可化為一元一次方程的分式方程可化為一元一次方程的分式方程 教教 學設計學設計 教材分析教材分析 本節課是湘教版數學八年級上冊第一章分式的第五節課 可化為一元一次方程的分式 方程 本章內容是在學習了整式的乘法的基礎上學習的整式的除法運算 本節課主要講解 解分式方程的一般步驟 了解解分式方程驗根的必要性 因此本節課重點是進解分式方程的一般步驟 熟練掌握分式方程的解決 明確解 分式方程驗根的必要性 所滲透的數學思想方法有 類比 轉化 建模 教學目標教學目標 知識與能力目標 1 解分式方程的一般步驟 2 了解解分式方程驗根的必要性 過程與方法目標 1 通過具體例子 讓學生獨立探索方程的解法 經歷和體會解分式方程的必要步驟 2 使學生進一步了解數學思想中的 轉化 思想 認識到能將分式方程轉化為整式方 程 從而找到解分式方程的途徑 情感態度價值觀目標 1 培養學生自覺反思求解過程和自覺檢驗的良好習慣 培養嚴謹的治學態度 2 運用 轉化 的思想 將分式方程轉化為整式方程 從而獲得一種成就感和學習數 學的自信 教學重難點教學重難點 教學重點 1 解分式方程的一般步驟 熟練掌握分式方程的解決 2 明確解分式方程驗根的必要性 教學難點 明確分式方程驗根的必要性 課前準備課前準備 多媒體課件 教學過程教學過程 一 導入新課一 導入新課 師 在上節課的幾個問題 我們根據題意將具體實際的情境 轉化成了數學模型 分式方程 但要使問題得到真正的解決 則必須設法解出所列的分式方程 這節課 我們就來學習分式方程的解法 我們不妨先來回憶一下我們曾學過的一元一次方 程的解法 也許你會從中得到啟示 尋找到解分式方程的方法 二 新課學習二 新課學習 某校八年級學生乘車去秋游 有兩條線路可供選擇 線路一全程 25km 線 路二全程 30km 若走線路二的速度是走線路一的 1 5 倍 所花時間比走線路一 少用 10min 求走線路一 二的平均速度分別是多少 分析 設走線路一的速度是xkm h 則走線路二的速度是 1 5xkm h 走線路一的時間是 h 走線路二的時間是 h 等量關系是 得到的方程是 像這樣 分母里含有未知數的方程叫做分式方程 以前學過的分母里不含有未知數的方程叫做整式方程 例 1 解方程 1 2 1 xx 3 生 解這個方程 能不能也像解含有分母的一元一次方程一樣去分母呢 師 同學們說他的想法可取嗎 生 可取 師 同學們可以接著討論 方程兩邊同乘以什么樣的整式 或數 可以去掉分母 呢 生 乘以分式方程中所有分母的公分母 生 解一元一次方程 去分母時 方程兩邊同乘以分母的最小公倍數 比較簡單 解分式方程時 我認為方程兩邊同乘以分母的最簡公分母 去分母也比較簡單 師 我覺得這兩位同學的想法都非常好 那么這個分式方程的最簡公分母是什么呢 生 x x 2 師生共析 方程兩邊同乘以 x x 2 得 x x 2 x x 2 2 1 xx 3 化簡 得 x 3 x 2 2 我們可以發現 采用去分母的方法把分式方程轉化為整式方程 而且是我們曾學過的 一元一次方程 生 再往下解 我們就可以像解一元一次方程一樣 解出 x 即 x 3x 6 去括號 2x 6 移項 合并同類項 x 3 x 的系數化為 1 師 x 3 是方程 2 的解嗎 是方程 1 的解嗎 為什么 同學們可以在小組內 討論 教師可參與到學生的討論中 傾聽學生的說法 生 x 3 是由一元一次方程 x 3 x 2 2 解出來的 x 3 一定是方程 2 的 解 但是不是原分式方程 1 的解 需要檢驗 把 x 3 代入方程 1 的左邊 1 右 23 1 邊 1 左邊 右邊 所以 x 3 是方程 1 的解 3 3 師 同學們表現得都很棒 相信同學們也能用同樣的方法解出例 2 例 2 解方程 4 x 300 x2 480 由學生在練習本上試著完成 然后再共同解答 解 方程兩邊同乘以 2x 得 600 480 8x 解這個方程 得 x 15 檢驗 將 x 15 代入原方程 得 左邊 4 右邊 4 左邊 右邊 所以 x 15 是原方程的根 師 很好 同學們現在不僅解出了分式方程的解 還有了檢驗結果的好習慣 我這里還有一個題 我們再來一起解決一下 先隱藏小亮的解法 議一議 解方程 2 3 2 x x x 3 1 可讓學生在練習本上完成 發現有和小亮同樣解法的同學 可用實物投影儀顯示他 的解法 并一塊分析 師 我們來看小亮同學的解法 2 3 2 x x x 3 1 解 方程兩邊同乘以 x 3 得 2 x 1 2 x 3 解這個方程 得 x 3 生 小亮解完沒檢驗 x 3 是不是原方程的解 師 檢驗的結果如何呢 生 把 x 3 代入原方程中 使方程的分母 x 3 和 3 x 都為零 即 x 3 時 方程中 的分式無意義 因此 x 3 不是原方程的根 師 它是去分母后得到的整式方程的根嗎 生 x 3 是去分母后的整式方程的根 師 為什么 x 3 是整式方程的根 它使得最簡公分母為零 而不是原分式方程的根 呢 同學們可在小組內討論 教師可參與到學生的討論中 傾聽同學們的想法 生 在解分式方程時 我們在分式方程兩邊都乘以最簡公分母才得到整式方程 如 果整式方程的根使得最簡公分母的值為零 那么它就相當于分式方程兩邊都乘以零 不符 合等式變形時的兩個基本性質 得到的整式方程的解必將使分式方程中有的分式分母為零 也就不適合原方程了 師 很好 分析得很透徹 我們把這樣的不適合原方程的整式方程的根 叫原方程 的增根 在把分式方程轉化為整式方程的過程中會產生增根 那么 是不是就不要這樣解 或 采用什么方法補救 生 還是要把分式方程轉化成整式方程來解 解出整式方程的解后可用檢驗的方法 看是不是原方程的解 師 怎樣檢驗較簡單呢 還需要將整式方程的根分別代入原方程的左 右兩邊嗎 生 不用 產生增根的原因是這個根使去分母時的最簡公分母為零造成的 因此最 簡單的檢驗方法是 把整式方程的根代入最簡公分母 若使最簡公分母為零 則是原方程 的增根 若使最簡公分母不為零 則是原方程的根 是增根 必舍去 師 在解一元一次方程時每一步的變形都符合等式的性質 解出的根都應是原方程的根 但在解分式方程時 解出的整式方程的根一定要代入最簡公分母檢驗 小亮就犯了沒有檢 驗的錯誤 三 結論總結 三 結論總結 解分式方程分三大步驟 1 方程兩邊都乘以最簡公分母 約去分母 化分式方程 為整式方程 2 解這個整式方程 3 把整式方程的根代入最簡公分母 看結果是否為零 使最簡公分母為零的根是 原方程的增根 應舍去 使最簡公分母不為零的根才是原方程的根 四 回顧 總結四 回顧 總結 想一想 解分式方程一般需要經過哪幾個步驟 師 同學們可根據例題和練習題的步驟 討論總結 生 解分式方程分三大步驟 1 方程兩邊都乘以最簡公分母 約去分母 化分 式方程為整式方程 2 解這個整式方程 3 把整式方程的根代入最簡公分母 看結果是否為零 使最簡公分母為零的根