學案62二項式定理導學目標： 1.能用計數原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題自主梳理1二項式定理的有關概念(1)二項式定理：(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn (nN*)，這個公式叫做_二項展開式：右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式項數：二項展開式中共有_項二項式系數：在二項展開式中各項的系數_(r_)叫做二項式系數通項：在二項展開式中的_叫做二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項為展開式的第r1項：Tr1_.2二項式系數的性質(1)CC；(2)CCC；(3)當r時，CC；(4)當n是偶數時，中間的一項二項式系數_取得最大值；當n為奇數時，中間的兩項二項式系數_、_相等，且同時取得最大值；(5)各二項式系數和：CCCC_，CCCCCC_.自我檢測1(2011福建改編)(12x)5的展開式中，x2的系數等于_2(2011陜西改編)(4x2x)6(xR)展開式中的常數項是_3(2010四川)6的展開式中的第四項是_4(2011山東)若(x)6展開式的常數項為60，則常數a的值為_5已知n為正偶數，且n的展開式中第4項的二項式系數最大，則第4項的系數是_(用數字作答)探究點一二項展開式及通項公式的應用例1已知在n的展開式中，第6項為常數項(1)求n；(2)求含x2的項的系數；(3)求展開式中所有的有理項變式遷移1(2010湖北)在(xy)20的展開式中，系數為有理數的項共有_項探究點二二項式系數的性質及其應用例2(1)求證：C2C3CnCn2n1；(2)求SCCC除以9的余數變式遷移2(2010上海盧灣區質量調研)求CCCC的值探究點三求系數最大項例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中系數最大的項變式遷移3(1)在(xy)n的展開式中，若第七項系數最大，則n的值可能等于_(2)已知n，()若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數的最大項的系數；()若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項1二項式系數與項的系數是不同的，如(abx)n (a，bR)的展開式中，第r1項的二項式系數是C，而第r1項的系數為Canrbr.2通項公式主要用于求二項式的指數，求滿足條件的項或系數，求展開式的某一項或系數在運用公式時要注意：Canrbr是第r1項，而不是第r項3在(ab)n的展開式中，令ab1，得CCC2n；令a1，b1，得CCCC0，CCCCCC2n1，這種由一般到特殊的方法是“賦值法”4二項式系數的性質有：(1)在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即CC，CC，CC，CC.(2)如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大5二項式定理的一個重要作用是近似計算，當n不是很大，|x|比較小時，(1x)n1nx.利用二項式定理還可以證明整除性問題或求余數問題，證題時要注意變形的技巧(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010山東實驗中學模擬)在24的展開式中，x的冪指數是整數的項共有_項2設(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為_3在n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中常數項是_4(2010煙臺高三一模)如果n的展開式中二項式系數之和為128，則展開式中的系數是_5在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項的系數是_6(2011湖北)(x)18的展開式中含x15的項的系數為_(結果用數值表示)7(2010濟南高三一模)(x)6的展開式中的常數項為_8.10的展開式中的常數項是_二、解答題(共42分)9(14分)(1)設(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.求a0a1a2a3a4；求a0a2a4；求a1a2a3a4；(2)求證：32n28n9能被64整除(nN*)10(14分)利用二項式定理證明對一切nN*，都有2n3.11(14分)已知n (nN*)的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是101.(1)求展開式中各項系數的和；(2)求展開式中含x的項；(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項學案62二項式定理答案自主梳理1(1)二項式定理n1C0,1,2，nCanrbrCanrbr2.(3)CC(4)CnCnCn(5)2n2n1自我檢測140解析(12x)5的第r1項為Tr1C(2x)r2rCxr，令r2，得x2的系數為22C40.215解析設展開式的常數項是第r1項，則Tr1C(4x)r(2x)6r，即Tr1C(1)6r22rx2rx6xC(1)6r23rx6x，3rx6x0恒成立r2，T3C(1)415.344解析(x)6展開式的通項為Tr1Cx6r(1)r()rx2rCx63r(1)r()r.令63r0，得r2.故C()260，解得a4.5解析n為正偶數，且第4項二項式系數最大，故展開式共7項，n6，第4項系數為C3.課堂活動區例1解題導引(1)通項Tr1Canrbr是(ab)n的展開式的第r1項，而不是第r項；二項式系數與項的系數是完全不同的兩個概念，二項式系數是指C，r0,1,2，n，與a，b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分(2)求二項展開式中的有理項，一般是根據通項公式所得到的項，其所有的未知數的指數恰好都是整數的項解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項的方式一致解(1)通項公式為Tr1CxrxCrx，因為第6項為常數項，所以r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)(106)2，所求的系數為C2.(3)根據通項公式，由題意得令k (kZ)，則102r3k，即r5k，rN，k應為偶數k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為C2x2，C5，C8x2.變式遷移16解析展開式的通項Tr1Cx20r(y)rCx20ryr3.由0r20，Z得r0,4,8,12,16,20.所以系數為有理數的項共有6項例2解題導引(1)在有關組合數的求和問題中，經常用到形如CCC，CC，kCnC等式子的變形技巧；(2)利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是進行合理地變形構造二項式求余數問題時，應明確被除式f(x)、除式g(x)g(x)0、商式q(x)與余式的關系及余式的范圍(1)證明方法一設SC2C3C(n1)CnC，SnC(n1)C(n2)C2CCnC(n1)C(n2)C2CC，得2Sn(CCCCC)n2n.Sn2n1.原式得證方法二CC，kCnC.左邊nCnCnCn(CCC)n2n1右邊(2)解SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7，顯然上式括號內的數是正整數故S被9除的余數為7.變式遷移2解(1x)2nCCxCx2Cx3Cx2n.令x1得CCCC22n；再令x1得CCC(1)rCCC0.兩式相加，再用C1，得CCC122n11.例3解題導引(1)求二項式系數最大的項：如果n是偶數，則中間一項第項的二項式系數最大；如果n是奇數，則中間兩項第項與第項的二項式系數相等且最大；(2)求展開式系數最大的項：如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數最大的項，一般是采用待定系數法設展開式各項系數分別為A1，A2，An1，且第r1項系數最大，應用解出r來，即得系數最大的項解(1)令x1，則二項式各項系數的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5為奇數，所以展開式中二項式系數最大的項為中間兩項，它們分別是T3C3(3x2)290x6，T4C2(3x2)3270x.(2)展開式的通項公式為Tr1C3rx(52r)假設Tr1項系數最大，則有r，rN，r4.故展開式中系數最大的項為T5405x.變式遷移311,12,13(1)解析分三種情況：若僅T7系數最大，則共有13項，n12；若T7與T6系數相等且最大，則共有12項，n11；若T7與T8系數相等且最大，則共有14項，n13，所以n的值可能等于11,12,13.(2)解()CC2C，n221n980.n7或n14，當n7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5.T4的系數為C423，T5的系數為C32470，當n14時，展開式中二項式系數的最大的項是T8.T8的系數為C7273 432.()CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)設Tk1項的系數最大，1212(14x)12，9.4k10.4.k10.展開式中系數最大的項為T11，T1112C410x1016 896x10.課后練習區152.23.74.215121解析(1x)5中x3的系數為C10，(1x)6中x3的系數為C20，(1x)7中x3的系數為C35，(1x)8中x3的系數為C56.所以原式中x3的系數為10203556121.617解析二項展開式的通項為Tr1Cx18r()r(1)r()rCx18.令1815，解得r2.含x15的項的系數為(1)2()2C17.7解析Tr1Cx6rrxrrCx62r，令62r0，得r3.常數項為T313C.84 351解析1010C(1x)10C(1x)9C(1x)8C(1x)7C(1x)6，從第五項C(1x)6起，后面各項不再出現常數項，前四項的常數項分別是CC，CC，CC，CC.故原三項展開式中常數項為CCCCCCCC4 351.9解(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31)416.(3分)令x1得，a0a1a2a3a4(31)4256，而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416，兩式相加，得a0a2a4136.(6分)令x0得a0(01)41，得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(9分)(2)證明32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n9(12分)9(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號內是正整數，原式能被64整除(14分)10證明因為nCCC2C3Cn11.(4分)所以2n2(7分)2233，(10分)僅當n1時，n2；(12分)當n2時，2n3.故對一切nN*，都有2n3.(14分)11解由題意知，第五項系數為C(2)4，第三項的系數為C(2)2，