2012年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）數學試題（理工農醫類）第I卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 若復數滿足，則等于（ ）A B C D2. 等差數列中，則數列的公差為（ ）A1 B2 C3 D43. 下列命題中，真命題是（ ）A BC的充要條件是 D是的充分條件4. 一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是（ ）A球 B三棱錐 C正方體 D圓柱5. 下列不等式一定成立的是（ ）A BC D6. 如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（ ）A BC D7. 設函數，則下列結論錯誤的是（ ）A的值域為 B是偶函數C不是周期函數 D不是單調函數8. 雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）A B C3 D59. 若直線上存在點滿足約束條件，則實數的最大值為A B1 C D210. 函數在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質。設在1,3上具有性質，現給出如下命題：在上的圖像時連續不斷的；在上具有性質；若在處取得最大值1，則，；對任意，有。其中真命題的序號是（ ）A B C D第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應位置。11. 的展開式中的系數等于8，則實數_。12. 閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應地程序，輸出的值等于_13. 已知的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為_。14. 數列的通項公式，前項和為， 則 _。 15. 對于實數，定義運算“”：，設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是_。三、解答題：本大題共6小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16. （本小題滿分13分） 受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統計書數據如下： 將頻率視為概率，解答下列問題：（I）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；（II）若該廠生產的轎車均能售出，記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為，生產一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；（III）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由。17. （本小題滿分13分）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （I）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；（II）根據（）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論。18. （本小題滿分13分）如圖，在長方體中，為中點。（）求證：；（）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由。（）若二面角的大小為，求的長。19. （本小題滿分13分）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。（）求橢圓的方程。（）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相較于點。試探究：在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。20. （本小題滿分14分）已知函數 （）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數的單調區間；（）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。21. 本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框圖黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換設曲線在矩陣 對應的變換作用下得到的曲線為。（）求實數的值。（）求的逆矩陣。（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，以坐標原點為幾點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知直線上兩點的極坐標分別為，圓的參數方程為參數）。（）設為線段的中點，求直線的平面直角坐標方程