1 平面向量平面向量 1 一 向量的基本概念 思考 生活中有哪些量是既有大小又有方向的 哪些量只有大小沒有方向 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 回答下列問題 1 數量與向量有何區別 2 如何表示向量 3 有向線段和線段有何區別和聯系 分別可以表示向量的什么 4 長度為零的向量叫什么向量 長度為 1 的向量叫什么向量 1 數量和向量的區別 數量只有大小 是一個代數量 可以進行代數運算 比較大小 向量有方向 大小 不能比較大 小 2 向量的表示方法 用有向線段表示 用字母 a b 黑體 等表示 用有向線段的起點與終點字母表示 向量AB 的大小 長度稱為向量的模 記作 ABAB 3 有向線段 具有方向的線段叫做有向線段 三要素 起點 方向 長度 向量與有向線段的區別 向量只有大小和方向兩個要素 與起點無關 只要大小和方向相同 這兩個向量就是相同的向量 有向線段有起點 大小和方向三個要素 起點不同 盡管大小和方向 也是不同的有向線段 4 零向量 單位向量概念 長度為 0 的向量叫零向量 記作 0 長度為 1 個單位長度的向量 叫做單位向量 說明 零向量 單位向量的定義都只是限制了大小 5 滿足什么條件的兩個向量是相等向量 單位向量是相等向量 相等向量的定義 長度相等且方向相同的向量叫相等向量 說明 向量與相等 記作 abab 零向量與零向量相等 任意兩個相等的非零向量 都可用同一條有向線段表示 并且與有向線段的起點無關 6 平行向量的定義 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我們規定與任一向量平行 0 說明 綜合 才是平行向量的完整定義 向量平行 記作 cba cba 2 向量的運算法則 1 向量的加法 問題 數可進行加法運算 1 2 3 那么向量的加法是怎樣定義的 長度是 1 的向量與長度是 2 的向 2 量相加是一定是長度為 3 的向量呢 某人從 A 到 B 再從 B 按原方向到 C 則兩次的位移和 ACBCAB 若上題改為從 A 到 B 再從 B 按反方向到 C 則兩次的位移和 某人從 A 到 B 再從 B 改變方向到 C 則兩次的位移和 向量的加法 求兩個向量和的運算 叫做向量的加法 三角形法則 四邊形法則 練習 化簡CDBCAB 2 向量的減法 探究 1 向量是否有減法 2 向量的減法是否與數的減法有類似的法則 相反向量 與長度相等 方向相反的向量 叫做的相反向量 記作 aaa aa 任一向量與其相反向量的和是零向量 即 0 aaaa 如果是互為相反的向量 則 ba 0 baabba 向量的減法 向量加上的相反向量 叫做和的差 即abab baba 向量減法法則 兩向量起點相同 則差向量就是連結兩向量終點 指向被減向量終點的向量 注意 起點相同 指向被減向量的終點 例 1 平行四邊形 ABCD 中 用 表示向量 bABaAD abDBAC 例 2 已知一點 O 到平行四邊形 ABCD 的三個頂點 A B C 的向量分別為 試用向量 abca 表示 bcOD 3 向量的數乘運算 實數與向量的積是一個向量 記作 它的長度和方向規定如下 a a aa 當 0 時 的方向與的方向相同 當 0 時 的方向與的方向相反 特別的 當 0 aa aa 或 時 a0 a0 注意 實數與向量 可以做積 但不可以做加減法 即 是無意義的 a a a 3 實數與向量的積的運算律 設 為任意向量 為任意實數 則有 ab aa aaa baba 例 1 計算 a4 3 1 ababa 2 3 2 23 32 3 cbacba 例 2 計算 1 2 2 3baba 2 243 3 362 2cbacba 結論 向量與非零向量共線 當且僅當有唯一一個實數 是的 ba b a 例 3 向量是否共線 2121 22 eebeea 例 4 平行四邊形 ABCD 的兩條對角線相交于點 M 且 你能用表示bADaAB ba 嗎 MDMCMBMA 4 2 向量運算法則的應用 向量的加法 減法 數乘運算統稱為響亮的線性運算 對任意實數 恒有 21 baba 2121 1 有關向量共線問題 例 1 已知向量滿足 求證 向量共線 ba 23 5 1 25 3 ba baba ba和 例 2 已知 試判斷是否共線 BCDEABAD3 3 AEAC與 定理的應用 1 有關向量共線問題 2 證明三點共線 三點共線 CBABCBCAB 0 3 證明兩直線平行問題 例 3 已知任意兩個非零向量 試作 你能判斷三點ba baOCbaOBbaOA3 2 CBA 間的位置關系嗎 為什么 例 4 在四邊形中 求證 四邊形為梯形 ABCDbaCDbaBCbaAB35 4 2 ABCD 5 同步練習 一 1 下列命題中 正確的是 A 若 則 B 對于任意向量 有cbba ca ba baba C 若 則或 D 對于任意向量 有ba ba ba ba baba 2 2007 北京理 已知是所在平面內一點 為邊中點 且 OABC DBC2OAOBOC 0 那么 AOOD 2AOOD 3AOOD 2AOOD 3 2008 廣東理 在平行四邊形 ABCD 中 AC 與 BD 交于點 O E 是線段 OD 的中點 AE 的延長線與 CD 交于點 F 若 則 aAC bBD AF A B C D 11 42 ab 21 33 ab 11 24 ab 12 33 ab 二 二 1 2006 上海理 如圖 在平行四邊形 ABCD 中 下列結論中錯誤的是 A B AB DC AD AB AC C D AB AD BD AD CB 0 2 2007 湖南文 若 O E F 是不共線的任意三點 則以下各式中成立的是 A B EFOFOE EFOFOE C D EFOFOE EFOFOE 3 2003 遼寧 已知四邊形 ABCD 是菱形 點 P 在對角線 AC 上 不包括端點 A C 則 AP A B 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB C D 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB 4 2008 遼寧理 已知 O A B 是平面上的三個點 直線 AB 上有一點 C 滿足 則 20ACCB OC A B C D 2OAOB 2OAOB 21 33 OAOB 12 33 OAOB 5 2003 江蘇 天津文 理 是平面上一定點 是平面上不共線的三個點 動點滿足OABC P 的軌跡一定通過的 0 ABAC OPOAP ABAC 則ABCA A 外心 B 內心 C 重心 D 垂心 6 2005 全國卷 理 文 已知點 設的平分線與相交于 3 1 A 0 0 B 3 0 CBAC AEBC 那么有 其中等于 EBCCE A B C D 1 2 1 3 AB CD 6 7 設是兩個不共線的非零向量 若向量與的方向相反 則 k ba bak2 bka 8 8 2007 江西理 如圖 在 ABC 中 點 O 是 BC 的中點 過點 O 的直線分別 交直線 AB AC 于不同的兩點 M N 若 m n ABAMACAN 則 m n 的值為 9 2005 全國卷 理 的外接圓的圓心為 O 兩條邊上的高的交ABC 點為 H 則實數 m OCOBOAmOH 10 2007 陜西文 理 如圖 平面內有三個向量 其OAOBOC中與OA 的夾角為 120 與的夾角為 30 且OBOAOC OAOB 1 若 的值OC22OC 則R OBOA 為 三 三 11 2006 全國 卷理 設平面向量 的和 1 a 2 a 3 a 123 0aaa 如果向量 滿足 且順時針旋轉后與同向 其中 則 1 b 2 b 3 b2 ii ba i a30o i b1 2 3i A B C D 123 0bbb 123 0bbb 123 0bbb 123 0bbb 12 2006 湖南理 如圖 2 OM AB 點 P 在由射線 O