圓的解題技巧總結一、垂徑定理的應用給出的圓形紙片如圖所示，如果在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB，垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對折，我們很容易發現A、B兩點重合，即有結論AP=BP，弧AC=弧BC其實這個結論就是“垂徑定理”，準確地敘述為：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧垂徑定理是“圓”這一章最早出現的重要定理，它說明的是圓的直徑與弦及弦所對的弧之間的垂直或平分的對應關系，是解決圓內線段、弧、角的相等關系及直線間垂直關系的重要依據，同時，也為我們進行圓的有關計算與作圖提供了方法與依據例1 (2006山東青島)某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑分析：本題是一道和垂徑定理應用有關的實際問題，要確定圓形截面的圓心，只要在五b上取一點E，連結AE，BE，分別作線段AE，BE的垂直平分線，它們的交點即為圓心要求圓的半徑，只要過圓心作AB的垂線，構造直角三角形即可解決答案：10 cm例2 （2007蕪湖）如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q，則AB=？答案：6例3 （2007天門）如圖，已知O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及O上，并且POM=45，則AB的長為多少？答案：例4 圖為小自行車內胎的一部分，如何將它平均分給兩個小朋發做玩具？二、與圓有關的多解題幾何題目一般比較靈活，若畫圖片面，考慮不周，很容易漏解，造成解題錯誤，在解有關圓的問題時，常常會因忽視圖形的幾種可能性而漏解1忽視點的可能位置例5 ABC是半徑為2的圓的內接三角形，若cm，則A的度數為_解：60或1202忽視點與圓的位置關系例6 點P到0的最短距離為2 cm，最長距離為6 cm，則0的半徑是_解:4 cm或 2 cm.3忽視平行弦與圓心的不同位置關系例7 已知四邊形ABCD是0的內接梯形，ABCD，AB=8 cm，CD=6 cm，0的半徑是5 cm，則梯形的面積是_ 解:49 cm2或 7 cm2.4忽略兩圓相切的不同位置關系例8 點P在0外，OP=13 cm，PA切0于點A，PA=12 cm，以P為圓心作P與0相切，則P的半徑是_解:8 cm或18 cm例9 若O1與02相交，公共弦長為24 cm，O1與02的半徑分別為13 cm和15 cm，則圓心距0102的長為_解:14 cm或4 cm三、巧證切線切線是圓中重要的知識點，而判斷直線為圓的切線是中考的重要考點判斷直線是否是圓的切線，主要有兩條途徑：1圓心到直線的距離等于半徑當題中沒有明確直線與圓是否相交時，可先過圓心作直線的垂線，然后證明圓心到直線的距離等于半徑例10 如圖，P是AOB的角平分線OC上一點，PDOA于點D，以點P為圓心，PD為半徑畫P，試說明OB是P的切線2證明直線經過圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑當已知直線與圓有交點時，連結交點和圓心（即半徑），然后證明這條半徑與直線垂直即可例11 （2007瀘州）如圖，已知AB為O的直徑，直線BC與0相切于點B，過A作ADOC交0于點D，連結CD.(1)求證：CD是0的切線；(2)若AD=2，直徑AB=6，求線段BC的長 四、結論巧用，妙解題例12 已知：如圖，O為RtABC的內切圓，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的切點，求證：該結論可敘述為：“直角三角形的面積等于其內切圓與斜邊相切的切點分斜邊所成兩條線段的乘積”運用它，可較簡便地解決一些與直角三角形內切圓有關的問題，舉例如下：例13 如圖，0為RtABC的內切圓，切點D分斜邊AB為兩段，其中AD10，BD3，求AC和BC的長AC=12,BC= 5.例14 如圖，ABC中A與B互余，且它們的角平分線相交于點0，又OEAC，OFBC，垂足分別為E、F，AC=10，BC13求AEBF的值AEBF65五、點擊圓錐的側面展開圖圓錐的側面展開圖是中考中的熱點內容：解決此類問題的關鍵是明確圓錐的側面展開圖中各元素與圓錐各元素之間的關系：圓錐的側面展開圖是扇形，而扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是圓錐的底面周長例15 若一個圓錐的母線長是它的底面半徑長的3倍，則它的側面展開圖的圓心角是( ) 答案：CA180 B90 C120 D135例16 圓錐的側面展開圖是一個半圓面，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是( ) 答案：AA.2:1 B.2:1 C：1 D：1例17 (2007山西)如圖，小紅要制作一個高4 cm，底面直徑是6 cm的圓錐形小漏斗，若不計接縫，不計損耗，則她所需紙板的面積是( ) 答案：AA15cm2 B6cm2 C12cm2 D30 cm2例18 下圖是小芳學習時使用的圓錐形臺燈罩的示意圖，則圍成這個燈罩的鐵皮的面積為_cm2（不考慮接縫等因素，計算結果用表示）答案：300評注：圓錐的側面積，需要熟練掌握其計算公式，理解圓錐的側面積等于其剪開后扇形的面積例19 如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮ABCD，BC= CD,AB= 2AD,ABCADB= 90(1)求C的度數；(2)以C為圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD，剪下該扇形并用它圍成一圓錐的側面，若已知BCa，求該圓錐的底面半徑；(3)在剩下的材料中，能否剪下一塊整圓做該圓錐的底面？并說明理由六、例談三角形內切圓問題三角形的內切圓是與三角形都相切的圓，它的圓心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，它與頂點的連線平分內角應用內心的性質，結合切線的性質、切線長的性質可以解決很多問題，現舉例說明，例20 如圖，ABC中，內切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F求證：(1)；(2)例21 如果ABC的三邊長分別為a、b、c，它的內切圓I半徑為r，那么ABC的面積為( ). 答案：BA BC D七、陰影部分面積的求值技巧求陰影部分面積，通常是根據圖形的特點，將其分解、轉化為規則圖形求解但在轉化過程中又有許多方法本文精選幾個題，介紹幾種常用方法1直接法當已知圖形為熟知的基本圖形時，先求出適合該圖形的面積計算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進行計算例22 如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中點E為圓心的與AD相切于點P，則圖中陰影部分的面積為( ) 答案：DA B C D2和差法當圖形比較復雜時，我們可以把陰影部分的面積轉化為若干個熟悉的圖形的面積的和或差來計算例23 如圖，AB和AC是0的切線，B、C為切點，BAC=60，0的半徑為1，則陰影部分的面積是( ) 答案：BA B C D3割補法把不規則的圖形割補成規則圖形，然后求面積例24 如圖，正方形ABCD的頂點A是正方形EFGH的中心，EF=6 cm，則圖中的陰影部分的面積為_答案：9 cm24等積變形法把所求陰影部分的圖形進行適當的等積變形，即可找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分面積例25 如圖，C、D兩點是半圓周上的三等分點，圓的半徑為R，求陰影部分的面積5平移法把圖形做適當的平移，然后再計算面積例26 如圖，CD是半圓0的直徑，半圓0的弦AB與半圓O 相切，點O 在CD上，且ABCD，AB4，則陰影部分的面積是（結果保留）答案：2 6整體法例27 如圖，正方形的邊長為a，分別以對角頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是( ) 答案：CA BC D7折疊法例28 （2005河南實驗區）如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點0，其直徑CD，EF均和x軸垂直，以0為頂點的兩條拋物線分別經過點C、E和點D、F，則圖中陰影部分的面積是_答案：8聚零為整法例29 （2005山西實驗區）如圖所示，將半徑為2 cm的0分割成十個區域，其中弦AB、CD關于點0對稱，EF、GH關于點0對稱，連結PM，則圖中陰影部分的面積是_（結果用表示）答案：2八、圓中輔助線大集合圓是初中重點內容，是中考必考內容關于圓的大部分題目，常需作輔助線來求解現對圓中輔助線的作法歸納總結如下：1、有關弦的問題，常做其弦心距，構造直角三角形例30 （2006南京市）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的O交于點G、B、F、E，GB=8 cm，AG1 cm，DE2 cm，則EF_cm答案：62、有關直徑問題，常做直徑所對的圓周角例31 （2006濟寧市）如圖，在ABC中，C=90，以BC上一點0為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N(1)求證：(2)如果CM是0的切線，N為OC的中點，當AC3時，求AB的值答案：63、直線與圓相切的問題，常連結過切點的半徑，得到垂直關系；或選圓周角，找出等角關系例32 （2006黃岡市）如圖，AB、AC分別是0的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦ED分別交0于點E，交AB于點H，交AC于點F，過點C的切線交ED的延長線于P(1)若PCPF，求證：ABED(2)點D在劣弧的什么位置時，才能使AD2DEDF，為什么？4、兩圓相切，常做過切點的公切線或連心線，充分利用連心線必過切點等定理例33 （2005太原市）如圖，02與半圓Ol內切于點C，與半圓的直徑AB切于D，若AB=6，02的半徑為1，則ABC的度數為_答案：75C、數學思想方法與中考能力要求數學思想和方法是數學的血液和精髓，是解決數學問題的有力武器，是數學的靈魂因此，我們領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是提高數學思維水平，提高數學能力，運用數學知識解決實際問題的有力保證，因此，我們在學習中必須重視數學思想在解題中的應用一、數形結合思想數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維相結合通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可培養同學們思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體例1 MN是半圓直徑，點A是的一個三等分點，點B是的中點，P是直徑MN上的一動點，0的半徑是1，求AP+BP的最小值答案： 二、轉化思想轉化思想，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換，使之轉化，進而得到解決的一種方程，轉化思想，能化繁為簡，化難為易，化未知為已知例2 如圖，以0的直徑BC為一邊作等邊ABC，AB、AC交0于D、E兩點，試說明BD=DE=EC在同圓或等圓中，經常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉化，說明其他量三、分類思想所謂分類思想，就是當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結論分類必須遵循一定的原則：(1)每一次分類要按照同一標準進行；(2)不重、不漏、最簡.例3 0的直徑AB=2 cm，過點A的兩條弦AC=cm，AD=cm，求CAD所夾的圓內部分的面積答案：cm2或cm2 在圓中有許多分類討論的題目，希望同學們做題時，要全面、縝密，杜絕“會而不對，對而不全”的現象四、方程思想通過對問題的觀察、分析、判斷，將問題化歸為方程問題，利用方程的性質和實際問題與方程的互相轉化達到解決問題的目的例4 如圖，AB是0的直徑，點P在BA的延長線上，弦CDAB，垂足為E，且PC是O的切線，若OE:EA=1:2，PA6，求0的半徑答案：3五、函數思想例5 （2005梅州市