有限域的結構對于這一節，我們將要證明三個結構定理：定理1 設F是一個特征p的有限域，那么F的元素個數一定是p的一個冪。定理2 設p是任一素數而n是任一正整數，那么總存在著一個恰含個元素的有限域。定理3 設F是一個有限域，它含有一個q個元素的有限域作為子域，那么F的元素個數一定是q的一個冪。證明：先將改記為.如果,那么就是恰含有個元素的有限域，因此定理成立。如果，那么就含有一個元素，而.令.下面我們來證明：如果，則一定有.因為從上式可以推出 .若，那么有 .這與相矛盾。所以有.于是有.則恰含個兩兩不同的元素。如果,那么就是恰含個元素的有限域，此時定理成立。如果，那么就會有一個元素，而.令 .假設.那么.若，那么有.這與相矛盾。故有.于是有.由此知，。像這樣一直討論下去。如果的元素個數是，而，那么就有的一串子集，其中而恰含個兩兩不同的元素。如果，那么就含有一個元素，而.令依照上面有恰含個兩兩不同的元素。但是是的一個子集，而的元素個數，所以對于恰含個兩兩不同的元素是不可能的。因此一定有，即恰含個元素。下面要證明定理1，設是特征的有限域，那么一定是素數，而的素域就是恰含個元素的有限域。所以要證明定理1只需在定理3中取，就可以證明。下面要證明定理2則需要一些多項式的知識及引理。定理4(帶余除法) 設和是中的兩個多項式，.那么存在唯一的一對多項式，使得。令推論5設和都是中的多項式，。那么定理6 設是中的一個非零多項式。如果和互素，那么沒有重因式。推論7 設是中的一個多項式，。那么是的根當且僅當。如果是中的一個n次多項式。那么在中最多有n個兩兩不同的根。定理8 設是中的一個非零多項式，設和是中的任意兩個多項式。那么當且僅當例1 設是域，是中的一個次不可約多項式。我們用表示中所有次數的多項式的集合，即 (1)設。仿照是域時定義的加法運算和乘法運算來規定與的和()與積（）：和是域的證明一樣。可驗證對于規定的加法運算和乘法運算是一個域。在這里我要說的是，中的零元素0就是中的零元素，中的單位元素就是中的單位元素。值得注意的是中的元素都是中的元素，它們是中的零元素和零次多項式。進一步，對于中的任意兩個元素的和，將它們看作中的元素進行加法運算和乘法運算得到的和與積，與將它們看作中的元素進行加法運算和乘法運算得到的和與積是一樣的，即因此， 是的一個子域。特別地，如果是中的一個一次多項式，那么顯然有.進一步，若我們記那么在中，有這就是說中的元素是上未定元的不可約多項式 的根。因此我們也可以說是添加中的一個不可約多項式的根到上而得到的域。 如果是含有個元素的有限域，那么（1）式中的可以是中這個元素中的任何一個，因此是個元素的有限域。特別地，若取，其中是一個給定的素數，而是中的一個次不可約多項式，那么就恰含有個元素的有限域，而是它的一個子域。因此，在中也有。下面要證明定理2，我們只需證明：對于任一素數和任一正整數，中總有一個次不可約多項式即可。而事實上，若是中的一個次不可約多項式，那么在例1中構造的域就是一個個元素的有限域。然而，我們要證明中總有次不可約多項式存在，又要做一些準備。引理9 設是個有限域，是的一個含有個元素的子域，那么中每個元素都適合條件。進一步，若中的元素適合，那么。證明：根據任意有限域的乘法群都是循環群這一定理，知道是階循環群。設是它的一個生成元，那么就是的全部個元素。然而有 在上式兩邊同時乘以，就有 .這就是說，中人一元素（包含0）都適合條件這樣的話，有多項式就以中的個元素作為它的全部根。將看作上的多項式，它在中最多有個因此如果是這個多項式的根，即，那么一定有。引理10設是個元素的有限域，而是上的一個次不可約多項式，那么一定有 證明：令在例1中已經規定了的加法運算和乘法運算，即于任意的，有同時也證明了按上述規定的加法和乘法運算是一個域，而且是一個含個元素的域。根據引理9，中的元素 都適合條件，即.特別地，對于，在中有，而這可以轉化為即。由推論5有因此有.這就是說。引理11設是個元素的有限域，而是上的一個次不可約多項式，如果，那么一定有不能整除。證明：運用反證法。設。這就是說，。因此.因為，所以是個元素的有限域。根據定理1，一定是的特征的一個冪，也是的特征的一個冪。于是對于中任意一個元素，都有這就是說，的個元素都適合多項式.但是，根據推論7這是不可能的。故不能整除。引理12 設是正整數，而那么證明：對作歸納法。當時，結論成立。設，那么由。但是而，所以根據歸納假設，有于是有引理13設是正整數，而那么證明：仿照引理12的證明，可證明.根據引理12 有因此引理14設是個元素的有限域，而是上的一個次不可約多項式。那么當且僅當.證明：充分性：根據引理10，要證，只需證明即可。設，那么根據引理13有于是由引理10得到則有，故有.必要性：設，由于那么令.根據引理13得到，再根據引理11，有。但是.故有。于是有。引理15設是個元素的有限域.那么對于任意正整數，都沒有重因式。證明： 設那么有設的特征為。由定理1，是的一個冪。令那么。所以對于來說只有因式和，而不能整除，所以.于是根據定理6，知沒有重因式。然而不是的因式，因此也沒有重因式。定理16 設是一個個元素的有限域，是一個正整數，而是的所有兩兩不同的素因數。用表示中所有次首一不可約多項式的乘積，那么(2)其中分別由是偶數或奇數來確定的。再用表示中次首一不可約多項式的個數，那么(3)推論17 .證明：由于，要證只要證即可。令其中是兩兩不同的素數。那