每次從中抽取一個號簽 連續抽取n次 記下號簽上的號碼 就得到一個容量為n的樣本 抽簽法的優點和缺點 優點 抽簽法能夠保證每個個體入選樣本的機會都相等 得到的樣本是簡單隨機樣本 缺點 1 當總體中的個體數較多時 制作號簽的成本將會增加 使得抽簽法成本高 費時 費力 2 號簽很多時 把它們 攪拌均勻 就比較困難 結果很難保證每個個體入選樣本的可能性相等 從而使產生壞樣本 即代表性差的樣本 的可能性增加 某班有學生40人 為了了解學生各方面的情況 需要從中抽取一個容量為10的樣本 用抽簽法確定要抽取的學生 解 注意抽簽法的要求 S1將這40名學生按學號編號 分別為1 2 40 S2將這40個號碼分別寫在相同的40張紙片上 S3將這40張紙片放在一個盒子里攪拌均勻 抽出一張紙片 記下上面的號碼 然后再攪拌均勻 繼續抽取第2張紙片 記下號碼 重復這個過程直到取到第10個號碼時終止 于是 和這10個號碼對應的10個學生就構成了一個簡單隨機樣本 四 隨機數表法 隨機數表由數字0 1 2 3 9這10個數字組成 并且每個數字在表中各個位置上出現的機會一樣 通過隨機數生成器 例如計算器或計算機的應用程序生成隨機數的功能 可以生成一張隨機數表 通過隨機數表 根據實際需要和方便使用的原則 將幾個數組合成一組 然后抽取樣本 例如要考察某種品牌的850顆種子的發芽率 從中抽取50顆種子進行實驗 用隨機數表抽取的步驟如下 1 對850顆種子進行編號 可以編為001 002 850 2 給出的隨機數表是5個數一組 使用各個5位數組的前3位 從各組數中任選一個前3位小于或等于850的數作為起始號碼 例如從第1行第7組開始 取出530作為抽取的第1個代號 3 繼續向右讀 由于987 850 跳過這組數不取 繼續向右讀 得到415作為第2個代號 數組的前3位數不大于850且不與前面取出的數重復 就把它取出 否則跳過不取 取到一行末尾時轉到下一行從左到右繼續讀 如此下去 直到得到在001 850之間的50個三位數 上面我們是從左到右讀數 也可以從上到下讀數或其它有規則的讀數方法 用隨機數表法抽取樣本的步驟 S1將總體中的所有個體編號 每個號碼位數一致 S2在隨機數表中任選一個數作為開始 S3從選定的數開始按一定的方向讀下去 得到的號碼若不在編號中 則跳過 若在編號中 則取出 得到的號碼若在前面已經取出 也跳過 如此進行下去 直到取滿為止 S4根據選定的號碼抽取樣本 用隨機數表法抽取樣本的優缺點 優點 簡單易行 它很好地解決了用抽簽法時 當總體中的個體數較多時制簽難的問題 缺點 當總體中的個體數很多 需要的樣本容量也很大時 用隨機數表法抽取樣本仍不方便 例1 從30個燈泡中抽取10個進行質量檢測 說明利用隨機數表法抽取這個樣本的步驟 隨機數表見本章末第87頁附表 解 S1將30個燈泡編號 00 01 02 03 30 S2在隨機數表中任取一組數作為開始 如從第5行第5組的數12開始 S3從12開始向右讀 依次選出12 22 13 09 26 25 21 20 30 19這10個編號的燈泡 例2 要從某汽車廠生產的30輛汽車中隨機抽取3輛進行測試 請選擇合適的抽樣方法 寫出抽樣過程 解 本題總