11 111 1 班班 沈陽沈陽 1414 號號 初中二次函數的解題方法初中二次函數的解題方法 首先回顧一下初中二次函數的重要性質和基本表達式 一般式一般式 y ax x2 2 bx c a 0 a b c 為常數 頂點 坐標為 b 2a 4ac b 4a 頂點式頂點式 y a x h k a 0 a h k 為常數 頂點坐 標為 h k 對稱軸為 x h 頂點的位置特征和圖像的開口 方向與函數 y ax 的圖像相同 有時題目會指出讓你用 配方法把一般式化成頂點式 交點式交點式 y a x x1 x x2 a 0 僅限于與 x 軸即 y 0 有交點 A x1 0 和 B x2 0 的拋物線 即 b 2 4ac 0 由一般式變為交點式的步驟 X1 x2 b a x1 x2 c a y ax bx c a x b ax c a a x x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 重要概念重要概念 1 二次函數圖像是軸對稱圖形 對稱軸為直線 x h 或者 x b 2a 對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次 函數圖像的頂點 P 特別地 當 h 0 時 二次函數圖像 的對稱軸是 y 軸 即直線 x 0 a b 同號 對稱軸在 y 軸 左 b 0 對稱軸是 y 軸 a b 異號 對稱軸在 y 軸右側 2 二次函數圖像有一個頂點 P 坐標為 P h k 當 h 0 時 P 在 y 軸上 當 k 0 時 P 在 x 軸上 h b 2a k 4ac b2 4a 3 二次項系數 a 決定二次函數圖像的開口方向和大 小 當 a 0 時 二次函數圖像向上開口 當 a0 設拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1 x2 即 x1 x2為方程ax2 bx c 0 的兩個根 由題設x1x2 0 知 0 所 a c 以c0 故b 0 故選 A a b 2 例例 2 2 已知二次函數f x ax2 bx c的系數a b c都是整 數 并且f 19 f 99 1999 c 1000 則c 解 解 由已知f x ax2 bx c 且f 19 f 99 1999 因此可 設f x a x 19 x 99 1999 所以ax2 bx c a x 19 x 99 1999 ax2 19 99 x 19 99a 1999 故c 1999 1881a 因為 c 1000 a是整數 a 0 經檢驗 只有a 1 滿足 此時c 1999 1881 118 例例 3 3 已知a b c是正整數 且拋物線y ax2 bx c與x軸 有兩個不同的交點 A B 若 A B 到原點的距離都小于 1 求 a b c的最小值 解 設 A B 的坐標分別為 A x1 0 B x2 0 且x1 x2 則x1 x2是方程ax2 bx c 0 的兩個根 x1 0 x20 b 2 ac OA x1 1 OB x2 1 即 1 x1 x2 0 x1x2 1 c0 a 1 2 b 1 c 0 即a c b b a c都是整數 a c b 1 由 得a c 2 1 2 1 又由 知 acca 1 1 即a 1 2 1 2 4ca ca c1 a 5 又b 2 2 4 b 5ac15 取a 5 b 5 c 1 時 拋物線y 5x2 5x 1 滿足題意 故a b c的最小值為 5 5 1 11 例例 4 4 如果y x2 k 1 x k 1 與x軸的交點為 A B 頂點為 C 那么 ABC 的面積的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 解 由于 k 1 2 4 k 1 k 1 2 4 0 所以對于任意實 數k 拋物線與x軸總有兩個交點 設兩交點的橫坐標分別為 x1 x2 則 AB 524 2 21 2 21 2 21 kkxxxxxx 又拋物線的頂點c坐標是 4 52 2 1 2 kkk 因此 S ABC 52 2 1 2 kk 32 2 52 8 1 4 52 kk kk 因為k2 2k 5 k 1 2 4 4 當k 1 時等于成立 所以 S ABC 故選 A 14 8 1 3 例例 5 5 已知二次函數y x2 x 2 及實數a 2 求 1 函數在 2 x a的最小值 2 函數在a x a 2 的最小值 解 函數y x2 x 2 的圖象如圖 1 所示 1 若 2 a 2 1 當x a時 y最小值 a2 a 2 若a 當x 時 y最小值 2 1 2 1 4 9 2 若 2 a且a 2 即 2 a 當x a 2 時 y最小值 2 1 2 3 a 2 2 a 2 2 a2 3a 若a a 2 即 a 當x 2 1 2 3 2 1 時 y最小值 2 1 4 9 若a 當x a時 y最小值 a2 a 2 2 1 例例 6 6 當 x 1 6 時 函數y x x 2x 1 的最大值是 2 1120 x y 4 9 2 1 圖 1 解 由 x 1 6 得 7 x 5 當 0 x 5 時 y x2 2x 1 x 1 2 此時y最大值 5 1 2 16 當 7 x0 1 設與 x 軸交點分別為 x1 x2 則 x1 x2 k 2 0 2 x1 x2 k 5 0 3 解得 5 k 4 選 B 例例 8 已知二次函數 y x bx c 的圖像經過點 1 0 1 2 當 y 隨 x 的增大而增大時 x 的取值范圍是 3 4 解析 把點 1 0 1 2 代入二次函數數 可解得 b 3 2 函數的對稱軸為 x 3 2 2 3 4 a 1 0 函數開口向上 單調遞增區間是 3 4 例例 9 二次函數 y ax 2 bx c 當 x 取整數時 y 值也是整數 這樣 的二次函數叫作整點二次函數 請問是否存在 a 的絕對值小于 0 5 的整點二次函數 若存在請寫出一個 若不存在請說明理 由 解答 解答 方法 1 反證法 假設存在二次項系數 a 的絕對值 小于 0 5 的整點二次函數 a 0 則當 x 0 時 y c 即 c 為整數 同理 當 x 1 時 y a b c m x 1 時 y a b c n 其中 m n 都應為整數 兩式相加 2a 2c m n 推知 2a 也應為整數 而 a 0 5 即 2a 1 矛盾 所以不存在 a 的絕對值小于 0 5 的整點二次函數 方法 2 x 0 時 y c 是整數 x 1 時 y a b c 是整數 x 1 時 y a b c 是整數 a b c a b c 2a 2c 是整數 而 2c 是整數 例例 10 已知 y x x 12 的圖象與 x 軸交于相異兩點 A B 另一拋物 線 y ax bx c 過 A B 頂點為 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答解答 顯然 A B 坐標為 4 0 4 0 y ax bx c 過 A B 所以 b 0 c a 16 P 點坐標為 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 11 已知 y x x 12 的圖象與 x 軸交于相異兩點 A B 另一拋物 線 y ax bx c 過 A B 頂點為 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答 顯然 A B 坐標為 4 0 4 0 y ax bx c 過 A B 所以 b 0 c a 16 P 點坐標為 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 1212 已知a0 且 b 2ac 求acb4 2 b2 4ac的最小值 解解 令y ax2 bx c 由于 a0 則 b2 4ac 0 所以 此二次函數的圖像是如 圖 2 所示的一條開口向下的拋物線 且與x軸有兩個不同的交點 A x1 0 B x2 0 因為x1x2 0 不妨設x1 x2 則x1 0 x2 對稱