數學理 2011 屆高考模擬題 課標 分類匯編 立體幾何 1 2011 北京朝陽區期末 北京朝陽區期末 設a b g是三個不重合的平面 l是直線 給出下列命題 若ab bg 則 若l上兩點到 的距離相等 則 l 若la lb 則ab 若 ab lb 且 la 則 lb 其中正確的命題是 D A B C D 2 2011 北京朝陽區期末 北京朝陽區期末 如圖 正方體 1111 ABCDABC D 中 E F分別為 棱 1 DD AB上的點 已知下列判斷 1 AC 平面 1 B EF 1 B EFD在側面 11 BCC B上 的正投影是面積為定值的三角形 在平面 1111 ABC D內總存在與平面 1 B EF平行的直線 平 面 1 B EF與平面ABCD所成的二面角 銳角 的大小與點E的位置有關 與點F的位 置無關 其中正確判斷的個數有 B A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 3 2011 北京朝陽區期末 北京朝陽區期末 已知一個正三棱錐的正視圖如圖所示 則此正三棱錐的 側面積等于 9 3 4 2011 北京朝陽區期末 北京朝陽區期末 如圖 在三棱錐PABC 中 2ACBC 90ACB o 側面PAB為等邊三角形 側棱 2 2PC 求證 PCAB C AB P 求證 平面PAB 平面ABC 求二面角BAPC 的余弦值 解 設AB中點為D 連結PD CD 1 分 因為APBP 所以PDAB 又ACBC 所以CDAB 2 分 因為PDCDD I 所以AB 平面PCD 因為PC 平面PCD 所以PCAB 4 分 由已知90ACB o 2ACBC 所以2ADBDCD 2 2AB 又PABD為正三角形 且PDAB 所以6PD 6 分 因為2 2PC 所以 222 PCCDPD 所以90CDP o 由 知CDP 是二面角PABC 的平面角 所以平面PAB 平面ABC 8 分 方法方法 1 由 知CD 平面PAB 過D作DEPA 于E 連結CE 則CEPA 所以DEC 是二面角BAPC 的平面角 10 分 在RtCDED中 易求得 6 2 DE 因為2CD 所以 2 3 tan 3 CD DEC DE 12 分 所以 21 cos 7 DEC 即二面角BAPC 的余弦值為 21 7 方法方法 2 由 知DC DB DP兩兩垂直 以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系 易知 0 0 0 D 2 0 0 C 0 2 0 A 0 0 6 P 所以 2 2 0 AC uuu r C AB P E D x C AB P D y z 正視圖俯視圖 2 1 6 2 1 5 2 0 6 PC uu u r 設平面PAC的法向量為 x y z n 則 0 0 AC PC uuu r uu u r n n 即 220 260 xy xz 令1x 則1y 3 3 z 所以平面PAC的一個法向量為 3 1 1 3 n 11 分 易知平面PAB的一個法向量為 2 0 0 DC uuu r 所以 21 cos 7 DC DC DC uuu r uuu r uuu r n n n 12 分 由圖可知 二面角BAPC 為銳角 所以二面角BAPC 的余弦值為 21 7 13 分 5 20112011 北京豐臺區期末 北京豐臺區期末 若一個螺栓的底面是正六邊形 它的正視圖和俯視圖如圖所示 則它的體積是 C A 3 332 225 B 32 3 3 25 C 32 9 3 25 D 128 9 3 25 6 20112011 北京豐臺區期末 北京豐臺區期末 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 5 AC 4 BC 3 AA1 4 點 D 在 AB 上 求證 AC B1C 若 D 是 AB 中點 求證 AC1 平面 B1CD 當 1 3 BD AB 時 求二面角 1 BCDB 的余弦值 證明 在 ABC 中 因為 AB 5 AC 4 BC 3 A A1 B C D B1 C1 E 所以 AC2 BC2 AB2 所以 AC BC 因為 直三棱柱 ABC A1B1C1 所以 C C1 AC 因為 BC AC C 所以 AC 平面 B B1C1C 所以 AC B1C 5 分 證明 連結 BC1 交 B1C 于 E DE 因為 直三棱柱 ABC A1B1C1 D 是 AB 中點 所以 側面 B B1C1C 為矩形 DE 為 ABC1的中位線 所以 DE AC1 因為 DE 平面 B1CD AC1 平面 B1CD 所以 AC1 平面 B1CD 解 由 知 AC BC 所以如圖 以 C 為原點建立空間直角坐標系 C xyz 則 B 3 0 0 A 0 4 0 A1 0 0 c B1 3 0 4 設 D a b 0 0a 0b 因為 點 D 在線段 AB 上 且 1 3 BD AB 即 1 3 BDBA 所以 2a 4 3 b 4 1 0 3 BD 所以 1 3 0 4 BC 3 4 0 BA 4 2 0 3 CD 平面 BCD 的法向量為 1 0 0 1 n 設平面 B1 CD 的法向量為 2 1 nx y 由 12 0BC n 2 0CD n 得 340 4 20 3 x xy 所以 4 3 x 2y 2 4 2 1 3 n 設二面角 1 BCDB 的大小為 所以 12 12 3 cos 61 nn nn A A1 B C D B1 C1 x y z 所以 二面角 1 BCDB 的余弦值為 3 61 61 7 7 20112011 北京西城區期末 北京西城區期末 如圖 四邊形ABCD中 1ABADCD 2BD BDCD 將四邊形ABCD沿 對角線BD折成四面體ABCD 使平面 A BD 平面BCD 則下列結論正確的是 B A A CBD B 90BA C C CA 與平面A BD 所成的角為30 D 四面體ABCD 的體積為 1 3 8 8 20112011 北京西城區期末 北京西城區期末 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 側面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 90BAC 點D是棱 11 BC的中點 求證 1 AD 平面 11 BBC C 求證 1 AB平面 1 ADC 求二面角 1 DACA 的余弦值 證明 因為側面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 所以 11 AAAC AAAB 所以 1 AA 平面ABC 三棱柱 111 ABCABC 是直三棱柱 1 分 因為 1 AD 平面 111 ABC 所以 11 CCAD 2 分 又因為 1111 ABAC D為 11 BC中點 所以 111 ADBC 3 分 因為 1111 CCBCC A B C DB C D A B1 A B C C11 A1 D x y z O A B C C11 B1 A1 D 所以 1 AD 平面 11 BBC C 4 分 證明 連結 1 AC 交 1 AC于點O 連結OD 因為 11 ACC A為正方形 所以O為 1 AC中點 又D為 11 BC中點 所以OD為 11 ABC 中位線 所以 1 ABOD 6 分 因為OD 平面 1 ADC 1 AB 平面 1 ADC 所以 1 AB平面 1 ADC 8 分 解 因為側面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 90BAC 所以 1 AB AC AA兩兩互相垂直 如圖所示建立直角坐標系Axyz 設1AB 則 1 1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 1 2 2 CBAD 11 1 1 0 0 11 2 2 ADAC 設平面 1 ADC的法向量為 x y zn 則有 1 1 0 0 AD AC n n 0 0 xy yz xyz 取1x 得 1 1 1 n 又因為AB 平面 11 ACC A 所以平面 11 ACC A的法向量為 1 0 0 AB 13 cos 33 AB AB AB n n n 因為二面角 1 DACA 是鈍角 所以 二面角 1 DACA 的余弦值為 3 3 9 20112011 巢湖一檢 巢湖一檢 已知一個多面體的三視圖如圖所示 則這個多面體的體積等于 20 3 10 20112011 巢湖一檢 巢湖一檢 如圖 在四棱錐 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四邊形 ABCD 是菱形 AC 6 BD 8 E 是 PB 上任一點 求證 AC DE 當 E 是 PB 的中點時 求證 PD 平面 EAC 若AEC 面積最小值是 6 求 PB 與平面 ABCD 所成角 P AB C E O D 解 PD 平面ABCD AC 平面ABCD PDAC 在菱形 ABCD 中 BDAC 又 PDBDD AC 平面 PDB 又 DE 平面 PDB AC DE 4 分 當 E 為 PB 中點時 O 為 BD 中點 EO PD EOAECPDAEC 平面 平面 PD 平面 AEC 8 分 PD 平面 ABCD PBD 就是 PB 與平面 ABCD 所成的角 由 的證明可知 AC 平面 PDB AC EO AC 6 1 3 2 AEC SAC EOEO 因其最小值為 6 EO 的最小值為 2 此時 EO PB 1 4 2 OBBD 1 sin 2 EO PBD OB PB 與平面 ABCD 成30 的角 12 分 11 2011 2011 承德期末承德期末 已知集合 A 直線 B BbAaBAC 若 平面 Cc 則下列命題中正確的是 B A ca bc ba B ca bc ba C ca bc ba D ca bc ba 12 12 2011 2011 承德期末承德期末 如圖 直四棱柱 1111 DCBAABCD 中 底面ABCD是 60DAB的菱形 4 1 AA 2 AB 點E在棱 1 CC上 點F是棱 11D C的中點 若E是 1 CC的中點 求證 BDAEF 1 平面 求出CE的長度 使得EBDA 1 為直二面角 解 解 1 BAEF BACD CDEF 1 11 1 而 11A ABBEF面 111 AABBBA面 所以BDAEF 1 平面 5 分 2 設xCE 連接OBDAC 因為OEA1 就是二面角EBDA 1 的平面角 所以 要使 90 1OE A只需AOA1 OCE 所以 x 3 3 4 從而 4 3 x 12 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A O 13 2011 2011 東莞期末東莞期末 三棱錐SABC 的三視圖如下 尺寸的長度單位為m 則這個三棱錐的體積為 4 3 m 14 2011 2011 東莞期末東莞期末 如圖 在等腰直角ABC 中 90ACB 2 BCAC CDAB D為垂足 沿CD將 ABC 對折 連結A B 使得3 AB 1 對折后 在線段AB上是否存在點E 使ADCE 若存在 求出AE的長 若不存在 說 明理由 2 對折后 求二面角DACB 的平面角的正切值 解 1 在線段AB上存在點E 使ADCE 由等腰直角ABC 可知 對折后 CDAD CDBD 1ADBD 在ABD 中 22222 1131 cos 22 1 12 ADBDAB ADB AD BD 120ADB 30BADABD 過D作AD的垂線 與AB的交于點E 點E就是 滿足條件的唯一點 理由如下 A B C D B A D 第 19 題圖 正視圖 側視圖 俯視圖 3 1 2 2 3 2 BA C S 第 12 題圖 C F C E B A D 連結CE ADDE ADCD DECDD AD 平面CDE AD CE 即在線段AB上存在點E 使ADCE 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 12 3 cos33 2 AD AE DAE 2 對折后 作DFAC 于F 連結EF CDAD CDBD ADBDD CD 平面ADB 平面ACD 平面ADB DEAD 且平面ACD 平面ADBAD ED 平面ACD 而DFAC 所以 AC平面DEF 即DFE 為二面角DACB 的平面角 11 分 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 33 tan1 33 DEADDAE 在Rt ADF 中 45DAF 1AD 得 22 sin1 22 FDADDAF 在Rt EDF 中 90EDF 3 6 3 tan 32 2 DE DFE DF 即二面角DACB 的平面角的正切值等于 6 3 15 20112011 佛山一檢 佛山一檢 若一個圓臺的的正視圖如圖 所示 則其側面積等于 C A 6 B 6 C 3 5 D 6 5 16 20112011 佛山一檢 佛山一檢 如圖 已知E F分別是正方形ABCD邊BC CD的中點 EF與AC交于點O PA NC都垂直于平面ABCD 且4PAAB 2NC M是線段PA上一動點 第 4 題 圖 第 19 題圖 求證 平面PAC 平面NEF 若 PC平面MEF 試求 PM MA的值 當M是PA中點時 求二面角MEFN 的余弦值 解 法解 法 1 連結BD PA 平面ABCD BD 平面ABCD PABD 又 BDAC ACPAA BD 平面PAC 又 E F分別是BC CD的中點 EFBD EF 平面PAC 又EF 平面NEF 平面PAC 平面NEF 連結OM PC平面MEF 平面PAC 平面MEFOM PCOM 1 4 PMOC PAAC 故 1 3PM MA EF 平面PAC OM 平面PAC EF OM 在等腰三角形NEF中 點O為EF的中點 NOEF MON 為所求二面角MEFN 的平面角 點M是PA的中點 2AMNC 所以在矩形MNCA中 可求得4 2MNAC 6NO 22MO 在MON 中 由余弦定理可求得 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON 二面角MEFN 的余弦值為 33 33 法法 2 同法 1 建立如圖所示的直角坐標系 則 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 設點M的坐標為 0 0 m 平面MEF的法向量為 nx y z 則 4 2 MEm 所以 0 0 n ME n EF 即 420 220 xymz xy 令1x 則1y 6 z m B A C A1 B1 C1 故 6 1 1 n m PC平面MEF 0PC n 即 24 440 m 解得3m 故3AM 即點M為線段PA上靠近P的四等分點 故 1 3PM MA 8 分 4 4 2 N 則 0 2 2 EN 設平面NEF的法向量為 mx y z 則 0 0 m EN m EF 即 220 220 yz xy 令1x 則1y 1z 即 1 1 1 m 當M是PA中點時 2m 則 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角MEFN 的余弦值為 33 33 14 分 1717 20112011 廣東廣雅中學期末 廣東廣雅中學期末 從正方體的八個頂點中任意選擇 4 個頂點 它們可能是如下幾種幾何體 或平面圖形 的 4 個頂點 這 些幾何體 或平面圖形 是 寫出所有正確的結論的編號 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個面為等腰直角三角形 有一個面為等邊三角形的四面體 每個面都是等邊三角形的四面體 18 20112011 廣東廣雅中學期末 廣東廣雅中學期末 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC 頂點 1 A在底面ABC 上的射影恰為點 B 且 1 2ABACAB 1 求棱 1 AA與 BC 所成的角的大小 2 在線段 11 BC上確定一點 P 使14AP 并求出二面角 1 PABA 的 平面角的余弦值 解析 1 如圖 以 A 為原點建立空間直角坐標系 則 11 2 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB 1 0 2 2AA 11 22 0BCBC 1 1 1 41 cos 288 AA BC AABC AABC 故 1 AA與棱 BC 所成的角是 3 6 分 2 設 111 220B PBC 則 2422P 于是 2 2 1 442414 2 AP 3 2 舍去 則 P 為棱 11 BC的中點 其坐標為 1 3 2P 8 分 設平面 1 PABA 的法向量為 1 n x y z 則 1 1 0 0 n AP n AB A A 即 320 20 xyz y 令1z 故 1 n 2 0 1 11 分 而平面 1 ABA的法向量 2 n 2 1 0 0 則 12 12 12 22 5 cos 55 n n n n n n A 故二面角 1 PABA 的平面角的余弦值是 2 5 5 13 分 19 20112011廣州調研 廣州調研 一空間幾何體的三視圖如圖2所示 該幾何體的 體積為 8 5 12 3 則正視圖中x的值為 C A 5 B 4 C 3 D 2 M D C B A P z y x M D C B A P 20 20112011廣州調研 廣州調研 如圖4 在四棱錐P ABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 2PAAD 1AB BM PD 于點M 1 求證 AM PD 2 求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值 本小題主要考查空間線面關系 直線與平面所成的角等知識 考查數形結合的數學思想方 法 以及空間想象能力 推理論證能力和運算求解能力 1 證明證明 PA 平面ABCD AB 平面ABCD PAAB AB AD ADPAA AD 平面PAD PA 平面PAD AB 平面PAD PD 平面PAD AB PD 3分 BM PD ABBMB AB 平面ABM BM 平面ABM PD 平面ABM AM 平面ABM AM PD 6分 2 解法解法1 1 由 1 知 AM PD 又PA AD 則M是PD的中點 在Rt PAD中 得 2AM 在Rt CDM中 得 22 3MCMDDC 16 22 ACM SAM MC 資料來源 數學驛站 設點D到平面ACM的距離為h 由 D ACMMACD VV 8分 得 111 332 ACMACD ShSPA AA 解得 6 3 h 10分 設直線CD與平面ACM所成的角為 則 6 sin 3 h CD 12分 3 cos 3 直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為 3 3 14分 解法解法2 2 如圖所示 以點A為坐標原點 建立空間直角坐標系 Axyz 則 0 0 0A 0 0 2P 1 0 0B 1 2 0C 0 2 0D 0 1 1M 1 2 0 0 1 1 1 0 0ACAMCD 8分 設平面ACM的一個法向量為 nx y z 由 nAC nAM 可得 20 0 xy yz 令 1z 得 2 1xy 2 1 1 n 10分 設直線CD與平面ACM所成的角為 則 6 sin 3 CD n CD n 12分 3 cos 3 直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為 3 3 14分 21 2011 哈爾濱期末 哈爾濱期末 已知三棱錐底面是邊長為1的等邊三角形 側棱長均為2 則側棱與底面所成角的余弦值為 D F D E C1 B1 A1 C B A A 3 2 B 1 2 C 3 3 D 3 6 22 2011 哈爾濱期末 哈爾濱期末 如圖 三棱柱 111 CBAABC 中 側棱 1 AA 平面ABC ABC 為等腰直角三角形 90 BAC 且 1 AAAB FED 分別是BCCCAB 11 的中點 1 求證 FB1平面AEF 2 求二面角FAEB 1 的正切值 解 1 取AB中點O 連接DOCO 2 1 11 CEDOCEDOAADOAADO 平行四邊形DOCE DECODE 平面ABC CO平面ABC DE 平面ABC 2 等腰直角三角形ABC 中F為斜邊的中點 BCAF 又 直三棱柱 111 CBAABC 面 ABC面CCBB 11 AF面BC1 FBAF 1 設EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB 1 2 1 22 1111 2 3 2 3 2 6 1 又 FEFAF FB1面AEF 3 FB1 面AEF 作AEMB 1 于M 連接FM MFB1 為所求 10 3 FM 所求二面的正切值為5 23 2011 湖北重點中學二聯 湖北重點中學二聯 有一正方體 六個面上分別寫有數字 1 2 3 4 5 6 有三個人從不同的角度觀察的結果如圖所示 如果記 3 的對面的數字為 m 4 的對面的數字為 n 那 么 m n 的值為 C A 3B 7C 8D 11 24 2011 湖北重點中學二聯 湖北重點中學二聯 12 分 如圖 平面 ABEF 平面 ABCD 四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形 11 90 22 BADFABBCAD BEAF I 證明 C D F E 四點共面 II 設 AB BC BE 求二面角 A ED B 的大小 解 法 1 解 延長DC交AB的延長線于點G 由BC 1 2 AD得 1 2 GBGCBC GAGDAD 2 分 延長FE交AB的延長線于 G同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 G BGB G AGA 即G與 G重合 4 分 因此直線CDEF 相交于點G 即 C D F E四點共面 6 分 證明 設1AB 則1BCBE 2AD 取AE中點M 則BMAE 又由已知得 AD 平面ABEF 故ADBM BM與平面ADE內兩相交直線ADAE 都垂直 所以BM 平面ADE 作MNDE 垂足為N 連結BN 由三垂線定理知BNEDBNM 為二面角AEDB 的平面角 9 分 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BNM MN 所以二面角AEDB 的大小 6 arctan 2 12 分 25 2011 2011 淮南一模 淮南一模 已知某個幾何體的三視圖如右側 根據圖中標出的尺寸 單位 cm 可 得這個幾何體的體積是 B A 3 2 5 cm B 3 2 3 cm C 3 3cm D 3 2cm 36 2011 2011 淮南一模 淮南一模 給出命題 1 在空間里 垂直于同一平面的兩個平面平行 2 設 ml 是不同的直線 是一個平面 若 l l m 則 m 3 已知 表示兩個不同平面 m為平面 內的一條直線 則 是 m 的充要條件 4 若點P到三角形三個頂點的距離相等 則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心 5 ba 是兩條異面直線 P為空間一點 過P總可以作一個平面與 ba 之一垂直 與另一個平行 其中正確的命題是 2 4 只填序號 27 2011 2011 淮南一模 淮南一模 本小題12分 在正 ABC 中 E F P分別是AB AC BC邊上的點 滿足 AE EB 1 2 CFCP FAPB 如圖 1 將 AEF 沿EF折起到 EFA1 的位置 使二面角 BEFA 1 成直二面角 連結 BA1 PA1 如圖2 求證 EA1 平面 BEP 求直線 EA1 與平面 BPA1 所成角的大小 主 主 主 202020 主 主 主 40 主 主 主 10 50 解 不妨設正三角形ABC的邊長為3 則 在圖1中 取BE中點D 連結DF 則 1 2 AECFCP EBFAPB 2AFAD 而 0 60A 即 ADF是正三角形 又 1AEED EF AD 在圖2中有 1 A EEF BE EF 1 A EB 為二面角 1 AEFB 的平面角 二面角 1 AEFB 為直二面角 1 A EBE 又 BE EFE 1 A E 平面BEF 即 1 A E 平面BEP 由 可知A1E 平面BEP BE EF 建立如圖的坐標系 則 0 0 0 A1 0 0 1 B 2 0 0 F 0 3 0 在圖 中 不難得到 F P 且 F P FP且 FP 故點 的坐標 1 3 0 1 2 0 1 A B 1 3 0 BP 1 0 0 1 EA 不妨設平面A1BP的法向量 1 nx y z 則 11 1 20 30 A B nxz BP nxy 令 3y 得 1 3 3 6 n 11 11 11 63 cos 2 1 4 3 nEA nEA nEA 故直線A1E與平面A1BP所成角的大小為3 28 2011 2011 惠州三調惠州三調 一簡單組合體的三視圖及尺寸 如右圖示 單位 則該組合體的表面積為 12800 2 cm F FE E D D C CB B A A G F D E C B A 解析 該組合體的表面積為 2 22212800SSScm 側視圖主視圖俯視圖 29 2011 2011 惠州三調惠州三調 已知ABC 的三邊長為cba 內切圓半徑為r 用的面積表示 ABCS ABC 則 ABC S 2 1 cbar 類比這一結論有 若三棱錐 BCDA 的內切球半徑為R 則三棱錐體積 BCDA V 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 解析 連接內切球球心與各點 將三棱錐分割成四個小棱錐 它們的高都等于 R 底面分別為三棱錐 的各個面 它們的體積和等于原三棱錐的體積 答案 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 30 2011 2011 惠州三調惠州三調 本題滿分 14 分 已知梯形 ABCD 中 AD BC ABC BAD 2 AB BC 2AD 4 E F 分別是 AB CD 上的點 EF BC AE x G 是 BC 的中點 沿 EF 將梯形 ABCD 翻折 使平面 AEFD 平面 EBCF 如圖 1 當 x 2 時 求證 BD EG 2 若以 F B C D 為頂點的三棱錐的體積記為 f x 求 f x的最大值 3 當 f x取得最大值時 求二面角 D BF C 的余弦值 1 方法一 方法一 平面AEFD 平面EBCF 2 AEFADEF AE EF AE 平面EBCF AE EF AE BE 又 BE EF 故可如圖建立空間坐標系 E xyz 2 2 EBEA 又G 為 BC 的中點 BC 4 2 BG 則 A 0 0 2 B 2 0 0 G 2 2 0 D 0 2 2 E 0 0 0 BD 2 2 2 EG 2 2 0 BD EG 2 2 2 A 2 2 0 0 BDEG 4 分 方法二 方法二 作 DH EF 于 H 連 BH GH 由平面AEFD 平面EBCF知 DH 平面 EBCF 而 EG 平面 EBCF 故 EG DH AEHDEFADDHAEEFAEEBCAEHBCEF 2 為平行四邊 形 2 BCEHBCEHADEH 且 2 2 BCBEEBC 四邊形 BGHE 為正方形 EG BH BH DH H 故 EG 平面 DBH 而 BD 平面 DBH EG BD 4 分 或者直接利用三垂線定理得出結果 2 AD 面 BFC 所以 f x BCFD V VA BFC AES BCF 3 1 xx 4 4 2 1 3 1 2 288 2 333 x 即2x 時 f x有最大值為 8 3 8 分 3 設平面 DBF 的法向量為 1 nx y z AE 2 B 2 0 0 D 0 2 2 G F D E C B A H x G F D E C B A y z F 0 3 0 2 3 0 BF 10 分 BD 2 2 2 則 1 1 0 0 n BD n BF A A 即 2 2 2 0 2 3 0 0 x y z x y z A A 2220 230 xyz xy 取3 2 1xyz 1 3 2 1 n BCFAE面面 面 BCF 一個法向量為 2 0 0 1 n 12 分 則 cos 12 12 14 14 n n nn A 13 分 由于所求二面角 D BF C 的平面角為鈍角 所以此二面角的余弦值為 14 14 14 分 31 2011 2011 錦州期末錦州期末 連結球面上兩點的線段稱為球的弦 半徑為 4 的球的兩條弦 AB CD的長 度分別等于 27 43 MN分別為 AB CD的中點 每條弦的兩端都在球面上運動 有下列 四個命題 弦 AB CD可能相交于點M 弦 AB CD可能相交于點N MN的最大值為 5 MN的最小值為 l 其中真命題的個數為 C A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 32 2011 2011 錦州期末錦州期末 本小題 12 分 下圖是一幾何體的直觀圖 主視圖 俯視圖 左視圖 若F為PD的中點 求證 AF 面PCD 證明 BD面PEC 求面PEC與面PCD所成的二面角 銳角 的余弦值 解 由幾何體的三視圖可知 底面 ABCD 是邊長為 4 的正方形 PA 面 ABCD H E M F D B A C G PA EB PA 2EB 4 PA AD F 為 PD 的中點 PD AF 又 CD DA CD PA PA DA A CD 面 ADP CD AF 又 CD DP D AF 面 PCD 4 分 取 PC 的中點 M AC 與 BD 的交點為 N 連結 MN MN 2 1 PA MN PA MN EB MN EB 故四邊形 BEMN 為平行四邊形 EM BN 又 EM 面 PEC BD 面 PEC 7 分 分別以 BC BA BE 為 x y z 軸建立空間直角坐標系 則 C 4 0 0 D 4 4 0 E 0 0 2 A 0 4 0 P 0 4 4 F 為 PD 的中點 F 2 4 2 AF 面 PCD FA為面 PCD 的一個法向量 FA 2 0 2 設平面 PEC 的法向量為n x y z 則 0 0 CPn CEn 0 2 zyx xz 令 x 1 2 1 1 n 10 分 2 3 cos nFA nFA nFA FA與n的夾角為 6 5 面 PEC 與面 PDC 所成的二面角 銳角 的余弦值為 2 3 12 分 33 2011 金華十二校一聯 金華十二校一聯 如圖 已知三棱柱 111 ABCABC 的各條棱長都相等 且 1 CC 底面ABC M是側棱 1 CC的中點 則異面直線 1 AB和BM所成的角的大小是 A A 2 B 4 C 6 D 3 34 2011 金華十二校一聯 金華十二校一聯 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如右圖所示 則該幾何 體的表面積為 7 2 cm 35 2011 金華金華十二校一聯 十二校一聯 已知 直線 a b 平面 給出下列四個命題 ab ab 則 ab ab 則 則 aab 則 ab 其中真命題是 填寫真命題的編號 36 2011 金華十二校一聯 金華十二校一聯 本題滿分 14 分 如圖 在長方體 1111 ABCDABC D 中 1 22AAABAD 且 11 0 1 PCCC I 求證 對任意01 總有APBD II 若 1 3 求二面角 1 PABB 的余弦值 III 是否存在 使得AP在平面 1 B AC上的射影 平分 1 B AC 若存在 求出 的值 若不存 在 說明理由 解 I 以D為坐標原點 分別以 1 DADCDD 所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 設1AB 則 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 DABCB 1 0 1 2 0 1 2 2 CP 從而 1 1 0 1 1 22 BDAP 0BD AP A 即APBD 分 II 由 及 1 3 得 1 4 1 1 0 1 2 3 APAB 設平面 1 AB P的法向量為 1 nx y 則 43 10 33 20 2 x xy y xy 從而可取平面 1 AB P的法向量為 2 6 3 n 又取平面 1 ABB的法向量為 1 0 0 m 且設二面角 1 PABB 為 所以 2 cos 7 m n m n A A 分 III 假設存在實數 01 滿足條件 由題結合圖形 只需滿足AP 分別與 1 AC AB 所成的角相等 即 1 1 AP ABAP AC APACAPAB AA AA 即 22 254 48624865 AA 解得 510 0 1 4 所以存在滿足題意得實數 510 4 使得AP在平面 1 B AC上 的射影平分 1 B AC 14 分 EC1 B1 A1 C B A 37 2011 2011 九江七校二月聯考 九江七校二月聯考 三視圖已知三棱錐的主視圖與俯視圖如下圖 俯視圖是邊 長為 2 的正三角形 那么該三棱錐的左視圖可能為 B 38 2011 2011 九江七校二月聯考 九江七校二月聯考 已知在平面內 垂直于同一條直線的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩條直線平行 在空 間中可以類比得出以下一組命題 在空間中 垂直于同一直線的兩條直線平行 在空間中 垂直于同一直線的兩個 平面平行 在空間中 垂直于同一平面的兩條直線平行 在空間中 垂直于同一平 面的兩個平面平行 其中 正確的結論的個數為 B A 1 B 2 C 3 D 4 39 2011 2011 九江七校二月聯考 九江七校二月聯考 本小題滿分 12 分 如圖 在 三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 1 2 BCBB 0 1 90BCC AB 側面 11 BBC C 1 求直線 C1B 與底面 ABC 所成角的正弦值 2 在棱 1 CC 不包含端點 1 C C上確定一點E的位置 使得 1 EAEB 要求說明理由 3 在 2 的條件下 若2AB 求二面角 11 AEBA 的大小 解 如圖 以B為原點建立空間直角坐標系 則 0 0 0 B 1 1 2 0 C 1 0 2 0 B 主視圖 A B C D 俯視圖 1 直三棱柱 111 ABCABC 中 平面ABC的法向量 1 0 2 0 BB 又 1 1 2 0 BC 設 1 BCABC 與平面所成角為 則 11 2 5 sincos 5 BB BC 4分 2 設 1 0 0 0 EyAz 則 1 1 2 0 EBy 1 EAy z 1 EAEB 1 1 2 0EA EByy 1y 即 1 1 0 E 1 ECC 為的中點 8分 3 0 0 2 A 則 1 1 1 2 1 1 0 AEB E 設平面 1 AEB的法向量n 111 x y z 則 n n 1 0 0 AE B E 111 11 20 0 xyz xy 取n 1 1 2 10分 1 1 0 BE 1 1 10BE B E 1 BEB E 又 11 BEAB 11 BEAB E 平面 平面 11 AB E的法向量1 1 0BE cos n BE 2 2 BE n BE n 二面角 11 AEBA 為45 12分 40 2011 2011 南昌期末南昌期末 如圖所示 一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是 邊長為 1 的正方形 俯視圖是一個直徑為 1 的圓 那么這個幾何體的體積為 D A 3 2 B 2 C 3 D 4 41 2011 2011 南昌期末南昌期末 如圖 在透明塑料制成的長方體 ABCD A1B1C1D1 容器內灌進一些水 將容 器底面一邊 BC 固定于地面上 再將容器傾斜 隨著傾斜度的不同 有下列四個說法 水的部分始終呈棱柱狀 水面四邊形 EFGH 的面積不改變 棱 A1D1 始終與水面 EFGH 平行 當 1 EAA 時 AE BF 是定值 其中正確說法是 D A B C D 42 2011 2011 南昌期末南昌期末 直三棱柱 111 ABCABC 的各頂點都在同一球面上 若 2 1 1 AAACAB 120BAC 則此球的表面積等于 8 43 2011 2011 南昌期末南昌期末 本小題滿分 12 分 在直角梯形 PBCD 中 4 2 2 PDCDBCCD A 為 PD 的中點 如下左圖 將 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置 使 BCSB 點 E 在 SD 上 且 SDSE 3 1 如下右圖 1 求證 SA 平面 ABCD 2 求二面角 E AC D 的正切值 解 1 證明 在圖中 由題意可知 ABCDPDBA 為正方形 所以在圖中 2 SAABSA 四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形 因為 BCSB AB BC 所以 BC 平面 SAB 3 分 又 SA 平面 SAB 所以 BC SA 又 SA AB 所以 SA 平面 ABCD 6 分 2 解法一 在 AD 上取一點 O 使 ADAO 3 1 連接 EO 因為 SDSE 3 1 所以 EO SA 7 分 所以 EO 平面 ABCD 過 O 作 OH AC 交 AC 于 H 連接 EH 則 AC 平面 EOH 所以 AC EH 所以 EHO 為二面角 E AC D 的平面角 9 分 3 4 3 2 SAEO 在 AHORt 中 3 2 2 2 3 2 45sin 45 AOHOHAO 11 分 22tan OH EO EHO 即二面角 E AC D 的正切值為 22 12 分 解法二 如圖 以 A 為原點建立直角坐標系 2 4 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 0 3 3 ABCDSE 7 分 易知平面 ACD 的法向為 2 0 0 AS 設平面 EAC 的法向量為 zyxn 3 4 3 2 0 0 2 2 AEAC 9 分 由 0 0 AEn ACn 所以 02 0 zy yx 可取 1 2 2 z y x 所以 1 2 2 n 11 分 所以 3 1 32 2 cos ASn ASn ASn 所以 22 tan ASn 即二面角 E AC D 的正切值為 22 12 分 44 2011 日照一調日照一調 已知直線 l m 平面 且 l m 給出四個命題 C 若 則 l m 若 l m 則 若 則 l m 若 l m 則 其中真命題的個數是 A 4 B 3 C 2 D 1 45 2011 日照一調日照一調 右圖是某四棱錐的三視圖 則該 幾何體的表 面積等于 A A 346 5 B 66 54 3 C 66 34 13 D 176 5 46 2011 日照一調日照一調 給出如下定理 若Rt ABC 的斜邊 AB 上的高為 h 則有 111 222 CBCAh 在四面體 P ABC 中 若 PA PB PC 兩兩垂直 底面 ABC 上的高為 h 類比上 述定理 得到的正確結論是 2222 1111 PCPBPAh 47 2011 三明三校二月聯考 三明三校二月聯考 已知某幾何體的三視圖如下 則該幾何體的表面積是 B A 24 B 36 6 2 C 36 D 36 12 2 48 2011 三明三校二月聯考 三明三校二月聯考 給出下列關于互不相同的直線 m n l 和平面 的四個 命題 mlA Amlm 則與不共面 l m 是異面直線 lmnl nmn 且則 若 lmlmA lm 則 若 lmlm 則 其中假命題是 49 2011 三明三校二月聯考 三明三校二月聯考 本題滿分 本題滿分 13 分 分 如 圖已知直角梯形ACDE所在的平面 垂直于平面ABC 90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直線BC上是否存在一點P 使得 DP平面EAB 請證明你的結論 2 求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角 的余弦值 解解 1 線段BC的中點就是滿足條件的點P 1 分 證明如下 取AB的中點F連結DPPFEF 則 ACFP ACFP 2 1 2 分 取AC的中點M 連結EMEC ACAE 且60EAC EAC是正三角形 ACEM 四邊形EMCD為矩形 ACMCED 2 1 又 ACED 3 分 正視圖正視圖 側視圖側視圖 俯視圖俯視圖 4 4 4 4 3 3 A B C DE 5圖 A B C DE P M F FPED 且EDFP 四邊形EFPD是平行四邊形 4 分 EFDP 而EF 平面EAB DP 平面EAB DP平面EAB 2 法 1 過B作AC的平行線l 過C作l的垂線交l于G 連結DG ACED lED l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱 8 分 平面EAC 平面ABC ACDC DC平面ABC 又 l平面ABC DCl l平面DGC DGl DGC 是所求二面角的平面角 10 分 設aAEACAB2 則aCD3 aGC2 aCDGCGD7 22 7 72 coscos GD GC DGC 13 分 法 2 90BAC 平面EACD 平面ABC 以點A為原點 直線AB為x軸 直線AC為y軸 建立空間直角坐標系xyzA 則z軸在平面 EACD內 如圖 設aAEACAB2 由已知 得 0 0 2 aB 3 0 aaE 3 2 0 aaD 3 2 aaaEB 0 0 aED 8 分 設平面EBD的法向量為 nx y z 則nEB 且nED 0 0 n EB n ED 0 032 ay azayax 解之得 0 2 3 y zx 取2z 得平面EBD的一個法向量為 3 0 2 n 10 分 又 平面ABC的一個法向量為 0 0 1 n 11 分 222222 300 02 12 7 coscos 7 3 02001 n n 13 分 50 2011 汕頭期末汕頭期末 若m n為兩條不重合的直線 為兩個不重合的平面 則下列命題 中的真命題個數是 若m n都平行于平面 則m n一定不是相交直線 若m n都垂直于平面 則m n一定是平行直線 已知 互相垂直 m n互相垂直 若 m 則 n m n在平面 內的射影互相垂直 則m n互相垂直 A 1 B 2 C 3 D 4 解 為假命題 為真命題 在 中n可以平行于 也可以在 內 是假命題 中 A B C DE P M F G A B C DE P M F y x z m n也可以不互相垂直 為假命題 故選 A 51 2011 汕頭期末汕頭期末 已知三棱錐PABC 的四個頂點均在半徑為3的球面上 且PA PB PC兩 兩互相垂直 則三棱錐PABC 的側面積的最大值為 解 依題意知 PA PB PC 兩兩垂直 以 PA PB PC 為棱構造長方體 則該長方體的對角線即 為球的直徑 所以 2222 222222 436 11 18 22222 2 3 PAPBPCR PAPBPBPCPCPA SPA PBPB PCPC PA PAPBPC AAA 當時 取等號 52 2011 汕頭期末汕頭期末 本小題滿分14分 已知幾何體BCDEA 的三視圖如圖所示 其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形 正 視圖為直角梯形 求此幾何體的體積 求異面直線DE與AB所成角的余弦值 探究在DE上是否存在點Q 使得BQAQ 并說明理由 解 由該幾何體的三視圖可知AC垂直于底面BCED 且4 ACBCEC 1 BD 104 14 2 1 BCED S 3 40 410 3 1 3 1 ACSV BCED 此幾何體 的體積為 3 40 5 分 解法一 過點B作EDBF 交EC于F 連接AF 則FBA 或其補角即為異面直線DE與AB所成角 在 BAF 中 24 AB 5916 AFBF 5 22 2 cos 222 ABBF AFABBF ABF 即異面直 線DE與 AB所成角的余弦值為 5 22 9 分 在DE上存在點 Q 使得BQAQ 取BC中點O 過點O作DEOQ 于點Q 則點 Q為所求點 連接EO DO 在ECORt 和OBDRt 中 2 BD OB CO EC ECORt OBDRt BODCEO 0 90 CEOEOC 0 90 DOBEOC 0 90 EOD 52 22 COCEOE 5 22 BDOBOD 2 5 552 ED ODOE OQ 以O為圓心 BC為直徑的圓與DE相切 切點為Q 連接BQ CQ 可得CQBQ ACBCED 平面 BCEDBQ BQAC ACQ