一、24. 某商場經營一批進價為元一件的小商品，在市場營銷中發現此商品的日銷售單價元與日銷售量件之間有如下關系：（1）在圖11的直角坐標系中，根據表中提供的數據描出實數對對應點，并畫出圖象；（2）猜測并確定日銷售量（件）與日銷售單價（元）之間的函數關系式，并求出該函數關系式；x(元) y件)圖10（3）設經營此商品的日銷售利潤為元，求出與之間的函數關系式，并求出當為多少時，才能獲得最大日銷售利潤。25.如圖11，ABC是邊長為2cm的等邊三角形，點P,Q分別從A,C兩點同時出發，做勻速直線運動，且它們的速度都為每秒1cm，已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動。設PQ與直線AC相交于點D,做PEAC,垂足為E。（1）當運動多長時間時，PCQ的面積與ABC的面積相等？CABPEDQ（2）當點P在線段AB上運動時，線段DE的長是否改變？若不改變，求出線段DE的長;若改變，請說明理由。 圖1126已知：拋物線經過點，頂點，(1)求拋物線的解析式；（2）直線與（1）中的拋物線交于點，是拋物線上一點，直線與直線分別交軸于兩點，當點的橫坐標為時，求證：點是線段的中點；FExyO圖12y=8BA當點為拋物線上任一點（與不重合）時，中的結論是否仍成立呢？請說明理由。24解：（1）正確描點連線 1 （2）圖象為一條直線，是的一次函數2 設，代入 解得， 4 驗證：代入均符合，5（3） 6 7 8，開口向下有最大值 9當時，最大為元。 10答：當銷售價為元時，利潤最大為元。.1125（1）做PRBC,交BC于R,由題意可知PR=AP=CQ, 。1 設，則，.。2 ，.。3, ，即，當時，解得(舍去).。4當，方程無解。.。5當的長為時，的面積與的面積相等。.。6 （2）當點運動時，的長不改變。7證明如下： ，即.。8，.。9 ，無論點運動到何處，都有，.。11 當點運動時，的長等于，即的長不改變。.。1226解：（1）頂點為， 代入， （2）在中令， 在中令， 求得, 同理求得, 為中點。 設，設 ，解得 同理 則到的距離均為，且，不重合，為的中點。二、24如圖11，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊，分別在軸，軸的正半軸上，點從點出發，沿軸以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當點到達點時停止運動，設點運動的時間是秒，將線段的中點繞點按順時針方向旋轉得點，點隨點的運動而運動，連接。（1）請用含的代數式表示出點的坐標；（2）求為何值時，的面積最大，最大為多少？（3）在點從向運動過程中，能否成為直角三角形？若能，求的值；若不能，請說明理由；（4）請直接寫出隨著點的運動，點運動路線的長。xyOABCPD圖1125兩地相距360千米，出租車甲和面包車乙分別從兩地同時出發，沿同一條高速公路相向而行，其中出租車甲到達B地后立即返回，面包車乙到達A地后不再出發，它們離各自出發地的距離（千米）與行駛時間（小時）的函數圖像如圖12，圖13所示，根據圖像解答下列問題。（1）求線段對應的函數關系式；（2）當它們行駛到與各自出發地的距離相等時，用了小時，求面包車乙的速度；x(小時)y（千米）O7圖12O圖134360y（千米）x(小時)PQM（3）在（2）的條件下，兩車出發后能相遇兩次嗎？若能，求出相遇時間；若不能，說明理由。26如圖14，在平面直角坐標系中，已知點，以為邊作如圖所示的正方形，頂點在坐標原點的拋物線恰好經過點為拋物線上一動點。（1）直接寫出的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）求點到點的距離與點到軸的距離之差；（4）當點位于何處時，的周長有最小值，并求出的周長的最小值。ABPCDyxO圖1424.解：（1）點P從點O出發，沿軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，設的中點為將線段CP的中點F繞點P按順時針方向秘轉得點（2）當時，S最大=2（3）能夠成為直角三角形當時，即解得：或當時，此時點D在AB上，綜上所述，當時，為直角三角形（4）根據點D的運動路線與平行且相等點運動路線的長為425.解：（1）設過點（3.360）（7.0）1分 解得2分 3分（2）設乙的速度為4分當6分乙的速度為60km/h（3）不能7分第一次相遇，甲從A到B，乙從B到A（小時）當甲到達B地時，所用時間為3小時8分此時，乙行駛360=180（km）9分甲返回的速度為90km/h10分（小時）11分而此時，乙早已到達A12分不能相遇兩次26.解：（1）2分（2）拋物線的頂點為坐標原點設代入3分 4分5分（3）設6分7分到軸的距離為8分點P到點A的距離與點P到軸的距離之差為1（4）過點B作軸的垂線，垂足為E，BE交掃物線于點F當P與點F重合時，此時的周長最小9分軸10分11分的周長最小值為12分三、24一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，勻速行駛，設行駛時間為（小時），兩車之間的距離為（千米），圖12中的折線表示從兩車出發到快車到達乙地過程中，與之間的函數關系式。（1）根據圖中信息，求線段所在直線的函數解析式和甲乙兩地之間距離；（2）已知兩車相遇時，快車比慢車多行駛40千米，若快車從甲地到乙地所需時間為小時，求的值；（3）在（2）的條件下，若快車到達乙地后立即按原速返回甲地，慢車到達甲地后停止行駛，請在圖中畫出快車從乙地返回甲地過程中，關于的函數大致圖像。x（小時）O圖12t701.5225如圖13,14，是等腰直角三角形的斜邊，是上不與重合的一個動點，是線段上的一個點，過且，分別與相交于點，（1）觀察與填空：如圖14，當運動到的中點位置時，與的大小關系式： ；與的位置關系是 ；與的位置關系是 ；與的大小關系是： ，于是當時的中點時，成立。（2）探索與證明：如圖13，當不是的中點時，是否任然成立？請加以證明。ABCMNSP圖13BCMNSP圖14A26已知，如圖15，在中，點，點分別位于的兩條邊上，（1）當直線平分的周長時，設直線與的邊圍成的三角形面積為，求的最大值。（2）是否存在同時平分的周長和面積的直線？說明理由。ACB圖1524解：（1）線段AB所在直線的函數解析式為：ykxb，將（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，-3所以線段AB所在直線的函數解析式為：y140x280，-4當x0時，y280，所以甲乙兩地之間的距離280千米-5（2）設快車的速度為m千米/時，慢車的速度為n千米/時，由題意得：，解得：，-8所以快車的速度為80千米/時，所以-9（3）如圖所示-1125解：(1), , -4(2)當不是中點時，仍然成立， 如圖13，作,分別為垂足， , 由已知及作法，四邊形是矩形，所以-5 在和中， , -6 -7 -8 在和中， 又 -9 又 -10 -11 即ACB圖1EFH-1226（1）, 的周長為12，-1 當如圖1時，設，則, -2 當時，最大，此時，與重合，舍去。-5ACB圖2EFH當如圖2時，設，則, 當時， ，最大為-7ACB圖3EF當如圖3時，設設，則 ，不存在。-9綜上，當,時，最大為。（2）如圖1時，令 ， 當時，同時平分面積和周長。-10如圖2中最大為，不能平分面積；-11如圖3， 不符，舍去。-12四、24.如圖，在平面直角坐標系中，M與x軸交于A、B兩點，AC是M的直徑，過點C的直線交x軸于點D，連接BC，已知點M的坐標為（0，），直線CD的函數解析式為y=x51 求點D的坐標和BC的長；2 求點C的坐標和M的半徑；求證：CD是M的切線25.某文具零售店準備從批發市場選購A、B兩種文具，批發價A種為12元/件，B種為8元/件。若該店零售A、B兩種文具的日銷售量y（件）與零售價x（元/件）均成一次函數關系。（如圖）（1）求y與x的函數關系式；（2）該店計劃這次選購A、B兩種文具的數量共100件，所花資金不超過1000元，并希望全部售完獲利不低于296元，若按A種文具日銷售量4件和B種文具每件可獲利2元計算，則該店這次有哪幾種進貨方案？（3）若A種文具的零售價比B種文具的零售價高2元/件，求兩種文具每天的銷售利潤W（元）與A種文具零售價x（元/件）之間的函數關系式，并說明A、B兩種文具零售價分別為多少時，每天銷售的利潤最大？x元/件y/件5 10 15105第25題圖26.將拋物線c1：y=沿x軸翻折，得拋物線c2，如圖所示.（1）請直接寫出拋物線c2的表達式.（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.yxOc1c2yxO備用圖24解：（1）-2分 (2) 令 -3分 -4分 在 -5分 半徑為-6分（3）在-7分-8分-9分 -10分-11分25.解：（1）由圖象知：當x=10時，y=10；當x=15時，y=5設y=kx+b，根據題意得： ，-1分解得 ， k=-1，b=20 -2分y=-x+20-3分（2）當y=4時，得x=16，即A零售價為16元-4分設這次批發A種文具a件，則B文具是（100-a）件，由題意，得 ，解得48a50，-5分文具的數量為整數，有三種進貨方案，分別是進A種48件，B種52件；進A種49件，B種51件；進A種50件，B種50件-7分（3）w=（x-12）（-x+20）+（x-10）（-x+22），-8分整理，-10分當x=16，w有最大值，即每天銷售的利潤最大-11分26.解：（1）. -2分（2）令，得：，-3分 則拋物線c1與軸的兩個交點坐標為（-1,0），（1,0）.A（-1-m，0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.-4分當時，如圖，. - 6分當時，如圖， . - 8分yxOADBEMN圖yxOADBEMN圖當或2時，B，D是線段AE的三等分點. -9分存在. 理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：.即M，N關于原點O對稱， . -10分， A，E關于原點O對稱， ，四邊形ANEM為平行四邊形. -11分要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足,即， .-12分當時，以點A，N，E，M五、24. 如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PDOB于點D （1）填空：PD的長為 用含t的代數式表示）； （2）求點C的坐標（用含t的代數式表示）； （3）在點P從O向A運動的過程中，PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值若不能，請說明理由；DCPxyOAB （4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為 .xyOAB25（1）.如圖10在等腰直角BAC中，BAC=90，AB=AC,點D為BC邊上任意一點，分別以BD、CD為斜邊向下做等腰直角BDF、等腰直角DCE，連接EF。探究AD、EF的關系，并證明。圖10（2）如圖11，當點D為AC邊上任意一點時，其他條件不變，探究D、EF的關系，并證明。 圖11 26如圖，拋物線經過點A（12，0）、B（4，0）、C（0，12）。頂點為M，過點A的直線ykx4交y軸于點N。（1）求該拋物線的函數關系式和對稱軸；（2）試判斷AMN的形狀，并說明理由；AONDMyExl（圖）AONMyx（備用圖）（3）將AN所在的直線l向上平移。平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點D、E（如圖）。當直線l平移時（包括l與直線AN重合），在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由。xAONCBMy（圖）A24.（1）-2分（2）過C作CEOA于E，可得PCEBPD-4分 求得CE=-5分， PE=，OE=， 因此C（，）-6分（3）當PCA=90時，t=2-8分 當PAC=90時，t=-10分（4）-11分25.（1）相等且垂直 證明：延長ED交AB于G,證明三角形ADG全等于三角形EFD。（1） 相等且垂直 證明：過點D做DH平行于BC,交AB于H .證明三角形BDH相似于三角形DFE.26.解：（1）設拋物線的函數關系式為yax2bxc.拋物線過點C（0，12），c12. 又它過點A（12，0）和點B（4，0）， 解得拋物線的函數關系式為yx22x12. 拋物線的對稱軸為x4. xADONMPQKEyl（2）解法一：在ykx4中，當x0時，y4.ykx4與y軸的交點N（0，4）.yx22x12（x4）216，頂點M（4，16）. AM2（124）2162320，AN212242160.MN242（164）2160.AN2MN2160160320AM2.ANMN. AMN是等腰直角三角形. 解法二：過點M作MFy軸于點F，則有MF4，NF16412，OA12，ON4.MFON，NFOA. 又AONMFN90，AONNFM.MNFNAO，ANMN.NAOANO90，AONDMyExl圖2PKMNA90.AMN是等腰直角三角形.（3）存在.點P的坐標分別為（4，16），（4，8），（4，3），（4，6）（3）參考解答如下：ykx4過點A（12，0）.k直線l與yx4平行，設直線l的解析式為yxb.則它與x軸的交點D（3b，0），與y軸交點E（0，b）.AONDMyExl圖263PKOD3OE.設對稱軸與x軸的交點為K（）以點E為直角頂點如圖1.根據題意，點M（4，16）符合要求；過P作PQy軸.當PDE為等腰直角三角形時，有RtODERtQEP.OEPQ4，QEOD. 在RtODE中，OD3OE，OD12，QE12.OQ8.點P的坐標為（4，8）（）以點D為直角頂點.同理在圖2中得到P（4，6）.在圖3中可得P（4，3）.綜上所得：滿足條件的P的坐標為（4，16），（4，8），（4，3），（4，6）.六、24.閱讀下列材料，然后回答問題。在進行二次根式去處時，我們有時會碰上如，樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：（一）（二）（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化。還可以用以下方法化簡：（四）（1) 請用不同的方法化簡。參照（三）式得_；參照（四）式得_。（2）化簡：。25.如圖，AO=OB=50cm，OC是一條射線，OCAB，一只螞蟻由A以2cm/s速度向B爬行，同時另一只螞蟻由O點以3cm/s的速度沿OC方向爬行，幾秒鐘后，兩只螞蟻與O點組成的三角形面積為450cm2？26.如圖直線l的解析式為yx+4,它與x軸、y軸分相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（0t4）（1）求A、B兩點的坐標；（2）用含t的代數式表示MON的面積S1；（3）以MN為對角線作矩形OMPN,記MPN和OAB重合部分的面積為S2； 當2t4時，試探究S2與之間的函數關系；xylmOAMNBPxylmOAMNBPEF在直線m的運動過程中，當t為何值時，S2 為OAB的面積的？ 24（1），2 ；4（2）原式=7分=9分=-1125.解：圖2成立；圖3不成立2分圖2ADBCEMNF 證明圖2： 過點作 則 再證 有-4 -6 由信息可知 8 圖3不成立，的關系是： 1126.（1）當時，；當時，；2分（2），；4分（3）當時，易知點在的外面，則點的坐標為,點的坐標滿足即，同理，則，6分所以；8分當時，解得兩個都不合題意，舍去；10分當時，解得，綜上得，當或時，為的面積的12分七、24.如圖甲，RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，C點和M點重合，BC和MN在一條直線上，令RtPMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(如圖乙)，直到C點與N點重合為止設移動x秒后，矩形ABCD與PMN重疊部分的面積為ycm2求y與x之間的函數關系式25.在平面直角坐標中，邊長為2的正方形的兩頂點、分別在軸、軸的正半軸上，點在原點.現將正方形繞點順時針旋轉，當點第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉過程中，邊交直線于點，邊交軸于點（如圖）.OABCMN（1）求邊在旋轉過程中所掃過的面積；（2）旋轉過程中，當和平行時，求正方形 旋轉的度數；（3）設的周長為，在旋轉正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結論.26.已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數式分別表示點與的坐標，則； (2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應點恰好落在拋物線上，與軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在