第 1 頁 共 8 頁 第一學期期末高等數學試卷第一學期期末高等數學試卷 一 解答下列各題一 解答下列各題 本大題共本大題共 16 小題 總計小題 總計 80 分分 1 本小題本小題 5 分分 2 2 本小題本小題 5 分分 d 1 22 x x x 求 3 本小題本小題 5 分分 求極限limarctanarcsin x x x 1 4 本小題本小題 5 分分 d 1 x x x 求 5 本小題本小題 5 分分 求dtt dx d x 2 0 2 1 6 本小題本小題 5 分分 dcsccot 46 xxx求 7 本小題本小題 5 分分 求 2 1 2 1 cos 1 dx xx 8 本小題本小題 5 分分 設確定了函數求 xet yet yy x dy dx t t cos sin 2 2 9 本小題本小題 5 分分 求dxxx 3 0 1 10 本小題本小題 5 分分 求函數 的單調區間yxx 42 2 11 本小題本小題 5 分分 求 2 0 2 sin8 sin dx x x 12 本小題本小題 5 分分 求設 dxttetx kt sin4cos3 13 本小題本小題 5 分分 設函數由方程所確定 求 yy xyyx dy dx ln 226 14 本小題本小題 5 分分 求函數的極值yee xx 2 15 本小題本小題 5 分分 求極限lim x xxxx xx 12131101 101 111 2222 16 本小題本小題 5 分分 d cossin1 2cos x xx x 求 二 解答下列各題二 解答下列各題 本大題共本大題共 2 小題 總計小題 總計 14 分分 求極限 lim x xx xxx 2 3 32 1216 29124 第 2 頁 共 8 頁 1 本小題本小題 7 分分 512沿一邊可用原來的石條圍平方米的矩形的曬谷場某農場需建一個面積為 才能使材料最省多少時問曬谷場的長和寬各為另三邊需砌新石條圍沿 2 本小題本小題 7 分分 82 32 體積軸旋轉所得的旋轉體的所圍成的平面圖形繞和求由曲線ox x y x y 三 解答下列各題三 解答下列各題 本本 大大 題題 6 分分 設證明有且僅有三個實根f xx xxxfx 1230 一學期期末高數考試一學期期末高數考試 答案答案 一 解答下列各題一 解答下列各題 本大題共本大題共 16 小題 總計小題 總計 77 分分 1 本小題本小題 3 分分 解 原式 lim x x xx 2 2 2 312 61812 lim x x x 2 6 1218 2 2 本小題本小題 3 分分 x x x d 1 22 22 2 1 1d 2 1 x x 1 2 1 1 2 x c 3 本小題本小題 3 分分 因為arctanx 2 而limarcsin x x 1 0 故limarctanarcsin x x x 1 0 4 本小題本小題 3 分分 x x x d 1 x x x d 1 11 x x x 1 d d xxcln 1 5 本小題本小題 3 分分 原式 21 4 xx 6 本小題本小題 4 分分 xxxdcsccot 46 d cot cot1 cot 26 xxx 第 3 頁 共 8 頁 1 7 1 9 79 cotcot xxc 7 本小題本小題 4 分分 原式 cos 11 1 2 x d x sin 1 1 2 x 1 8 本小題本小題 4 分分 解 dy dx ett ettt t t 2 22 2 2 sincos cossin ett ttt t sincos cossin 2 2 22 9 本小題本小題 4 分分 令 1 xu 原式 2 4 1 2 2 uudu 2 53 53 1 2 uu 116 15 10 本小題本小題 5 分分 函數定義域 01 1 222 yx xxy 當 101 1 01 函數的單調減區間為 當 函數單調增區間為 當 yx yx 11 本小題本小題 5 分分 原式 dx x cos cos9 2 0 2 1 6 3 3 0 2 ln cos cos x x 1 6 2ln 12 本小題本小題 6 分分 dxx t dt dttktke kt sin 34 cos 34 13 本小題本小題 6 分分 2 2 6 5 yy y y x y yx y 3 1 5 2 14 本小題本小題 6 分分 定義域 且連續 yee xx 2 1 2 2 第 4 頁 共 8 頁 駐點 x 1 2 1 2 ln 由于 yee xx 20 22 2 1 ln 2 1 y故函數有極小值 15 本小題本小題 8 分分 原式 lim x xxxx xx 1 1 2 1 3 1 10 1 10 1 11 1 2222 101121 61011 7 2 16 本小題本小題 10 分分 dx x x dx xx x 2sin 2 1 1 2cos cossin1 2cos 解 x xd 2sin 2 1 1 12sin 2 1 lnsin1 1 2 2xc 二 解答下列各題二 解答下列各題 本大題共本大題共 2 小題 總計小題 總計 13 分分 1 本小題本小題 5 分分 設曬谷場寬為則長為米 新砌石條圍沿的總長為 x x Lx x x 512 2 512 0 L x x2 512 16 2 唯一駐點 L x x 1024 016 3 即為極小值點 故曬谷場寬為米 長為米時 可使新砌石條圍沿 所用材料最省 16 512 16 32 2 本小題本小題 8 分分 解 xx xxxx 23 23 11 28 8204 V xx dx xx dx x 2 2 3 2 0 4 46 0 4 28464 1 4 1 5 1 64 1 7 57 0 4 xx 35 512 7 1 5 1 44 三 解答下列各題三 解答下列各題 本本 大大 題題 10 分分 證明在連續 可導 從而在連續 可導 f x 0 3 第 5 頁 共 8 頁 又ffff 01230 則分別在上對應用羅爾定理得 至少存在 01122 3f x 123123 01122 30 使fff 即至少有三個實根 fx 0 0 它至多有三個實根是三次方程又 x f 由上述有且僅有三個實根 fx 高等數學 上 試題及答案高等數學 上 試題及答案 一 一 填空題 每小題填空題 每小題 3 分 本題共分 本題共 15 分分 1 31 lim 2 0 x x x 2 當 k 時 在處連續 0 0e 2 xkx x xf x 0 x 3 設 則xxyln dy dx 4 曲線在點 0 1 處的切線方程是 xey x 5 若 為常數 則 Cxdxxf2sin C xf 二 二 單項選擇題 每小題單項選擇題 每小題 3 分 本題共分 本題共 15 分分 1 若函數 則 x x xf lim 0 xf x A 0 B C 1 D 不存在1 2 下列變量中 是無窮小量的為 A B C D 0 1 ln x x 1 ln xx 0 cosx x 2 4 2 2 x x x 3 滿足方程的是函數的 0 x fx xfy A 極大值點 B 極小值點 C 駐點 D 間斷點 4 下列無窮積分收斂的是 A B C D 0 sin xdxdxe x 0 2 dx x 0 1 dx x 0 1 5 設空間三點的坐標分別為 M 1 1 1 A 2 2 1 B 2 1 2 則 AMB 第 6 頁 共 8 頁 A B C D 3 4 2 三 三 計算題 每小題計算題 每小題 7 分 本題共分 本題共 56 分 分 1 求極限 x x x 2sin 24 lim 0 2 求極限 1 11 lim 0 x x ex 3 求極限 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x 4 設 求 1ln 25 xxey y 5 設由已知 求 xyf ty tx arctan 1ln 2 2 2 dx yd 6 求不定積分 dx xx 3 2 sin 1 2 7 求不定積分 xxexdcos 8 設 求 0 1 1 0 1 1 x x x e xf x 2 0 d 1 xxf 四 四 應用題 本題應用題 本題 7 分分 求曲線與所圍成圖形的面積 A 以及 A 饒軸旋轉所產生的旋轉體的體積 2 xy 2 yx y 五 五 證明題 本題證明題 本題 7 分 分 若在 0 1 上連續 在 0 1 內可導 且 證明 xf0 1 0 ff1 2 1 f 在 0 1 內至少有一點 使 1 f 參考答案參考答案 一 填空題 每小題一 填空題 每小題 3 分 本題共分 本題共 15 分分 1 2 k 1 3 4 5 6 e x x 1 1 yxxf2cos2 二 單項選擇題 每小題二 單項選擇題 每小題 3 分 本題共分 本題共 15 分分 第 7 頁 共 8 頁 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 三 計算題 本題共三 計算題 本題共 56 分 每小題分 每小題 7 分 分 1 解 x x x 2sin 24 lim 0 8 1 24 2sin 2 lim 2 1 24 2sin lim 00 xx x xx x xx 2 解 2 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 11 lim 0000 xxx x x xx x x x x x x x xeee e xee e ex xe ex 3 解 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x ex xe x x 2 1 2 sin lim 2 cos 0 4 解 1 1 1 1 1 22 xxx y 2 1 1 x 5 解 t t t t dx dy 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 23 2 1 1 2 2 4 1 d ytddy dxt dtt dt dxdxt t 6 解 C x d x dx xx 3 2 cos 2 1 3 3 2 3 2 sin 2 1 3 2 sin 1 2 7 解 xx exxxedcosdcos sinxdxecos x xex x desincosxxex dxcossincosxexexe xxx Cxxex cos sin 8 解 0 1 1 0 1 1 2 0 d d d d 1 xxfxxfxxfxxf 1 0 0 1 1 d 1 d x x e x x 1 0 0 1 1ln d 1 1 xx e e x x 2ln 1ln 1 0 1 x e 第 8 頁 共 8 頁 1ln 1ln 1 1 ee 四 四 應用題 本題應用題 本題 7 分分 解 曲線與的交點為 1 1 2 xy 2 yx 于是曲線與所圍成圖形的面積 A 為 2 xy 2 yx 3 1 3 1 3 2 1