高 2019 屆文科輔優講義 解析幾何 1 5 專題五專題五 第二講第二講 離心率專題離心率專題 離心率歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點 對于求圓錐曲線離心率的問題 通常圓錐曲線離心率的問題 通常 有兩類 一是求橢圓和雙曲線的離心率 二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍 有兩類 一是求橢圓和雙曲線的離心率 二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍 屬于 中低檔次的題型 對大多數學生來說是沒什么難度的 一般來說 求橢圓 或雙曲線 一般來說 求橢圓 或雙曲線 的離心率 只需要由條件得到一個關于基本量的離心率 只需要由條件得到一個關于基本量a a與與b b 或或 a a 與與 c c 的其次式的其次式 從而根據 從而根據 這是橢圓 這是雙曲線 就可以從中求出離心就可以從中求出離心 2 2 1 cb e aa 2 2 1 cb e aa 率 率 但如果選擇方法不恰當 則極可能 小題 大作 誤入歧途 許多學生認為用一些 所謂的 高級 結論可以使結果馬上水落石出 一針見血 其實不然 對于這類題 用 最淳樸的定義來解題是最好的 此時無招勝有招 一 求橢圓與雙曲線離心率的值 一 用定義求離心率問題 122 12 1 05 22 1 A B C 22 D 2 1 22 FFFP FPF 例 全國 設橢圓的兩個焦點分別為 過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 若為等腰直角三角形 則橢圓的離心率是 強化訓練強化訓練 1 在中 若以為焦點的橢圓經ABC ABBC 7 cos 18 B AB 過點 則該橢圓的離心率 Ce 2 已知正方形 ABCD 則以 A B 為焦點 且過 C D 兩點的橢圓的離心率為 3 已知長方形 ABCD AB 4 BC 3 則以 A B 為焦點 且過 C D 兩點的橢圓的離 心率為 高 2019 屆文科輔優講義 解析幾何 2 5 4 已知 F1 F2是雙曲線的兩焦點 以線段 F1F2為邊作正三角形 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x MF1F2 若邊 MF1的中點在雙曲線上 則雙曲線的離心率是 A B C D 324 13 2 13 13 5 如圖 和分別是雙曲線的兩個焦點 1 F 2 F 22 22 1 0 0 xy ab ab 和是以為圓心 以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交ABO 1 FO 點 且 是等邊三角形 則雙曲線的離心率為 ABF2 A B C D 35 2 5 31 二二 列方程求離心率問題 列方程求離心率問題 構造構造 的齊次式 解出的齊次式 解出 ace 根據題設條件 借助 之間的關系 構造 的關系 特別是齊二次式 進 abcac 而得到關于的一元方程 從而解得離心率 ee 例 2 如圖 在平面直角坐標系xoy中 1212 A A B B為橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的四 個頂點 F為其右焦點 直線 12 AB與直線 1 B F相交于點 T 線段OT與橢圓的交點 M恰為線段OT的中點 則該橢圓的離心率為 變式 變式 設雙曲線 a 0 b 0 的漸近線與拋物線 y x2 1 相切 則該雙曲線 22 22 1 xy ab 的離心率等于 A B 2 C D 356 點評 本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念 以及直線與拋物線的位置關 高 2019 屆文科輔優講義 解析幾何 3 5 系 只有一個公共點 則解方程組有唯一解 本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能 強化訓練強化訓練 1 設雙曲線的一個焦點為 虛軸的一個端點為 如果直線與該雙FBFB 曲線的一條漸近線垂直 那么此雙曲線的離心率為 A B C D 23 31 2 51 2 2 在平面直角坐標系中 橢圓在平面直角坐標系中 橢圓 1 a b 0 的焦距為的焦距為 2c 以 以 O 為圓心 為圓心 a 為半為半 x2 a2 y2 b2 徑的圓 過點徑的圓 過點 0 作圓的兩切線互相垂直 則離心率作圓的兩切線互相垂直 則離心率 e a2 c 3 已知橢圓 C a b 0 的離心率為 過右焦點 F 且斜率為 k k 0 22 22 1 xy ab 3 2 的直線于 C 相交于 A B 兩點 若 則 k 3AFFB A 1 B C D 223 4 已知是橢圓的一個焦點 是短軸的一個端點 線段的延長線交于點 FCBBFCD 且 則的離心率為 BF2FD uu ruur C 5 已知雙曲線 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦點為F 過F且斜率為3的直線交 C于AB 兩點 若4AFFB 則C的離心率為 m A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 二 求橢圓或雙曲線的離心率范圍問題 求橢圓或雙曲線的離心率范圍問題 一般來說 求橢圓 或雙曲線 的離心率的取 值范圍 通常可以從兩個方面來研究 一是考慮幾何的大小 例如線段的長度 角的大 小等 二是通過設橢圓 或雙曲線 點的坐標 利用橢圓 或雙曲線 本身的范圍 列 出不等式 模型三 幾何性質求離心率 模型三 幾何性質求離心率 例例 3 已知橢圓已知橢圓 1 a b 0 的焦點分別為的焦點分別為 F1 F2 x2 a2 y2 b2 若該橢圓上存在一點若該橢圓上存在一點 P 使得 使得 F1PF2 60 0 則橢圓 則橢圓 離心率的取值范圍是離心率的取值范圍是 B2 B 11 F 1 y x O F2 P 高 2019 屆文科輔優講義 解析幾何 4 5 強化訓練強化訓練 1 已知橢圓 1 a b 0 的焦點分別為 F1 F2 若該橢圓上存在一點 x2 a2 y2 b2 P 使得 F1PF2 60 則橢圓離心率的取值范圍是 2 已知雙曲線的左 右焦點分別為 若雙曲 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c 線上存在一點使 則該雙曲線的離心率的取值范圍是 P 12 21 sin sin PFFa PF Fc 例 4 已知 是橢圓的兩個焦點 滿足的點總在橢圓內部 則橢 1 F 2 F 12 0MF MF M 圓離心率的取值范圍是 A B C D 0 1 1 0 2 2 0 2 2 1 2 強化訓練 1 橢圓的焦點為 兩條準線與軸的交點 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 Fx 分別為 若 則該橢圓離心率的取值范圍是 MN 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 2 已知雙曲線的左 右焦點分別為 點 P 在雙曲線的右 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 支上 且 則此雙曲線的離心率 e 的最大值為 12 4 PFPF