15 數學思維能力的培養 人民教育出版社章建躍我國初、高中數學教學大綱中都明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。我們認為，大綱中對思維能力的這一闡述是準確的、科學的，反映了心理學對思維能力研究的最新成果，對我國當前的數學教學具有重要的指導意義。 那么，在數學課堂教學中應當如何貫徹教學大綱的思想，更加有效地培養學生的數學思維能力呢？以下我們從發展心理學、教育心理學的角度談談看法。 一、數學概括能力的培養 數學教學中，應當強調數學的“過程”與“結果”的平衡，要讓學生經歷數學結論的獲得過程，而不是只注意數學活動的結果。這里，“經歷數學結論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認為，其實質是要讓學生有機會通過自己的概括活動，去探究和發現數學的規律。 概括是思維的基礎。學習和研究數學，能否獲得正確的抽象結論，完全取決于概括的過程和概括的水平。數學的概括是一個從具體向抽象、初級向高級發展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。隨著概括水平的提高，學生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發展。數學教學中，教師應根據學生思維發展水平和概念的發展過程，及時向學生提出高一級的概括任務，以逐步發展學生的概括能力。 在數學概念、原理的教學中，教師應創設教學情境，為學生提供具有典型性的、數量適當的具體材料，并要給學生的概括活動提供適當的臺階，做好恰當的鋪墊，以引導學生猜想、發現并歸納出抽象結論。這里，教師鋪設的臺階是否適當，主要看它是否能讓學生處于一種“似懂非懂”、“似會非會”、“半生不熟”的狀態。猜想實際上是在新舊知識相互作用的過程中，學生對新知識的嘗試性掌握。教師設計教學情境時，首先，應當在分析新舊知識間的本質聯系與區別的基礎上，緊密圍繞揭示知識間本質聯系這個目的，安排猜想過程，促使學生發現內在規律；其次，應當分析學生已有數學認知結構與新知識之間的關系，并確定同化（順應）模式，從而確定猜想的主要內容；再次，要盡量設計多種啟發路線，在關鍵步驟上放手讓學生猜想，使學生的思維真正經歷概括過程。 概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結論后，教師應當引導學生把概括的結論具體化。這是一個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。在這個過程中，學生的認知結構與新結論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激。 在概括過程中，要重視變式訓練的作用，通過變式，使學生達到對新知識認識的全面性；還要重視反思、系統化的作用，通過反思，引導學生回顧數學結論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數學原理、通性通法的認識；通過系統化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入。 數學的表現方式是形式化的邏輯體系，數學理論的最后確立依賴于根據假定進行抽象概括的能力。因此，教師應當引導學生學會形式抽象，實際上這是一個高層次的概括過程，在這個過程中，學生的邏輯推理能力可以得到很好的培養。 以下課例較好地反映了上述思想（為了節省篇幅，我們只列出提綱）。 課例 平行線的判定（參考成都20中傅自素老師的教案） 引入通過展示日常生活中的實例，引入判定兩直線平行的課題；通過一定的數學問題，讓學生認識到用平行線的定義來判定兩直線平行關系的困難性，從而引起探求新的判斷兩直線平行方法的需求。平行線判定公理的認知 1.用三線八角活動教具（如圖1所示），讓直線a繞點A運動，1的大小隨著改變，請學生觀察在什么位置時有ab。圖12.讓學生用已學會的方法，過直線a外一點A畫已知直線的平行線，并要求學生思考：畫平行線時，“三角板的一邊緊貼直尺移動”的過程中，什么量保持不變？說明：“三線八角”是學生熟悉的幾何圖形，通過運動變化，使學生感受平行線判定公理實際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置，從而為學生自己得出判定公理作了鋪墊。這里滲透了運動變化、特殊與一般相互轉化等數學思想方法。用兩塊三角板畫平行線也是學生熟悉的，由此而讓學生思考“移動過程中的不變量”，滲透了觀察能力的培養，由此也為學生認識“用角的相等判斷直線平行”作了鋪墊。有了這樣的準備，判定公理的得出就“水到渠成”了。）3.請學生用自己的語言敘述出上述過程中發現的規律。（提醒學生注意：判斷兩條直線平行時，用了“轉化”思想，即將判斷平行問題轉化為判斷角相等問題）說明：讓學生用自己的語言敘述規律，是一個歸納概括的過程，這對學生獲得原理是非常重要的。4.同時用圖形語言、文字語言和符號語言表示“平行線判定公理”。 說明：在幾何教學中，“三種語言”結合使用非常重要，特別是要注意“用圖形說話”。5.鞏固性練習：（1）如圖2， 如果1150，2150，ab嗎？為什么？（2）如圖3，C30，當ABE 時，可使BECD。（3）如圖4， 已知12，34。判斷下列推理是否正確，并說明理由。如圖4，12（已知），EMFG。（同位角相等，兩直線平行）如圖4，34（已知），ABCD。（同位角相等，兩直線平行）說明：這里的練習編排具有一定的變化性，其思路是對判定公理的條件、結論的置換，還有是背景圖形的變化在一個相對復雜的變式圖形中應用判定公理，目的是為了強調“同位角相等”這個條件。圖2圖3圖4探究平行線的判定定理1.利用圖形、教具，引導學生觀察、猜想。問：觀察圖形，結合已學過的判定公理和前面學過的有關兩角相等的知識，你能否找出判斷兩條直線平行的新方法？請大家討論一下，提出猜想。說明：這里，教師在猜想的方向上做出了引導，并用語言喚起學生已有認知結構中的相關知識，這樣做有利于學生通過適當的歸納推理的出猜想。 2.驗證猜想，發現證明思路。猜想所獲得的結論不一定正確，也既猜想的正確性需要通過嚴格的邏輯論證。為了尋找證明思路，我們可以先考察一些特殊情況。請同學們畫出兩條直線，使它們與第三條直線相交所得的內錯角為30。測量一下這兩條直線是否平行。再以你自己選定的一個角為內錯角畫出圖形，測量一下它們的位置關系。 結合判定公理，考慮一下它們為什么相等？ 不難發現：由公理知，只要證明23，即有ABCD，而2130（已知），13（對頂角相等），于是330（等量代換），23，ABCD（同位角相等，兩直線平行）。圖5改變2、1的大小，保持12的關系不變，讓學生觀察AB與CD的關系，得出都有ABCD。教師強調：由于不能一一驗證，因此應當進行推理來證明一般情況的正確性。說明：這里，為了使學生獲得經驗，先用具體例子驗證，再通過運動變化將具體推向一般，并引導學生體驗對一般情況進行證明的必要性。這樣的設計體現了對學生的概括活動從具體到抽象的、循序漸進的引導。3.證明猜想，獲得定理。教師引導：所謂證明，實際上就是把要證明的問題轉化為已經成立的公理或定理。現在我們知道哪些判定兩直線平行的方法？（定義、判定公理）那么，能否把“內錯角相等”轉化為“同位角相等”？由上面對具體例子的分析，學生經過一定的思考后不難完成如下證明：12（已知），13（對頂角相等），23（等量代換）。ABCD（同位角相等，兩直線平行）。這樣，我們就把“猜想”變成了“定理”，我們將它稱為平行線判定定理1。這個定理可簡述為“內錯角相等，兩直線平行”。4.練習鞏固，加深理解（略）。 5.思想方法的總結。判定定理1的探討過程是：猜想驗證證明應用這是探索問題的常用方法。在這個過程中我們可以看到，為了解決新的問題，我們常常將它轉化為一個已知的命題來解決。這樣，如何實現轉化就成為解決問題的關鍵。另外，“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”。6.知識遷移，獨立推理。請同學們用證明判定定理1的方法，自己探索一下“兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行”是否成立。學生獨立思考，練習書寫說理過程。綜合應用（略）。課堂小結 1.請同學們回顧一下我們已經獲得的判定兩直線平行的方法。 2.探討過程中用到的思想方法。 上述課例中，教師根據初中一年級學生思維處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉折時期的特點，通過活動教具、作圖等，引導學生操作、觀察，歸納概括而得平行線判定的有關猜想。在此基礎上，通過具體例子引導學生體會證明猜想的方法，并由特殊推向一般、從具體引向抽象，獲得了判定定理1的證明。這個概括過程，先使學生獲得關于推理的一些直接經驗，形象直觀，有操作、有想象、有分析、有歸納，思維經歷了從具體到抽象的過程。在獲得定理的證明后，及時概括相應的數學思想方法，使學生的思維得到及時升華。接著，讓學生用剛剛獲得思想方法去證明其它猜想，從而及時鞏固了學到的知識。由于所有判定定理都是學生自己事先猜想出來的，而猜想的證明也是在教師的引導下學生自己獨立作出的，因此學生從中體驗到了自己也有能力獲得數學定理，這對激發學生的學習愿望，形成數學學習的自信心也是非常有好處的。另外，在教學過程中，教師特別重視了“化歸”這一重要的數學思想方法的滲透，充分利用知識之間的相互聯系性，通過分析、歸納、概括，將要解決的新問題轉化為已經解決的問題，這個過程的實質就是概括。我們相信，通過這樣的教學，長期堅持，潛移默化，學生的觀察、猜想、分析、歸納、概括以及邏輯論證等能力都會得到很好的培養和提高。實踐表明，通過向學生展示各個平行線定理的直觀背景、產生過程及其證明方法的形成過程，學生的思維活動被激活了，通過他們自己主動的思維活動，不但獲得了關于定理的猜想，概括出了定理的證明方法，而且還受到了數學思想方法乃至數學觀念的訓練：從特殊到一般、從簡單到綜合，即一般化和特殊化思想；從直觀到抽象不斷轉化，即化歸思想；運動變化思想等等。另外，在這樣的概括過程中，學生還能體驗到，數學不僅有嚴密的邏輯推理，抽象的演繹論證，在數學理論的產生過程中，也有直觀、猜想、非邏輯性，而且也有合情推理。這種展示了數學活動真實過程的教學情境，使學生有機會看到數學知識的實際背景和抽象過程，使他們有機會開展主動的思維活動，通過自己的猜想、發現來概括數學原理，確實使學生的數學概括能力得到了很好的培養和提高。必須指出的是，概括能力的培養，不論采取何種教學方法（發現法或講授法），關鍵是要有正確的教學思想，使學生真正成為學習的主體，把教學真正建立在學生自己的獨立探索、思考、理解的基礎上，真正給學生以獨立探索的機會，使他們在學習過程中有充分的自由思想空間，使學生有機會經歷數學概括的全過程。但是，在教學實踐中，要做到這些并不容易，教師對學生的學習能力往往并不完全信任，他們總怕學生出錯，總怕學生會浪費時間，總想攙扶著學生，甚至不惜去代替學生思維。而這些做法與培養學生的數學概括能力的要求是背道而馳的，也是與數學學習的本來面目不相符合的。因此，在數學教學中，我們應當從數學概括的自身特點出發，在使用抽象的數學語言和符號表述數學定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學習知識。要為學生創造一種環境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發揮自己的聰明才智進行創造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據，獲得能夠反映自身特點的對數學原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數學原理的概括過程。我們應當把數學當作一種科學探索的過程（當然，它是在教師的指導下進行的），而不要把它當成是一種語言、一種高度抽象的理論。應當努力促使學生形成自己對數學的理解，并能用自己的語言來表達這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學生的數學學習中，精確而沒有理解，理解但不精確的現象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。二、重點放在培養學生的思維品質上 心理學家認為，培養學生的數學思維品質是發展數學能力的突破口。思維品質包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創造性，它們反映了思維的不同方面的特征，因此在教學過程中應該有不同的培養手段。 數學的性質決定了數學教學既要以學生思維的深刻性為基礎，又要培養學生的思維深刻性。數學思維的深刻性品質的差異集中體現了學生數學能力的差異，教學中培養學生數學思維的深刻性，實際上就是培養學生的數學能力。數學教學中應當教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。對于那些容易混淆的概念，如正數與非負數、空集F和集合0、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin(arcsinx)與arcsin(sinx)等等，可以引導學生通過辨別對比，認清概念之間的聯系與區別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數學概念。通過變式教學揭示并使學生理解數學概念、方法的本質與核心。在解題教學中，引導學生認真審題，發現隱蔽關系，優化解題過程，尋找最佳解法等等。 數學思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質、抽象程度越高，其適應的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。因此，數學教學中，應當時刻向學生提出速度方面的要求，另外還要使學生掌握速算的要領。例如，每次上課時都可以選擇一些數學習題，讓學生計時演算；結合教學內容教給學生一定的速算要領和方法；常用的數字，如20以內自然數的平方數、10以內自然數的立方數、特殊角的三角函數值、無理數 、 、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數學公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關公式、對數和指數的有關公式、三角函數的有關公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數和組合數公式、二項式定理、復數的有關公式、斜率公式、直線、二次曲線的標準方程等等，都要做到應用自如。實際上，速算要領的掌握和熟記一些數據、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓練了學生的數學技能，而數學技能的泛化就成為能力。 數學思維功能僵化現象在學生中是大量存在的，這與學生平時所受的思維訓練有很大關系。教師在教學過程中過分強調程式化和模式化；例題教學中給學生