Lingo軟件在求解數學優化問題的使用技巧LINGO是一種專門用于求解數學規劃問題的軟件包。由于LINGO執行速度快，易于方便地輸入、求解和分析數學規劃問題，因此在教學、科研和工業界得到廣泛應用。LINGO主要用于求解線性規劃、非線性規劃、二次規劃和整數規劃等問題，也可以用于求解一些線性和非線性方程組及代數方程求根等。LINGO的最新版本為LINGO7.0，但解密版通常為4.0和5.0版本，本書就以LINGO5.0為參照而編寫。 1LINGO編寫格式 LINGO模型以MODEL開始，以END結束。中間為語句，分為四大部分（SECTION）：（1） 集合部分（SETS）：這部分以“SETS：”開始，以“ENDSETS”結束。這部分的作用在于定義必要的變量，便于后面進行編程進行大規模計算，就象C語言在在程序的第一部分定義變量和數組一樣。在LINGO中稱為集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，類似于數組的下標）和屬性（ATTRIBUTE，類似于數組）。LINGO中的集合有兩類：一類是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定義的格式為： SETNAME/member list（or 1.n）/：attribute,attribute,etc。另一類是是導出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定義的集合，其定義的格式為：SETNAME（set1，set2，etc。）：attribute，attribute，etc。如果要在程序中使用數組，就必須在該部分進行定義，否則可不需要該部分。（2） 目標與約束：這部分定義了目標函數、約束條件等。一般要用到LINGO的內部函數，可在后面的具體應用中體會其功能與用法。求解優化問題時，該部分是必須的。（3） 數據部分（DATA）：這部分以“DATA：”開始，以“END DATA”結束。其作用在于對集合的屬性（數組）輸入必要的數值。格式為：attribut=value_list。該部分主要是方便數據的輸入。（4） 初始化部分（INIT）：這部分以“INIT：”開始，以“END INIT”結束。作用在于對集合的屬性（數組）定義初值。格式為：attribute=value_list。由于非線性規劃求解時，通常得到的是局部最優解，而局部最優解受輸入的初值影響。通常可改變初值來得到不同的解，從而發現更好的解。編寫LINGO程序要注意的幾點：1. 所有的語句除SETS、ENDSETS、DATA、ENDDATA、INIT、ENDINIT和MODEL，END之外必須以一個分號“；”結尾。2. LINGO求解非線性規劃時已約定各變量非負。LINGO內部函數使用詳解。 LINGO建立優化模型時可以引用大量的內部函數，這些函數以“”符號打頭。（1） 常用數學函數ABS(X) 返回變量X的絕對數值。 COS( X)返回X的余弦值，X的單位為弧度EXP( X)返回的值，其中e為自然對數的底，即FLOOR( X)向0靠近返回X的整數部分。如FLOOR(3.7)，則返回3；FLOOR(-3.7)，則返回-3。LGM( X)返回函數的自然對數值。LOG( X)返回變量X的自然對數值。SIGN( X)返回變量X的符號值，當X0時為1。SIN( X)返回X的正弦值，X的單位為弧度SMAX( X1, X2,., XN)返回一列值X1, X2,., XN的最大值。SMIN( X1, X2,., XN)返回一列值X1, X2,., XN的最小值。TAN( X)返回X的正切值，X的單位為弧度 (2)集合函數 集合函數的用法如下：set_operator (set_name|condition:expression)其中set_oprator部分是集合函數名（見下），set_name是數據集合名，expression部分是表達式，|condition部分是條件，用邏輯表達式描述（無條件時可省略）。邏輯表達式中可以三種邏輯算符（#AND#（與）,#OR#（或），#NOT#（非）和六種關系酸符（#EQ#（等于），#NE#（不等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于）。常見的集合函數如下：FOR (set_name：constraint_expressions)對集合(set_name)的每個元素獨立地生成約束，約束由約束表達式（constraint_expressions）描述。MAX（set_name：expression）返回集合上的表達式（expression）的最大值。MIN（set_name：expression）返回集合上的表達式（expression）的最小值。SUM（set_name：expression）返回集合上的表達式（expression）的和。SIZE（set_name）返回數據集set_name中包含元素的個數。IN（set_name，set_element）如果數據集set_name中包含元素set_element則返回1，否則返回0。（3）變量界定函數 變量函數對變量的取值范圍附加限制，共有四種。 BND（L,X,U）限制 BIN（X）限制X為0或1。 FREE（X）取消對X的符號限制（即可取任意實數值）。 GIN（X）限制X為整數值。（4）財務函數 返回如下情形下的凈現值：單位時段利率為，連續個時段支付，每個時段支付費用，即：=返回如下情形下的凈現值：單位時段利率為，第個時段支付單位費用，即：= （5）概率函數PSN(X)標準正態分布的分布函數。PSL(X)單位正態線性損失函數（即返回的期望值，其中Z為標準正態隨機變量）PPS(A，X)均值為A的Possion分布的分布函數（當X不是整數時，采用線性插值進行計算）。PPL(X)Possion分布的線性損失函數（即返回的期望值，其中Z為Possion分布隨機變量）PBN(P，N，X)二項分布的分布函數當N或X不是整數時，采用線性插值進行計算）。PHG(POP，G，N，X)超幾何分布的分布函數（當POP，G，N或X不是整數時，采用線性插值進行計算）。PFD(N,D,X)自由度為N和D的F分布的分布函數。PCX(N,X) 自由度為N的分布的分布函數。PTD(N,X) 自由度為N的t分布的分布函數。RAND(X)返回0與1之間的偽隨機數（X為種子數，典型用法為U(I)=RAND(U(I+1)）。1某晝夜服務的公交路線每天各時間區段內需司機和乘務人員如下： 班次時間最少需要人數16:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:002:002062:006:0030設司機和乘務人員分別在各時間區段一開始上班，并連續工作八小時，問該公交線路至少配備多少名司機和乘務人員？從第一班開始排，試建立線性模型。分析與求解：注意在每一時間段里上班的司機和乘務人員中，既包括在該時間段內開始時報到的人員，還包括在上一時間段工作的人員。因為每一時間段只有四個小時，而每個司乘人員卻要連續工作八個小時。因此每班的人員應理解為該班次相應時間段開始時報到的人員。設為第班應報到的人員（），則應配備人員總數為：按所需人數最少的要求，可得到線性模型如下：LINGO程序如下：MODEL: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6=60; x1+x2=70; x2+x3=60; x3+x4=50; x4+x5=20; x5+x6=30; x1=60;END得到的解為:x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;配備的司機和乘務人員最少為150人。2 某地區有三個農場共用一條灌渠，每個農場的可灌溉地及分配到的最大用水量如下表：農場可灌溉地（畝）最大用水量（百立方）140060026008003300375各農場均可種植甜菜、棉花和高粱三種作物，各種作物的用水量、凈收益及國家規定的該地區各種作物種植總面積最高限額如下表：作物種類種植限額（畝）耗水量（百立方/畝）凈收益（元/畝）甜菜6003400棉花5002300高粱3251100三個農場達成協議，他們的播種面積與其可灌溉面積相等，而各種農場種何種作物并無限制。問如何制定各農場種植計劃才能在上述限制條件下，使本地區的三個農場的總凈收益最大。分析與求解：設農場1種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝，農場2種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝，農場3種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝。設農場可耕地為，最大用水量為 ，甜菜、棉花和高粱的種植限額為，耗水量為,，凈收益為，根據題目條件，可建立如下線性模型：LINGO編程如下：MODEL:SETS:place/1.3/:a,b;kind/1.3/:c,d,e;plan(place,kind):x;ENDSETSDATA:a=400,600,300;b=600,800,375;c=600,500,325;d=3,2,1;e=400,300,100;ENDDATAmax=sum(kind(j):e(j)*sum(place(i):x(i,j);for(kind(j):sum(place(i):x(i,j)=c(j);for(place(i):sum(kind(j):x(i,j)=a(i);for(place(i):sum(kind(j):d(j)*x(i,j)=b(i);END得到結果如下：X(1,1)=0,X(1,2)=300,X(1,3)=0 X(2,1)=258.3333,X(2,2)=12.5,X(2,3)=0X(3,1)=0,X(3,2)=187.5,X(3,3)=0最大總凈收益為253333.3元。對本題來說，由于數據少，可以不采用數組形式，可直接采用變量，則建立模型如下：設農場1種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝，農場2種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝，農場3種植的甜菜、棉花和高粱分別為畝。根據題目條件，可建立如下線性模型：LINGO程序如下：MODEL:max=400*(x1+x2+x3)+300*(y1+y2+y3)+100*(z1+z2+z3);x1+x2+x3=600;y1+y2+y3=500;z1+z2+z3=325;x1+y1+z1=400;x2+y2+z2=600;x3+y3+z3=300;3*x1+2*y1+z1=600;3*x2+2*y2+z2=800;3*x3+2*y3+z3=1; !至少有一名后衛上場;x(1)+x(4)+x(6)=2; !如果1號和4號上場，則6號不上場;x(2)+x(8)=1; !2號和8號至少有一個不出場.即出場人數至多為1個;FOR(team(i):bin(x(i); !所有變量為0-1變量;END所得到的解為:x(1)=0,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=1,x(5)=1,x(6)=1,x(7)=0,x(8)=0即第2,3,4,5,6名隊員被選上。最大平均身高為Z=1.864米5.有五項設計任務可供選擇。各項設計任務的預期完成時間分別為3,8,5,4,10（周）設計報酬分別為7,17,11,9,21（萬元）。設計任務只能一項一項地進行，總的期限為20周。選擇任務時必須滿足下面要求：（1） 至少完成3項設計任務。（2） 若選擇任務1，必須同時選擇任務2。（3） 任務3和任務4不能同時選擇。 應當選擇哪些任務，才能使總的設計報酬最大？分析與求解：這是一個0-1整數規劃問題。設0-1變量如下：設各項設計任務的完成時間為()表示，設計報酬為()表示。則容易得到目標函數：根據題目要求分別列出約束條件如下：總期限為避免20周，則約束條件為 至少完成3項設計任務，則若選擇任務1，必須同時選擇任務2，則。任務3和任務4不能同時選擇，則，該約束表達式表明任務3和任務4至多只能選擇1個。 因此對該問題建立的數學模型如下：LINGO程序如下：MODEL:SETS:mat/1.5/:m,t,x;ENDSETSDATA:m=7,17,11,9,21; !定義報酬數組;t=3,8,5,4,10; !定義完成時間;ENDDATAmax=SUM(mat(i):m(i)*x(i); !定義目標函數;SUM(mat(i):t(i)*x(i)=3; !至少完成3項任務;x(2)=x(1); !若選擇任務1，必須同時選擇任務2。;x(3)+x(4)=1; !任務3和任務4不能同時選擇。;FOR(mat(i):BIN(x(i); !使各變量為0-1變量;END得到的解為x(1)=1,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=0,x(5)=0。最大報酬為35萬元。即在滿足各種約束條件下，選擇設計任務1,2,3，可使總報酬達到最大為35萬元。6 固定費用有四種資源被用于生產三種產品，資源量、產品單件可變費用、單件售價、資源單耗量及組織三種商品生產的固定費用見下表。現要求制定一個生產計劃，使總收益最大。產品單耗量資源IIIIII資源量A248500B234300C123100D357700單件可變費用4612固定費用100150200單件售價71020分析與求解：總收益等于銷售收入減去生產產品的固定費用與可變費用之和。問題的困難之處在于事先不知道某種產品是否生產，因而不能確定是否有相應的固定費用。可引入用0-1變量來解決是否需要固定費用問題。設是第種產品的產量，；再設 第I種產品銷售一件可收入7-4=3元，第II種產品銷售一件可收入10-6=4元，第III種產品銷售一件可收入20-12=8元。則問題的整數規劃模型為：其中為的某個上界。如根據第2個約束條件，可取, 。也可統一取其最大值。如果生產第種產品，則起產量。由約束條件知，此時相應的生產第種產品的固定費用在目標函數被考慮。如果不生產第種產品，則起產量。由約束條件知可為0也可為1。但顯然只有有利于目標函數最大，從而相應的生產第種產品的固定費用在目標函數將不被考慮。因此引入是合理的。下面是LINGO程序。MODEL:DATA:M=150;ENDDATAmax=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3;!目標函數;2*x1+4*x2+8*x3=500;2*x1+3*x2+4*x3=300;x1+2*x2+3*x3=100;3*x1+5*x2+7*x3=700;x1=M*y1;x2=M*y2;x3New。啟動New屬性單，選擇Projects頁面。再選擇WIN32 Dynamic-Link Library。在右邊Project name標簽下的編輯框中任意輸入一個工程名。如CALC。點擊OK命令按鈕后就建立了一個新的空的工程。2選擇Project-Add to Project-New。在New屬性單中選擇File頁面。在下面空白框中選擇C+ Source File。在右邊File標簽下的編輯框中輸入一個文件名。如CB。3編輯C+程序CB.CPP如下：#include #include #include #include #include #define N 3#define DllExport extern C _declspec(dllexport) /該函數計算成本DllExport void MYUSER(int* NumArgs,double *x,double *dResult) double sum; if(*NumArgs=0&x0=41&x1=101&x1=0&x1=51&x1=0&x2=100) sum+=5*x2; else sum+=4*x2; *dResult=sum; /返回成本總值注意在程序中MYUSER函數的第一個整型變量NumArgs代表輸入的變量個數。根據LINGO調用時輸入的變量個數，可以在C+程序內部得到輸入變量的總數。第二個輸入為向量x，就是外部輸入的變量。第三個變量dResult用于返回最后的計算結果。用LINGO調用時只需要輸入各變量就行了，自然會返回C+程序計算的結果dResult。 變好程序后，按F7運行后生成動態庫CALC.DLL。將其拷貝到LINGO目錄下，并將文件名改名為MYUSER.DLL。啟動LINGO，就可以通過外部函數USER調用動態庫中自己編寫的函數。LINGO程序：!采用動態庫編寫自己的函數;MODEL:max=12*x1+7*x2+6*x3-USER(x1,x2,x3);!目標函數;x1+2*x2+x3=100; !技術服務的約束;10*x1+4*x2+5*x3=700; !直接勞動的約束;3*x1+2*x2+x3=400; !材料的約束;GIN(x1);GIN(x2);GIN(x3);end迭代6步得到局部最優解為x1=70，x2=0，x3=0。總利潤最大為210元。容易驗證，該局部最優解也是全局最優解。8.某企業和用戶簽定了設備交貨合同，已知該企業各季度的生產能力、每臺設備的生產成本和每季度末的交貨量見下表，若生產出的設備當季度不交貨，每臺設備每季度需要支付保管費0.1萬元，試問在遵守合同的條件下，企業應如何安排生產計劃，才能使年消耗費用最低？季度工廠生產能力（臺）交貨量（臺）每臺設備生產成本（臺）1251512.02352011.03302511.54202012.5分析與求解：方法1：設第季度生產臺，庫存臺，。第季度生產能力用表示，交貨量用表示，每臺設備生產成本用表示。則建立目標函數為：LINGO程序如下：MODEL:SETS:QUART/1.4/:x,y,p,d,c;ENDSETSDATA:!指定數據;p=25,35,30,20;d=15,20,25,20;c=12.0,11.0,11.5,12.5;ENDDATAmin=sum(QUART(i):c(i)*x(i)+0.1*y(i);!目標函數;FOR(QUART(i):x(i)=p(i); !生產能力限制;FOR(QUART(i)|i#GT#1:y(i)=y(i-1)+x(i)-d(i); y(1)=x(1)-d(1);end得到的結果如下：x1=15，x2=35，x3=30，x4=0；y1=0，y2=15，y3=20，y4=0。年消耗最小費用為913.5萬元。方法1：設第季度生產第季度交貨的臺數，第季度生產能力用表示，交貨量用表示，每臺設備生產成本用表示。由于生產能力的限制，需要滿足下面條件： 根據交貨量的規定，應滿足如下條件： 第季度生產第季度交貨的每臺設備所消耗的費用，應等于生產成本加上保管維護費用之和，其值如下表：生產季i交貨季j1234123412.012.111.012.211.111.512.311.211.612.5則該模型表示如下：LINGO程序如下：MODEL:SETS:QUART/1.4/:p,d;LINK(QUART,QUART)|&1#LE#&2:x,c; !只取上三角陣;ENDSETSDATA:!指定數據;p=25,35,30,20;d=15,20,25,20;c=12.0 12.1 12.2 12.3 11.0 11.1 11.2 11.5 11.6 12.5; ENDDATAMIN=SUM(LINK:c*x);!目標函數;FOR(QUART(i):SUM(QUART(j)|j#GE#i:x(i,j)=p(i); !生產能力限制;FOR(QUART(j):SUM(QUART(i)|i#LE#j:x(i,j)=d(j); !交貨合同限制;end得到的結果如下：X(1,1)=15，X(1,2)=0，X(1,3)=0，X(1,4)=0；X(2,2)=20，X(2,3)=0，X(2,4)=15。X(3,3)=25, X(3,4)=5；X(4,4)=0。年消耗最小費用為913.5萬元。可以看出，第1季度生產量為15臺，第2季度生產量為35臺，第3季度生產量為30臺，第4季度生產量為0臺，與前面方法得到的結果一樣。其最小費用也一樣。9 (TSP問題) 設有一個售貨員從10個城市中的某一個城市出發，去其它9個城市推銷產品。10個城市相互距離如下表。要求每個城市到達一次僅一次后，回到原出發城市。問他應如何選擇旅行路線，使總路程最短。城市1234567891010745861213111827031091451417173430591021827124510501491092316589914078720196614109701352513712521108130232118813148975230181291117272320252118016101817121619131812160問題分析與建模： 設城市之間距離用矩陣來表示，其中為下三角矩陣，表示城市與城市之間的距離。設0-1矩陣用來表示經過的各城市之間的路線。設 則該TSP問題轉化為如下線性模型：LINGO程序如下：!TSP quesion;MODEL:SETS:city/1.10/;link(city,city)|&1#GT#&2:d,s;ENDSETSDATA:d= 7 4 3 5 10 5 8 9 9 14 6 14 10 9 7 12 5 21 10 8 13 13 14 8 9 7 5 23 11 17 27 23 20 25 21 18 18 17 12 16 19 13 18 12 16;ENDDATA MIN=SUM(link:d*s); SUM(city(j)|j#GT#1:S(j,1)=2; !與第1個城市相連的有兩個城市; !與第i個城市相連有兩個城市; FOR(city(i)|i#GT#1:SUM(city(j)|j#GT#i:s(j,i)+ SUM(city(k)|k#LT#i:s(i,k)=2);FOR(link:BIN(s);得到的結果如下： S(3,2)=1,S(4,1)=1,S(4,3)=1,S(6,5)=1,S(7,2)=1,S(7,5)=1,S(8,6)=1,S(9,1)=1,S(10,8)=1,S(10,9)=1。其它全為0。 其最短路線為143275681091，最短距離為77公里。 10. 某公司有資金4萬元，可向A,B,C三個項目投資。已知各項目不同投資額的相應效益如下表。問如何分配資金可使總效益最大。項目 投資額（萬元） 01234A041486066B042506066C064687876模型分析與建立： 設項目有個,每個項目有種投資方式。第個項目的第種投資方式效益為萬元。則投資可有效益矩陣為來表示。每個項目的投資方式的資金分配用向量來表示。本題。 設 則可建立如下模型： LINGO程序如下：MODEL:SETS:item/1.3/;kind/1.5/:A;link(item,kind):S,C;ENDSETSDATA:A=0,1,2,3,4; !投資錢的情況;C=0,41,48,60,66, 0,42,50,60,66, 0,64,68,78,76; !投資矩陣;ENDDATAMAX=SUM(link:S*C);SUM(item(i):SUM(kind(j):S(i,j)*A(j)=4; !總共投資的錢為4萬元;FOR(item(i):SUM(kind(j):S(i,j)=1);!每個項目最多投資一次;FOR(LINK:BIN(S);!限制S(i,j)只能取0,1;END結果如下：