1 冪函數冪函數 分數指數冪 正分數指數冪的意義是 且 m nm n aa 0a mnN 1n 負分數指數冪的意義是 且 1 m n nm a a 0a mnN 1n 一 冪函數的定義一 冪函數的定義 一般地 形如 R 的函數稱為冪孫函數 其中是自變量 是常數 如 yx x x 等都是冪函數 冪函數與指數函數 對數函數一樣 都是基本初等函數 11 2 34 yxyxyx 二 冪函數的圖像二 冪函數的圖像 冪函數隨著的不同 定義域 值域都會發生變化 可以采取按性質和圖像分類 n yx n 記憶的方法 熟練掌握 當的圖像和性質 列表如下 n yx 1 1 2 1 3 2 3 n 從中可以歸納出以下結論 它們都過點 除原點外 任何冪函數圖像與坐標軸都不相交 任何冪函數圖像都不 1 1 過第四象限 時 冪函數圖像過原點且在上是增函數 1 1 1 2 3 3 2 a 0 時 冪函數圖像不過原點且在上是減函數 1 1 2 2 a 0 任何兩個冪函數最多有三個公共點 2 n yx 奇函數偶函數非奇非偶函數 1n O x y O x y O x y 01n O x y O x y O x y 0n O x y O x y O x y 三 冪函數基本性質三 冪函數基本性質 1 所有的冪函數在 0 都有定義 并且圖象都過點 1 1 2 0 時 冪函數的圖象都通過原點 并且在 0 上 是增函數 3 0 時 冪函數的圖象在區間 0 上是減函數 規律總結 1 在研究冪函數的性質時 通常將分式指數冪化為根式形式 負整指數冪化為分式形 式再去進行討論 2 對于冪函數y 我們首先應該分析函數的定義域 值域和奇偶性 由此確定圖 x 象的位置 即所在象限 其次確定曲線的類型 即 0 0 1 和 1 三種情況下曲 線的基本形狀 還要注意 0 1 三個曲線的形狀 對于冪函數在第一象限的圖象的大 致情況可以用口訣來記憶 正拋負雙 大豎小橫 即 0 1 時圖象是拋物線型 0 時圖象是雙曲線型 1 時圖象是豎直拋物線型 0 1 時圖象是橫臥拋物線 型 四 冪函數的應用四 冪函數的應用 題型一題型一 冪函數的判斷冪函數的判斷 例 1 在函數中 冪函數的個數為 220 3 1 3 yyxyxx yx x A 0 B 1 C 2 D 3 練 1 下列所給出的函數中 是冪函數的是 3 x O y A B C D 3 xy 3 xy 3 2xy 1 3 xy 題型二題型二 冪函數圖像問題冪函數圖像問題 例 2 冪函數 且 互質 的圖象在第一 二象限 且不經過原點 n m yx mnN mn 則有 為奇數且 Amn1 m n 為偶數 為奇數 且 Bmn1 m n 為偶數 為奇數 且 Cmn1 m n 奇數 為偶數 且 Dmn1 m n 練 2 右圖為冪函數在第一象限的圖像 則的大小關系是 yx a b c d Aabcd Bbadc Cabdc Dadcb 解 取 1 2 x 由圖像可知 1111 2222 cdba 應選 abdc C 題型三題型三 冪函數比較大小的問題冪函數比較大小的問題 例 3 比較下列各組數的大小 1 2 1 3 1 5 1 3 1 71 3 7 2 3 7 3 3 7 5 3 2 3 2 2 2 3 10 7 4 3 1 1 解 1 底數不同 指數相同的數比大小 可以轉化為同一冪函數 不同函數值的大小問題 在上單調遞增 且 1 3 yx 0 1 71 51 11 33 1 71 51 2 底數均為負數 可以將其轉化為 33 77 22 33 77 33 33 77 55 在上單調遞增 且 3 7 yx 0 532 xO y a yx b yx c yx 4 即 333 777 532 333 777 532 333 777 532 3 先將指數統一 底數化成正數 22 33 22 22 22 33 1010 77 42 33 1 11 21 在上單調遞減 且 2 3 yx 0 72 1 21 102 即 2 2 32 3 3 72 1 21 102 2 2 34 3 3 72 1 1 102 點評 比較冪形式的兩個數的大小 一般的思路是 1 若能化為同指數 則用冪函數的單調性 2 若能化為同底數 則用指數函數的單調性 3 若既不能化為同指數 也不能化為同底數 則需尋找一個恰當的數作為橋梁來比較大 小 題型四題型四 冪函數含參數問題冪函數含參數問題 例 4 若 求實數的取值范圍 11 33 132aa a 分析 若 11 33 xy 則有三種情況 或 0 xy 0yx 0yx 解 根據冪函數的性質 有三種可能 或或 10 320 a a 10 320 132 a a aa 10 320 132 a a aa 解得 23 1 32 a 練 4 已知冪函數 2 23mm yx mZ 的圖象與x軸 y軸都無交點 且關于原點對稱 求 m的值 解 冪函數 2 23mm yx mZ 的圖象與x軸 y軸都無交點 2 230mm 13m mZ 2 23 mmZ 又函數圖象關于原點對稱 2 23mm 是奇數 0m 或2m 練 5 冪函數 當 352 1 m xmmy x 0 時為減函數 則實數 m 的值為 5 A m 2 B m 1 C m 1 或 m 2 D 2 51 m 題型五 冪函數與函數的性質綜合題題型五 冪函數與函數的性質綜合題 例 5 求函數y 2x 4 x 32 值域 5 2 x 5 1 解析 設t x x 32 t 2 則y t2 2t 4 t 1 2 3 5 1 當t 1 時 ymin 3 函數y 2x 4 x 32 的值域為 3 5 2 x 5 1 點評 這是復合函數求值域的問題 應用換元法 練 6 已知 f x 1 判斷 f x 在 0 上的單調性并證明 2 當 x 1 時 求 f x 的最 2 x2 大值 解解 函數 f x 在 0 上是減函數 證明如下 任取 x1 x2 0 且 x1 x2 f x1 f x2 2 x12 2 x22 2 x22 x12 x12x22 2 x2 x1 x2 x1 x12x22 0 x10 x2 x1 0 x12x22 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 函數 f x 在 0 上是減函數 2 由 1 知 f x 的單調減區間為 0 函數 f x 在 1 上是減函數 函數 f x 在 1 上的最大值為 f 1 2 同步練習 1 下列函數中不是冪函數的是 yx 3 yx 2yx 1 yx 答案 2 下列函數在上為減函數的是 0 1 3 yx 2 yx 3 yx 2 yx 答案 3 下列冪函數中定義域為的是 0 x x 2 3 yx 3 2 yx 2 3 yx 3 2 yx 6 答案 4 函數y x2 2x 的定義域是 2 1 A x x 0 或x 2 B 0 2 C 0 2 D 0 2 解析 函數可化為根式形式 即可得定義域 答案 B 5 函數y 1 x2 的值域是 2 1 A 0 B 0 1 C 0 1 D 0 1 解析 這是復合函數求值域問題 利用換元法 令t 1 x2 則y t 1 x 1 0 t 1 0 y 1 答案 D 6 函數y 的單調遞減區間為 5 2 x A 1 B 0 C 0 D 解析 函數y 是偶函數 且在 0 上單調遞增 由對稱性可知選 B 5 2 x 答案 B 7 若a a 則a的取值范圍是 2 1 2 1 A a 1 B a 0 C 1 a 0 D 1 a 0 解析 運用指數函數的性質 選 C 答案 C 8 函數y 的定義域是 32 215 xx 解析 由 15 2x x2 3 0 15 2x x 20 3 x 5 答案 A 9 函數y 在第二象限內單調遞增 則m的最大負整數是 2 2 1 mm x 解析 m的取值應該使函數為偶函數 故m 1 答案 m 1 10 討論函數y 的定義域 值域 奇偶性 單調性 并畫出圖象的示意圖 5 2 x 思路 函數y 是冪函數 5 2 x 1 要使y 有意義 x可以取任意實數 故函數定義域為 R 5 2 x 52 x 2 xR x2 0 y 0 3 f x f x 5 2 x 52 x 7 函數y 是偶函數 5 2 x 4 n 0 5 2 冪函數y 在 0 上單調遞增 5 2 x 由于冪函數y 是偶函數 5 2 x 冪函數y 在 0 上單調遞減 5 2 x 5 其圖象如下圖所示 12 已知函數y 42 215xx 1 求函數的定義域 值域 2 判斷函數的奇偶性 3 求函數的單調區間 解析 這是復合函數問題 利用換元法令t 15 2x x2 則y 4 t 1 由 15 2x x2 0 得函數的定義域為 5 3 t 16 x 1 2 0 16 函數的值域為 0 2 2 函數的定義域為 5 3 且關