圓學子夢想 鑄金字品牌 1 溫馨提示 溫馨提示 此套題為此套題為 WordWord 版 請按住版 請按住 Ctrl Ctrl 滑動鼠標滾軸 調節合適的觀滑動鼠標滾軸 調節合適的觀 看比例 答案解析附后 關閉看比例 答案解析附后 關閉 WordWord 文檔返回原板塊 文檔返回原板塊 單元評估檢測單元評估檢測 四四 第四章第四章 120 120 分鐘分鐘 150150 分分 一 選擇題一 選擇題 本大題共本大題共 1212 小題小題 每小題每小題 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小題給出的四個選項在每小題給出的四個選項 中中 只有一項是符合題目要求的只有一項是符合題目要求的 1 2013 江西高考 復數 z i 2 i i 為虛數單位 在復平面內所對應的點在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 2 2014 天津模擬 已知下列結論 若 a b b c 則 a c 若 a b b c 則 a c a b a b 若 a b a c 則 b c 的逆命題 其中正確的是 A B C D 3 復數 z 3 i 為虛數單位 的模為 1 A 2B 3C D 4 10 圓學子夢想 鑄金字品牌 2 4 已知向量 a 1 2 則下列向量與 a 共線的是 A b 1 2 B b 2 1 C b 0 1 D b 1 1 5 2014 哈爾濱模擬 設 P 是 ABC 所在平面內的一點 若 2 則 B B B A 0B 0 P P P P C 0D 0 P P P P P 6 2014 成都模擬 復數的共軛復數為 i 1 A iB i 1 2 1 2 1 2 1 2 C iD i 1 2 1 2 1 2 1 2 7 2013 大綱版全國卷 已知向量 m n 若 1 1 2 2 則 A 4B 3C 2D 1 8 下面是關于復數 z 的四個命題 2 1 2 1 p1 z 2 p2 z2 4i p3 2i p4 z 的虛部是 0 其中的真命題為 z A p1 p2B p1 p3C p2 p3D p3 p4 9 2014 邯鄲模擬 如圖所示 非零向量 a b O O 且 BC OA C 為垂足 若 a 0 則 O 圓學子夢想 鑄金字品牌 3 10 2014 寧波模擬 在平面直角坐標系中 A 1 B 點是以原點 O 為圓心的 3 單位圓上的動點 則 的最大值是 O O A 4B 3C 2D 1 11 已知向量 a 1 3 b 2 6 c 若 a b c 5 則 a 與 c 的夾角為 10 A 30 B 45 C 60 D 120 12 能力挑戰題 設 e1 e2是平面內兩個互相垂直的單位向量 若向量 m 滿足 m e1 m e2 0 則 m 的最大值為 A 1B C D 2 23 二 填空題二 填空題 本大題共本大題共 4 4 小題小題 每小題每小題 5 5 分分 共共 2020 分分 請把正確答案填在題中橫請把正確答案填在題中橫 線上線上 13 若 3 4i 1 i i 是虛數單位 則 用復數代數形式表 O O A 示 14 2013 重慶高考 在 OA 為邊 OB 為對角線的矩形中 3 1 2 k 則 O O 實數 k 15 已知角 A B C 是三角形 ABC 的內角 a b c 分別是其對邊長 向量 m n m n 且 a 2 cosB 則 b 2 3 2 2 2 cos 2 2 3 3 16 能力挑戰題 已知點 A 3 0 B 0 3 C cos sin 若 1 則 A B 的值為 1 2 2 2 三 解答題三 解答題 本大題共本大題共 6 6 小題小題 共共 7070 分分 解答時應寫出必要的文字說明 證明過解答時應寫出必要的文字說明 證明過 程或演算步驟程或演算步驟 圓學子夢想 鑄金字品牌 4 17 10 分 2014 長春模擬 已知向量 O 2 2 1 O 定義函數 f x 2 2 O O 1 求函數 f x 的表達式 并指出其最大值和最小值 2 在銳角 ABC 中 角 A B C 的對邊分別為 a b c 且 f A 1 bc 8 求 ABC 的 面積 S 18 12 分 已知復平面內平行四邊形 ABCD A B C D 按逆時針排列 A 點對應的 復數為 2 i 向量對應的復數為 1 2i 向量對應的復數為 3 i B B 1 求點 C D 對應的復數 2 求平行四邊形 ABCD 的面積 19 12 分 2014 西安模擬 已知向量 a sin x 2 b 1 cos x 0 0 4 函數 f x a b a b y f x 圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之 間的距離為 1 且經過點 M 1 7 2 1 求函數 f x 的解析式 2 當 1 x 1 時 求函數 f x 的單調區間 20 12 分 2014 大慶模擬 已知向量 a cos x b sin x 1 函數 3 f x a b 且最小正周期為 4 1 求 的值 2 設 f f 求 sin 的值 2 2 3 6 5 2 2 3 24 13 3 若 x 求函數 f x 的值域 圓學子夢想 鑄金字品牌 5 21 12 分 已知平面向量 a 1 b 3 1 2 3 2 1 若 x t 2 a t2 t 5 b y ka 4b t k R 且 x y 求出 k 關于 t 的關系 式 k f t 2 求函數 k f t 在 t 2 2 上的最小值 22 12 分 能力挑戰題 1 如圖 設點 P Q 是線段 AB 的 三等分點 若 a b 試用 a b 表示 并判斷 O O O O 與 的關系 O O O O 2 受 1 的啟示 如果點 A1 A2 A3 An 1是 AB 的 n n 3 等分點 你能得到什么結論 請證明你的結論 答案解析答案解析 1 解析 選 D 由題意得 z 1 2i 對應點為 1 2 故選 D 2 解析 選 B 由向量相等的概念知 正確 因為零向量和任何向量共線 所以當 b 0 時 結論 不成立 故 不正確 因為 a b a b cos 是 a 與 b 的夾角 所以當 cos 1 時 不正確 的逆命題是 若 b c 則 a b a c 顯然 該結論是正確的 故選 B 誤區警示 解答本題易類比實數的運算性質和平行線的傳遞性而誤選 C 出錯 圓學子夢想 鑄金字品牌 6 的原因是忽視了向量與數量的區別 而把實數的運算法則照搬到向量運算中來 3 思路點撥 利用復數的除法運算化簡給出的復數 然后直接利用模的公式 求模 解析 選 C 由 z 3 3 3 i 1 i 2 所以 z 故選 C 32 1210 4 解析 選 A 由 a x1 y1 b x2 y2 共線 x1y2 x2y1 0 驗證易知 A 正確 5 解析 選 C 由已知 得 2 P P P P P 即 0 故選 C P P 一題多解 本題還有如下解法 如圖 由 2 B B B 知 P 是 AC 的中點 顯然 0 故選 C P P 加固訓練 若 0 則 ABC 必定是 A B A 22 A 銳角三角形B 直角三角形 C 鈍角三角形D 等腰直角三角形 解析 選 B 0 0 0 A B A 22 A B A A A A A 則 ABC 必定是直角三角形 6 解析 選 D 因為 i 1 1 1 1 i 1 2 1 2 1 2 所以其共軛復數為 i 1 2 1 2 圓學子夢想 鑄金字品牌 7 加固訓練 2013 廣元模擬 復數的共軛復數是 2 1 2 A iB iC iD i 3 5 3 5 思路點撥 復數的分子 分母同乘分母的共軛復數 復數化簡為 a bi a b R 的 形式 然后求出共軛復數即可 解析 選 C 復數 i 它的共軛復數為 i 故選 C 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 5 5 7 解析 選 B 因為 m n m n 所以 m n m n m 2 n 2 0 即 1 2 1 2 2 4 0 解得 3 8 解析 選 B z 2i 2 1 2 1 1 1 4 2 1 所以 z 2 z2 4 2i z 的虛部是 2 z 故 p1 p3是真命題 p2 p4是假命題 9 解析 選 A 即 B O B O 所以 0 O O O 所以 2 0 O O O 即 2 a 2 a b 0 又 0 解得 10 解析 選 B 由題意可知向量的模是不變的 所以當與同向時 O O O 最大 結合圖形可知 max 1 1 3 O O O O O 12 3 2 一題多解 本題還有如下解法 由題意 得 2 1 O 3 1 O 設向量 的夾角為 O O 所以 O O 2 圓學子夢想 鑄金字品牌 8 O 2 2 2 4 1 2 2 1 5 4 所以當 0 即與同向時 max 3 O O O O 5 4 11 解析 選 D 設 c x y 因為 a b 1 3 所以 a b c x 3y 5 c 即 x2 210 x 3 5 2 2 10 解得或 x 3 3 1 2 3 3 2 x 1 3 3 2 3 3 2 不妨取即 c x 3 3 1 2 3 3 2 3 3 1 2 3 3 2 設 a 與 c 的夾角為 則 cos 3 3 1 2 9 3 3 2 10 10 1 2 因為 0 180 所以 120 故選 D 一題多解 選 D 由題意 得 b 2a 所以 a b c a 2a c a c 5 即 a c 5 圓學子夢想 鑄金字品牌 9 設 a 與 c 的夾角為 則 cos 5 10 10 1 2 因為 0 180 所以 120 故選 D 12 解析 選 B 因為 e1 e2 1 e1 e2 所以 m e1 m e2 m2 m e1 e2 e1 e2 m2 m e1 e2 0 即 m2 m e1 e2 設 m 與 e1 e2的夾角為 因為 e1 e2 2 所以 m 2 m e1 e2 cos 即 m cos 因為 0 2 所以 m max 2 一題多解 選 B 設 e1 e2是與 x 軸 y 軸正方向相同的單位向量 則 e1 1 0 e2 0 1 設 m x y 則 m e1 x 1 y m e2 x y 1 所以 m e1 m e2 x x 1 y y 1 0 即 x2 y2 x y 0 圓學子夢想 鑄金字品牌 10 x 1 2 2 y 1 2 2 1 2 故向量 m 的終點 始點在坐標原點 的軌跡是以為圓心 為半徑的圓 如 1 2 1 2 2 2 圖 所以 m 的最大值是圓的直徑 即為 2 加固訓練 2014 廣州模擬 如圖 已知圓 M x 3 2 y 3 2 4 四邊形 ABCD 為圓 M 的內接正方形 E F 分別為邊 AB AD 的中點 當正方形 ABCD 繞圓心 M 轉動 時 的取值范圍是 M O A 6 6 B 6 6 22 C 3 3 D 4 4 22 解析 選 A 設 A 3 2cos 3 2sin D 3 2cos 3 2sin 則 F 3 cos cos 3 sin sin 由圖知 cos cos sin sin M 1 2 3 cos cos 3 sin sin O 所以 3 cos cos 3 sin sin cos cos sin sin M O 3 cos sin 3 cos sin 3sin 3sin 2 4 2 4 6 6 故選 A 22 圓學子夢想 鑄金字品牌 11 13 解析 因為 3 4i 1 i i 是虛數單位 O O 所以 1 i 3 4i 4 5i A O O 答案 4 5i 14 思路點撥 可根據題意先求出向量的坐標 再利用 OA AB 求解 A 解析 2 k 3 1 1 k 1 因為 OA AB A O O 所以 0 即 3 k 1 0 解得 k 4 O A 答案 4 15 解析 因為 m n 所以 m n 2sin cos 2cos2 0 3 A 2 A 2 A 2 因為 A 0 所以 cos 0 A 2 所以 tan A A 2 3 3 A 2 6 3 由 cosB 得 sinB 3 3 1 3 9 6 3 由正弦定理得 2 3 b 6 3 解得 b 4 3 2 答案 4 3 2 加固訓練 2013 濟寧模擬 平面向量 a 與 b 的夾角為 a 2 0 b 1 3 則 a b 等于 圓學子夢想 鑄金字品牌 12 思路點撥 利用向量數量積的性質可得 a b 把已知代入即可 解析 因為向量 a 與 b 的夾角為 a 2 0 b 1 3 所以 a b 22 12 2 2 1 37 答案 7 16 解析 由題意 得 cos 3 sin cos sin 3 A B 所以 cos cos 3 sin sin 3 1 A B 即 sin cos 2 3 兩邊平方 得 1 2sin cos 4 9 所以 2sin cos 5 9 原式 1 2 1 2 9 5 答案 9 5 17 解析 1 f x O O 2sinx 1 cosx cos2x sin2x cos2x sin 2 2 4 所以 f x 的最大值和最小值分別是和 22 圓學子夢想 鑄金字品牌 13 2 因為 f A 1 所以 sin 2 4 2 2 所以 2A 或 2A 4 4 4 3 4 所以 A 或 A 4 2 又因為 ABC 為銳角三角形 所以 A 因為 bc 8 4 所以 ABC 的面積 S 8 2 1 2 2 22 18 思路點撥 由點的坐標得到向量的坐標 運用向量 復數間的對應關系解 題 解析 1 設點 O 為原點 因為向量對應的復數為 1 2i 向量對應的復 B B 數為 3 i 所以向量對應的復數為 3 i 1 2i 2 3i A 又 O O A 所以點 C 對應的復數為 2 i 2 3i 4 2i 又 1 2i 3 i 4 i B B B 2 i 1 2i 1 i O O B 所以 1 i 4 i 5 O O B 所以點 D 對應的復數為 5 2 由 1 知 1 2 3 1 B B 因為 cosB B B B B 圓學子夢想 鑄金字品牌 14 所以 cosB B 3 2 5 10 1 5 2 所以 sinB 7 5 2 又 B 5 B 10 所以面積 S sinB 7 B B 510 7 5 2 所以平行四邊形 ABCD 的面積為 7 19 解析 1 f x a b a b a2 b2 a 2 b 2 sin2 x 3 cos2 x cos 2 x 2 3 由題意得周期 T 4 2 2 故 又圖象過點 M 4 1 7 2 所以 3 cos 7 2 2 2 即 sin2 而 0 0 k 2 5 3 2 1 2 當且僅當 t 2 即 t 1 時 成立 1 2 故 k 的最小值是 3 22 思路點撥 1 把向量 都用 表示 再求和即可 2 思路同 1