三角形習題精選1、(1) 如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點O,AOF90.求證：BECF.(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,FOH90, EF4.求GH的長.(3) 已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,FOH90,EF4. 直接寫出下列兩題的答案：如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長； 如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數式表示).第23題圖4 (1) 證明：如圖1， 四邊形ABCD為正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如圖2,過點A作AM/GH交BC于M，過點B作BN/EF交CD于N,AM與BN交于點O/，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， ONM EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 2、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最小；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.EA DB CNM解：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.FEA DB CNM即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.當M點落在BD的中點時，AMCM的值最小.如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小理由如下：連接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根據“兩點之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小，即等于EC的長.過E點作EFBC交CB的延長線于F，EBF906030.設正方形的邊長為x，則BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去負值）.正方形的邊長為. 3、已知等邊ABC的邊長為a，則它的面積是DABCP圖(十一)Aa2 Ba2 Ca2 Da24.如圖(十一)，ABC中，有一點P在上移動。若=5， =6，則+的最小值為何？C(A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10 。5、數學活動課上，老師在黑板上畫直線平行于射線AN(如圖)，讓同學們在直線l和射線AN上各找一點B和C，使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形這樣的三角形最多能畫 個 6.圖是一個邊長為的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（ ）圖圖A B C D7、若三角形中最大內角是60，則這個三角形是（）A、不等邊三角形B、等腰三角形C、等邊三角形D、不能確定8、已知一直角三角形的周長是 42，斜邊上的中線長為 2，則這個三角形的面積是()A、5B、3C、2D、19、BE、CD是ABC的高，F是BC邊的中點，求證：DEF是等腰三角形。10、一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，這時測得BD的長為0.5米，求梯子頂端A下滑了多少米？11、如圖4，四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）A2B3CD12、長度為2、3、4、5的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是_.13、某小區現有一塊等腰直角三角形形狀的綠地，腰長為100米，直角頂點為A小區物業管委會準備把它分割成面積相等的兩塊，有如下的分割方法：方法一：在底邊BC上找一點D，連接AD作為分割線；方法二：在腰AC上找一點D，連接BD作為分割線；方法三：在腰AB上找一點D，作DEBC，交AC于點E，DE作為分割線；方法四：以頂點A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于點D，交AC于點E，弧DE作為分割線這些分割方法中分割線最短的是（A）方法一 （B）方法二 （C）方法三 （D）方法四答案：A14、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積答案：第 9 頁 共 9 頁情況1：銳角（1）證明ADEAFC （2）得到CF=24 （3）SABC=480 情況2：鈍角（1）證明BDEBFA （2）得到AF=24，BC=64 （3）SABC=768 15、為了讓州城居民有更多休閑和娛樂的地方，政府又新建了幾處廣場，工人師傅在鋪設地面時，準備選用同一種正多邊形地磚.現有下面幾種形狀的正多邊形地磚，其中不能進行平面鑲嵌的是A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五邊形 D. 正六邊形16、剪四個同樣大小的等邊三角形拼成一個四邊形，該四邊形為 _ 17、剪四個同樣大小的等邊三角形拼成一個三角形，該三角形為_ 18、如圖，已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，ABC的高為h在圖（1）中， 點P是邊BC的中點，此時h3=0，可得結論：在圖（2）-（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、ABC內、ABC外（1）請探究：圖（2）-（5）中， h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）（2）證明圖（2）所得結論；（3）證明圖（4）所得結論（4）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，B=C=60o， RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為： ；圖（4）與圖（6）中的等式有何關系？FABCDEPM(4)ABCDEPM(3)ABCDEPM(2)ABCDEM(P)(1)ABCDEPM(5)FABCDEPM(6)RS解：（1）圖 中的關系依次是：h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h （2）圖中，h1+h2+h3=h證法一： h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0， h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o=BCsin60o=ACsin60o=h 證法二：連結AP， 則SAPB+SAPC=SABC 又 h3=0，AB=AC=BC， h1+h2+h3=h （3）證明：圖中，h1+h2+h3=h過點P作RSBC與邊AB、AC相交于R、S 在ARS中，由圖中結論知：h1+h2+0=h-h3 h1+h2+h3=h 說明：（2）與（3）問，通過作輔助線，利用證全等三角形的方法類似給分 （4）h1+h3+h4= 讓R、S延BR、CS延長線向上平移，當n=0時，圖變為圖，上面的等式就是圖中的等式，所以上面結論是圖中結論的推廣 利用直角三角形斜邊上的中線性質解題：例1已知：如圖1，四邊形ABCD中，ABCADC90，E是AC的中點，EF平分BED求證：EFBD分析要證EFBD，在EF平分BED的揭示下，只需證BEDE，然后利用等腰三角形的“三線合一”定理即證證明因為ABCADC90，所以ABC和ADC都是直角三角形，且有公共斜邊AC，又因為E是公共斜邊AC的中點，所以BEDEAC，在等腰EBD中，因為EF平分BED，所以由等腰三角形的“三線合一”定理知EFBD圖1ABDCEF說明這里在求證問題時抓住了AC是公共斜邊這一圖形特征，所以在許多幾何證明時，一定要注意發揮圖形的作用例2已知：如圖2，點E在ABCD的邊CD的延長線上，且AEBD，EFBC，F是垂足求證：DFCEEABFCD圖2分析由于DF和CE在同一個直角三角形中，所以在證明 DFCE，只需證明D是斜邊CE的中點即可，而事實上，有條件可知四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形，于是問題即證證明在ABCD中，因為ABCD，即ABDE，而AEBD，所以四邊形ABDE是平行四邊形，所以DEAB，又因為CDAB，所以CDDE，即D是CE邊的中點，HGEFDCAB圖3因為EFBC，所以可知EFC是直角三角形，在RtEFC中，因為DF是斜邊CE的中線，所以DFCE說明要證明線段的倍半關系除了尋求直角三角形中的30外，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半也是常用的一種方法例3已知：如圖3，mn，點A、D在直線m上，點B、C在直線n上，且ABCD，E、F分別是AD、BC的中點，BGAC，DHAC，G、H是垂足求證：EF與GH互相平分分析要證明EF與GH互相平分，只需證四邊形EGFH是平行四邊形由于圖中有平行四邊形和“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的基本圖形，所以可考慮通過證明EHGF且EHGF來解決問題證明因為mn，ABCD，所以ADBC，在RtBCG中，因為BFCF，所以GFBCCF，所以FGHACB同理EHADAE，EHGCAD，所以FGHEHG所以EHGF且EHGF，所以四邊形EGFH是平行四邊形，所以EF與GH互相平分說明在復雜的圖形中識別、分解或勾畫出證明所需要的基本圖形是解決幾何問題的關鍵本題就是分別從大的平行四邊形、兩個直角三角形、兩個等腰三角形和一個小的平行四邊形入手的，才使問題簡潔獲解例4已知：如圖4，在ABC中，ABAC，BD平分ABC，DEBD，垂足為D，DE交BC于點E求證：CDBE圖5ABCEGFOD分析由于BE是RtBDE的斜邊，于是聯想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，故取BE的中點F，連結DF，只需證明CDDF即可使問題解決BCFDEA圖4證明取BE的中點F，連結DF在RtBDE中，因為BFEF，所以DFBFBE，所以CBDBDF，所以CFDCBD+BDF2CBD，因為ABC2CBD，所以CFDABC，又ABAC，所以ABCC，即CFDC，所以CDDF，所以CDBE說明直角三角形斜邊上的中線把這個三角形分成兩個等腰三角形，這一特征在直角三角形的有關問題中常常用到，要引起注意例5已知：如圖5，ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，EFAC，O是垂足，EF分別交AB、CD于點E、F，且BEOEAE求證：ABCD是矩形分析要證ABCD是矩形，只要證ACBD或OAOB即可由BEOEAE，可作出RtAOE斜邊上的中線OG，這樣可證得AOGBOE，于是證得OAOB證明取AE的中點G，連結OG，所以RtAOE中，OGAEAG，因為BEOEAE，所以OEOG，AGBE，即OGEOEG，所以AGOOEB，所以AGOBEO，所以OAOB，又四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC2OA，BD2OB，即ACBD，所以ABCD是矩形19. 三邊長分別為的三角形是_三角形20. 已知中，AB=12，BC=9，那么當AC2= _時，是直角三角形21.要使三條線段3a1,4a+1,12a能組成一個三角形求a的取值范圍。22.ABC中，ABC，2C=5A，求B的取值范圍 解：根據題意，得得C=(180B)，A(180B)(180B)B(180B)40B7523如圖,在四邊形ABCD中,BC=DC,AC平分BAD,CEAB,CFAD,E、F為垂足,若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的長.24如圖，在ABC中，A90，且AB=AC，BE平分ABC交AC于F，過C作BE的垂線交BE于E，求證：BF=2CE10.如圖，ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，AE=BD，連結EC、ED，求證：CE=DE25.如圖，ABC中，過A分別作ABC, ACB的外角的平分線的垂線AD,AE,D,E為垂足；求證（1）ED|BC（2）ED=（AB+AC+BC）；（3）若過A分別作ABC，ACB的平分線的垂線AD，AE，垂足