用心 愛心 專心 階段質量檢測階段質量檢測 一一 集合 常用邏輯用語 推理證明集合 常用邏輯用語 推理證明 一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求的 1 給出下列命題 有的實數是無限不循環小數 有些三角形是等腰三角形 有的菱形是正方形 4x 1 x R R 是整數 對所有 x R R x 1 對任意一個 x Z Z 2x 1 為奇數 其中假命題的個數為 A 1 B 2 C 3 D 5 解析 其中 是真命題 而 是假命題 其中在 中若 x 4x 1 不是 1 6 整數 故 是假命題 中對所有 x R R x 1 是假命題 因為 x R R 中 還有很多 x 1 的 數 答案 B 2 2009 年長沙模擬 設集合 A x y ln 1 x 集合 B y y x2 則 A B A 0 1 B 0 1 C 1 D 1 解析 A x y ln 1 x x x 1 B y y x2 y y 0 A B 0 1 答案 B 3 根據給出的數塔猜測 1 234 567 9 8 1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1 111 1 234 9 5 11 111 12 345 9 6 111 111 A 11 111 110 B 11 111 111 C 11 111 112 D 11 111 113 解析 由歸納推理可知 123456 9 7 1 111 111 1 234 567 9 8 11 111 111 答案 B 4 用反證法證明命題 如果 a b 那么 時 假設的內容是 3 a 3 b A B 3 a 3 b 3 a 3 b C 且 D 或 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 解析 反證法是假設命題的結論不成立 即結論的反面成立 的反面是 3 a 3 b 3 a 即 或 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 答案 D 5 2009 年皖南八校聯考 若 m 0 且 m 1 n 0 則 logmn 0 是 m 1 n 1 0 的 A 充要條件 B 充分不必要條件 C 必要不充分條件 D 既不充分也不必要條件 解析 當 0 m 1 時 由 logmn 0 得 n 1 此時 m 1 n 1 0 當 m 1 時 由 logmn 0 得 0 n 1 此時 m 1 n 1 0 反之 當 m 1 n 1 0 時 用心 愛心 專心 若 0 m 1 則 n 1 若 m 1 則 0 n 1 所以 logmn 0 是 m 1 n 1 0 的充要條件 答案 A 6 若集合 M y y x2 x Z Z N x x2 6x 27 0 x R R 全集 U R R 則 M UN 的 真子集的個數是 A 15 B 7 C 16 D 8 解析 N x x2 6x 27 0 x x 9 或 x 3 UN x 3 x 9 M UN 0 1 4 M UN 的真子集的個數為 23 1 7 答案 B 7 2009 的濰坊模擬 下列說法錯誤的是 A 命題 若 x2 4x 3 0 則 x 3 的逆否命題是 若 x 3 則 x2 4x 3 0 B x 1 是 x 0 的充分不必要條件 C 若 p 且 q 為假命題 則 p q 均為假命題 D 命題 p x R R 使得 x2 x 1 0 則 p x R R 均有 x2 x 1 0 解析 逆否命題是對條件結論都否定 然后原條件作結論 原結論作條件 則 A 是 正確的 x 1 時 x 0 成立 但 x 0 時 x 1 不一定成立 故 x 1 是 x 0 的充分 不必要條件 故 B 是正確的 p 且 q 為假命題 則 p 和 q 至少有一個是假命題 故 C 不正確 特稱命題的否定是全稱命題 故 D 是正確的 答案 C 8 在下列結論中 正確的結論是 p q 為真是 p q 為真的充分不必要條件 p q 為假是 p q 為真的充分不必要條件 p q 為真是 p 為假的必要不充分條件 p 為真是 p q 為假的必要不充分條件 A B C D 解析 是正確的 是假命題 其中 中 p q 為假是 p q 為真的 既不充分也不必要條件 p 為真 p 為假 所以 p 為真是 p q 為假的充分 不必要條件 答案 B 9 設 是集合 A 中元素的一種運算 如果對于任意的 x y A 都有 x y A 則稱運算 對集合 A 是封閉的 若 M x x a b a b Z Z 則對集合 M 不封閉的運算是 2 A 加法 B 減法 C 乘法 D 除法 解析 設 x a b y c d a b c d Z Z 則 x y a c b d 222 M M 所以加法對集合 M 封閉 x y a c b d M 2 減法對集合 M 封閉 xy ac 2bd ad bc M 2 乘法對集合 M 封閉 x y a 2b c 2d a r 2 b c r 2 d c r 2 d c r 2 d ac 2bd c2 2d2 bc ad c2 2d2 2 故除法對集合 M 不封閉 選 D 答案 D 用心 愛心 專心 10 設 n N N f n 1 計算知 f 2 f 4 2 f 8 f 16 1 2 1 3 1 n 3 2 5 2 3 f 32 由此猜測 7 2 A f 2n B f n2 2n 1 2 n 2 2 C f 2n D 以上都不對 n 2 2 解析 由已知 f 2 f 21 3 2 f 4 f 22 4 2 f 8 f 23 f 16 f 24 5 2 6 2 f 32 f 25 7 2 故猜測 f 2n n 2 2 答案 C 11 2009 年延安模擬 命題 A x 1 2 9 命題 B x 2 x a 0 若 A 是 B 的 充分不必要條件 則 a 的取值范圍是 A 4 B 4 C 4 D 4 解析 由 x 1 2 9 得 2 x 4 命題 A 2 x 4 命題 B 當 a 2 時 x 當 a 2 時 2 x a 當 a 2 時 a x 2 A 是 B 的充分而不必要條件 命題 B 當 a 2 時 2 x a a 4 a 4 綜上 當 a 4 時 A 是 B 的充分不必要條件 故選 A 答案 A 12 對于集合 M N 定義 M N x x M 且 x N M N M N N M 設 A t t x2 3x x R R B x y lg x 則 AB A 0 B 0 9 4 9 4 C 0 D 0 9 4 9 4 解析 由已知 A 9 4 B 0 由于 A B 0 B A 故選 C 9 4 答案 C 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 請把正確答案填在題中橫線上 13 2009 年湯陰模擬 命題 若 x2 1 則 1 x 1 的逆否命題是 解析 否命題是對條件和結論都否定 x2 1 的否定為 x2 1 1 x 1 的否定 是 x 1 或 x 1 用心 愛心 專心 答案 若 x 1 或 x 1 則 x2 1 14 設全集為 U 在下列條件中 A B B UA B UB UA A UB U 可以作為 B A 的充要條件的是 填上序號即可 解析 A B B B A UA B B A UB UA A B A UB U B A 答案 15 已知 p 4 x a 4 q x 2 3 x 0 若 p 是 q 的充分條件 則實數 a 的 取值范圍是 解析 p 4 x a 4 a 4 x a 4 q x 2 3 x 0 2 x 3 又 p 是 q 的充分條件 即 p q 等價于 q p 所以Error 解得 1 a 6 答案 1 6 16 設平面內有 n 條直線 n 3 其中有且僅有兩條直線互相平行 任意三條直線不過 同一點 若用 f n 表示這 n 條直線交點個數 則 f 4 當 n 4 時 f n 用 n 表示 解析 如圖 4 條直線有 5 個交點 故 f 4 5 由 f 3 2 f 4 f 3 3 f n 1 f n 2 n 2 f n f n 1 n 1 累加可得 f n 2 3 n 2 n 1 答案 5 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答時應寫出必要的文字說明 證明過程或演 算步驟 17 10 分 已知集合 A x 1 x 2 B x x2 4x 5 0 C x m 1 x m 1 m R R 1 求 A B 2 若 A B C 求 m 的取值范圍 解析 1 B x x2 4x 5 0 x x 5 或 x 1 A B x 1 x 2 2 若 A B C Error 1 m 2 m 的取值范圍是 1 2 18 12 分 已知集合 A x x2 4x 5 0 用心 愛心 專心 B x x2 2x m 0 1 當 m 3 時 求 A RB 2 若 A B x 1 x 4 求實數 m 的值 解析 1 A x x2 4x 5 0 x 1 x 5 當 m 3 時 B x 1 x 3 則 RB x x 1 或 x 3 A RB x x 1 或 3 x 5 2 A B x 1 x 4 x 4 是方程 x2 2x m 0 的一個根 有 42 2 4 m 0 解得 m 8 此時 B x 2 x 4 符合題意 19 12 分 判斷下列命題是否是全稱命題或特稱命題 若是 用符號表示 并判斷其真 假 1 有一個實數 sin2 cos2 1 2 任何一條直線都存在斜率 3 所有的實數 a b 方程 ax b 0 恰有唯一解 4 存在實數 x0 使得 2 1 x02 x0 1 解析 本題考查全稱命題以及特稱命題的含義以及符號表示 可以按照定義進行求 解 1 是一個特稱命題 用符號表示為 R R sin2 cos2 1 是一個假命題 2 是一個全稱命題 用符號表示為 直線 l l 存在斜率 是一個假命題 3 是一個全稱命題 用符號表示為 a b R R 方程 ax b 0 恰有唯一解 是一個假 命題 4 是一個特稱命題 用符號表示為 x0 R R 2 是一個假命題 1 x02 x0 1 20 12 分 2009 年蚌埠模擬 已知命題 p 指數函數 f x 2a 6 x在 R R 上單調遞減 命題 q 關于 x 的方程 x2 3ax 2a2 1 0 的兩個實根均大于 3 若 p 或 q 為真 p 且 q 為假 求實數 a 的取值范圍 解析 若 p 真 則 f x 2a 6 x在 R R 上單調遞減 0 2a 6 1 3 a 7 2 若 q 真 令 f x x2 3ax 2a2 1 則應滿足 Error Error 或 a 5 2 又由題意應有 p 真 q 假或 p 假 q 真 若 p 真 q 假 則Error a 無解 若 p 假 q 真 則Error a 3 或 a 5 2 7 2 21 12 分 2009 年濰坊模擬 已知命題 p x1和 x2是方程 x2 mx 2 0 的兩個實根 不等式 a2 5a 3 x1 x2 對任意實數 m 1 1 恒成立 命題 q 不等式 ax2 2x 1 0 有解 若命題 p 是真命題 命題 q 是假命題 求 a 的取值范圍 解析 x1 x2是方程 x2 mx 2 0 的兩個實根 Error x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 m2 8 當 m 1 1 時 x1 x2 max 3 由不等式 a2 5a 3 x1 x2 對任意實數 m 1 1 恒成立 用心 愛心 專心 可得 a2 5a 3 3 a 6 或 a 1 命題 p 為真命題時 a 6 或 a 1 命題 q 不等式 ax2 2x 1 0 有解 當 a 0 時 顯然有解 當 a 0 時 2x 1 0 有解 當 a 0 時 ax2 2x 1 0 有解 4 4a 0 1 a 0 從而命題 q 不等式 ax2 2x 1 0 有解時 a 1 又命題 q 是假命題 a 1 故命題 p 是真命題且命題 q 是假命題時 a 的取值范圍為 a 1 22 12 分 已知條件 p 5x a 1 或 5x 1 a a 0 和條件 q 0 請選 1 2x2 3x 1 取適當的非負數 a 的值 分別利用所給的兩個條件作為 A B 構造命題 若 A 則 B 并 使得構造的原命題為真命題 而其逆命題為假命題 則這樣的一個原命題可以是什么