1 南部中學南部中學 2012 20132012 2013 學年高二下期半期考試數學試題 理科學年高二下期半期考試數學試題 理科 A A 考試時間 120 分 滿分 150 分 一 選擇題一 選擇題 每小題 5 分 共 50 分 1 下列各數 中虛數的個數是 i 4 2 5i 35 i 1 1 A 1 B 2 C 3 D 4 2 一個物體的運動方程為其中的單位是米 的單位是秒 那么物體在秒 2 1stt st3 末的瞬時速度是 A 米 秒 B 米 秒 C 米 秒 D 米 秒5678 3 計算 ii 21 A B C D i 1i 1i 2i 21 4 用反證法證明命題 關于方程最多有兩個實數根 下x 0 0 2 acbxax 列假設中正確的是 只有兩個實數根 最少三個實數根 至少有兩個實數根 少于三個實數根 5 曲線在點處的切線方程是 ln2yx 1 0P A B C D 1yx 1yx 21yx 21yx 6 設函數的導函數為 且 則的值為 xf x f 3 1 2 2 fxxxf 1 f A B C D 4 422 7 設函數 則 x x xfln 2 A 為的極小值點 B 為的極大值點 2 1 x xf2 x xf 2 C 為的極大值點 D 為的極小值點 2 1 x xf2 x xf 8 在棱長為 1 的正方體 中 和分別為ABCD 1111 ABC DMN 11 AB 和的中點 那么直線與所成角的余弦值是 1 BBAMCN A B C D 5 2 5 3 10 10 5 2 9 已知0 x 由不等式 3 222 11444 22 33 222 2 xxx x xxx xxxxx 可以推出結論 1 n a xnnNa x 則 A B C D n2n3 2 n n n 10 已知偶函數在上可導 且則曲線 xfR 2 2 2 1 xfxff 在處的切線的斜率為 xfy 5 x A B C D 22 11 二 填空題二 填空題 每小題 4 分 共 16 分 11 復數的虛部是 1 1 i 12 函數在 1 處取得極值 則的值為 xxay lnxa 13 用數學歸納法證明等式 3 4 123 3 2 nn nn N 時 第一步驗證 1n 時 成立的等式是 14 如圖 二面角 線段 l AB 4 ABBl 與 所成的角為 30 點到平面的距離為 則二面角ABlA 3 的大小是 l 15 下列結論 如果一條直線和一個平面的一條斜線垂直 那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂 第 8 題圖 A B 第 14 題圖 l 3 直 定義運算 復數 z 滿足 則復數的模為 ac adbc bd 1 1 zi i i z5 向量a 有 2 2 aa 類比復數z 有 2 2 zz 滿足條件 的復數在復平面上對應點的軌跡是橢圓 2 izizz 真命題的序號是 高高 20112011 級高二下期半期考試數學試題 理科級高二下期半期考試數學試題 理科 A A 一 選擇題一 選擇題 每小題 5 分 共 50 分 題號題號 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 選項選項 B BA AC CB BA AD DD DA AD DA A 二 填空題二 填空題 每小題 5 分 共 25 分 11 1 12 1 13 或 2 54 4321 104321 14 15 60 3 或 9 第 3 個式子 知4 333 4 333 4 333 x axxx x axxx x a x 3 3 a 猜想 選 D n n naNnn x a x 時 1 10 由 的周期為 4 所以 在處的切 4 2 2 xfxfxfxf xf xf5 x 線斜率等于在處的切線斜 又為偶函數 根據對稱性 在 xf1 x xf xf 處的切線斜率與在處的切線斜率相反 故1 x xf1 x2 1 f 選 A 2 1 5 ff 三 解答題三 解答題 本題六小題 共 75 分 16 本小題滿分 12 分 已知復數iz21 i為虛數單位 把復數z的共軛復數記作 z 若izz34 1 求復數 1 z 16 解 5 分 iz21 12 分 i i i z i z 2 21 3434 1 D P M C BA 4 17 本小題滿分 12 分 如圖 ABCPD平面 BCAC 的中點分別為PAABMD 求證 1 2 CDMPB面 PCAB 17 證明 1 由 可知 4的中點分別為PAABMD DMPB 分 故 6CDMPBCDMDM面 面 CDMPB面 分 2 由 得 由 得 ABCPD平面 ABPD BCAC 中點為ABDABCD 故 所以 12PCDPCPCDAB面 又面 PCAB 分 18 本小題滿分 12 分 已知函數 0 ln3 2 xxxxxg 求函數的單調區間 求函數在區間上的最小值 xg xg e 2 1 18 解 解 1 4 0 1 12 1321 32 2 x x xx x xx x xxg 分 由得 由得 60 x g1 2 1 xx或0 x g1 2 1 x 分 所以函數的單調增區間為 或 xg 1 2 1 0 1 2 1 0 單調增區間為 或 8 1 2 1 1 2 1 分 2 由 1 可知 為在區間的極小值點 也是最小值點 1 x xg e 2 1 故函數在區間上的最小值為 12 xg e 2 1 21ln131 1 2 g 分 5 19 本小題滿分 12 分 如圖 四邊形為矩形 且ABCD 為的中點 ABCDPAABAD平平 1 21 PAEBC 1 求點 C 到面 PDE 的距離 2 求二面角的余弦值 ADEP 19 1 6 分 2 12 分 6 6 3 6 幾何法 連接 易得 而AE2 DEAE2 AD 為直角三角形 故ADE DEAE 又 所以 ABCDPA面 DEPA APEDE面 DEPE 2 6 23 2 1 2 1 DEPES PED 又 由 設點 C 到 2 1 2 1 CDCES ECDPDECCDEP VV 面 PDE 的距離為 則 得ddSPAS PDECDE 3 1 3 1 6 6 d 2 由 1 易得 故 所以為二面角APEDE面 DEPEDEAE AEP 的平面角 又 所以二面角的ADEP AEPA 3 6 3 2 cos AP AE AEPADEP 余弦值為 3 6 坐標法 略 20 本小題滿分 13 分 已知數列計算 107 1 74 1 41 1 13 23 1 nn 1 S 根據計算結果 猜想其前項和的表達式 并證明 2 S 3 S 4 Sn n S 20 解 4 1 41 1 1 S 7 2 74 1 4 1 2 S 10 3 107 1 7 2 3 S 13 4 1310 1 10 3 3 S 猜想 3 13 n n Sn 分 第 19 題圖 6 證明 法一 數學歸納法 1 當時 左邊 右邊 左邊 右邊 猜想成立 51 n 4 1 1 S 4 1 113 1 分 2 假設時 猜想成立 即 1 Nkkkn 7 分 13 13 23 1 107 1 74 1 41 1 k k kk 那么 當時 1 kn 1 1 3 2 1 3 1 13 23 1 107 1 74 1 41 1 kkkk 9 43 13 1 13 kkk k 分 也成立 12 43 13 143 2 kk kk 43 13 1 13 kk kk 1 1 3 1 k k 分 根據 1 2 可知 得證 13 13 n n Sn Nn 分 法二 裂項相消 6 分 13 1 23 1 3 1 13 23 1 nnnn 13 23 1 107 1 74 1 41 1 kk Sn 10 分 13 1 23 1 3 1 10 1 7 1 3 1 7 1 4 1 3 1 4 1 1 3 1 nn 13 1 23 1 10 1 7 1 7 1 4 1 4 1 1 3 1 nn 12 13 1 1 3 1 n13 n n 分 7 13 13 n n Sn故 Nn 分 21 本小題滿分 14 分 已知函數在處取得極值 且 ln b f xxax x 1x 3a 1 求與滿足的關系式 2 討論函數的單調區間 ab f x 3 設函數 若存在 使得成立 22 3g xa x 12 1 2 2 m m 12 9f mg m 求的取值范圍 a 21 解 2 分 2 1 0 ab fxx xx 1 由題意 則 4 分 1 0 f 101abba 2 由 1 令得 22 1 1 1 10 aaxxa fx xxx 1 1x 2 1xa 列表如下 3121aa x 01 1 11 a 1a 1 a fx 0 0 f x 所以單調遞增區間為 單調遞減區間 f x 01 1 a 為 10 分 11 a 3 由 2 得在上單增 在上單減 在上的最大值為 f x 1 1 2 1