2012201220122012 年經(jīng)濟類聯(lián)考綜合數(shù)學部分真題年經(jīng)濟類聯(lián)考綜合數(shù)學部分真題 二 數(shù)學單項選擇題 本大題共二 數(shù)學單項選擇題 本大題共 10101010 小題 每小題小題 每小題 2 2 2 2 分 共分 共 20202020 分 分 21 函數(shù) 1ln ln xxxf 的定義域是 A 1 B 0 C 1 D 1 0 22 極限 x xx x x sin 11 sinlim 0 A 1B 0C 1 D 不存在 23 設 2 arcsin xxf 則 xf A 2 1 1 x B 2 1 2 x x C 4 1 1 x D 4 1 2 x x 24 0 x是函數(shù) xx exf 2 的 A 零點B 駐點C 極值點D 非極值點 25 不定積分 xdxxcossin不等于 A Cx 2 sin 2 1 B Cx 2sin 2 1 2 C Cx 2cos 4 1 D Cx 2 cos 2 1 26 設 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 則 I J的大小關系是 A JIC JI D JI 27 設矩陣 21 12 A E為單位矩陣 2BABE 求B A 1 1 11 B 11 11 C 11 1 1 D 1 1 1 1 28 設向量組 123 線性無關 124 線性相關 則 A 1 必可由 234 線性表出 B 2 必可由 134 線性表出 C 3 必可由 124 線性表出 D 4 必可由 123 線性表出 29 設 隨 機 變 量 X Y服 從 正 態(tài) 分 布 16 25 X NY N 記 12 4 5 pP XpP Y 則 A 只有 的個別值 才有 12 pp B 對任何實數(shù) 都有 12 pp 30 設隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布 若 1 2 1E XX 則參數(shù) A 3B 1C 1D 2 三 數(shù)學計算題三 數(shù)學計算題 31 3931 3931 3931 39 本大題共 本大題共 9 9 9 9 小題 共小題 共 50505050 分 分 31 求極限 x ee xx x cos1 2 lim 0 32 求定積分dx x x e 1 ln1 33 已知函數(shù) 2 1 xxxf x 求 fx 34 求函數(shù)11232 23 xxxxf的極值 35 求由方程 arctan zyxxyz 的隱函數(shù) yxzz 的 x z 和 y z 36 求矩陣 120 340 005 A 的伴隨矩陣 A 37 求線性方程組 123 123 123 44 24 416 xxx xxx xxx 的通解 38 設三次獨立試驗中事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p 已知A至少發(fā)生一次的概 率為 19 27 求p 39 設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為 2 0 0 01 1 1 x F xAxx x 求 1 常數(shù)A 2 X的密度函數(shù) f x 3 11 53 PX 01 0 x x 可得 1 0 x 22 極限 x xx x x sin 11 sinlim 0 A 1B 0C 1 D 不存在 答案 答案 A 考點分析 考點分析 本題考查第一個重要極限 無窮小的性質以及極限的四則運算 解析 解析 x xx x x sin 11 sinlim 0 x xx x xx sin 1 lim 1 sinlim 00 由 重 要 極 限 可 知 0 1 limsin1 x x x 由 于 0 lim0 x x 同 時 1 sin x 為 有 界 函 數(shù) 可 知 0 1 lim sin0 x x x 故原式1 故選A 23 設 2 arcsin xxf 則 xf A 2 1 1 x B 2 1 2 x x C 4 1 1 x D 4 1 2 x x 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查初等函數(shù)的求導公式以及復合函數(shù)求導法則 解析 解析 xxfarcsin 4 1 2 x x 24 0 x是函數(shù) xx exf 2 的 A 零點B 駐點C 極值點D 非極值點 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查函數(shù)的零點 駐點以及極值點的定義和相互關系 解析 解析 由于 xx exf 2 恒正 故函數(shù) f x無零點 又由于 2 21 xx fxxe 0 0fe 故0 x不是是函數(shù) f x的駐點 而可導函 數(shù)的極值點必為駐點 可知0 x也不是函數(shù) f x的極值點 故選D 25 不定積分 xdxxcossin不等于 A Cx 2 sin 2 1 B Cx 2sin 2 1 2 C Cx 2cos 4 1 D Cx 2 cos 2 1 答案 答案 B 考點分析 考點分析 本題考查不定積分及原函數(shù)的定義 解析 解析 由于 22 111 sincos2cossincos 242 xxxxx 由不定積分的定 義 可 知 A C D都 可 以 作 為 不 定 積 分 xdxxcossin的 計 算 結 果 而 2 1 sin 22sin2 cos2sincos 2 xxxxx 可知 xdxxcossin不等于Cx 2sin 2 1 2 故 選B 26 設 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 則 I J的大小關系是 A JIC JI D JI 答案 答案 C 考點分析 考點分析 本題考查定積分的不等式性質 解析 解析 由于當0 4 x 時 2 sincos 2 xx 可知lnsinlncosxx 故由定積 分的不等式性質可知 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 27 設矩陣 21 12 A E為單位矩陣 2BABE 則B A 1 1 11 B 11 11 C 11 1 1 D 1 1 1 1 答案 答案 B 考點分析 考點分析 本題考查逆矩陣的計算以及矩陣方程的求解 解析 解析 由于 11 1 1 AE 故 20AE 所以AE 可逆 1 1111 11 2 AEAE AE 所以 1 11 2 2 2 11 BABEB AEEBAE 28 設向量組 123 線性無關 124 線性相關 則 A 1 必可由 234 線性表出 B 2 必可由 134 線性表出 C 3 必可由 124 線性表出 D 4 必可由 123 線性表出 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查向量組線性表出以及線性相關性的性質 解析 解析 向量組 123 線性無關 根據(jù)性質 整體無關 部分無關 可知 12 線性 無關 又 124 線性相關 所以 4 可由 12 線性表出 所以 4 也可以由 123 線 性表出 29 設 隨 機 變 量 X Y服 從 正 態(tài) 分 布 16 25 X NY N 記 12 4 5 pP XpP Y 則 A 只有 的個別值 才有 12 pp B 對任何實數(shù) 都有 12 pp 答案 答案 C 考點分析 考點分析 本題考查正態(tài)分布的常用性質 解析 解析 由 16 25 X NY N 有 0 1 0 1 45 XY NN 1 4 11 4 X pP XP 2 5 111 5 Y pP YP 其中 x 為標準正態(tài)分布的分布函數(shù) 由于標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關于y軸對稱 故 1xx 所以 12 pp 30 設隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布 若 1 2 1E XX 則參數(shù) A 3B 1C 1D 2 答案 答案 C 考點分析 考點分析 本題考查數(shù)字特征的運算性質以及常見隨機變量的期望與方差 解析 解析 由于 XP 故EXDX 可得 2 22 E XEXDX 再由 22 1 2 1 32 1 321E XXE XXE XEX 可得 2 2 10 解得 1 三 數(shù)學計算題 31 39 本大題共 9 小題 共 50 分 31 求極限 x ee xx x cos1 2 lim 0 考點分析 考點分析 本題考查等價無窮小和洛必達法則 解析 解析 x ee xx x cos1 2 lim 0 2 2 lim 2 0 x ee xx x x ee xx x 0 lim 2 1 11 lim 0 x 32 求定積分dx x x e 1 ln1 考點分析 考點分析 本題考查定積分的第一換元法 解析 解析 dx x x e 1 ln1 xdx e lnln1 1 e x 1 2 3 ln1 3 2 12 3 2 2 3 33 已知函數(shù) 2 1 xxxf x 求 fx 考點分析 考點分析 本題考查復合函數(shù)求導法則以及冪指函數(shù)導數(shù)的計算 解析 解析 2 1 x fxxx ln2 1 xx ex ln 2 ln1 1 xx x ex x 34 求函數(shù)11232 23 xxxxf的極值 考點分析 考點分析 本題考查求一元函數(shù)的求極值的方法 解析 解析 求函數(shù)的一階導數(shù) 2 6612fxxx 并令其為零可得1 2xx 再求函數(shù)的二階導 126fxx 1 180 2 180ff 故函數(shù)在1x 處取得極小值 在2x 處取得極大值 故 621ff 極小值極大值 35 求由方程 arctan zyxxyz 的隱函數(shù) yxzz 的 x z 和 y z 考點分析 考點分析 本題考查多元隱函數(shù)偏導數(shù)的計算 解析 解析 對方程 arctan zyxxyz 兩邊同時求偏導 并注意到 yxzz 可得 2 1 1 z z x yzxy x xyz 整理可得 2 2 1 1 yzyz xyzz x xyxy xyz 由x和y的對稱性可得 2 2 1 1 xzxz xyzz y xyxy xyz 36 求矩陣 120 340 005 A 的伴隨矩陣 A 考點分析 考點分析 本題考查伴隨矩陣的性質及計算方法 解析 解析 方法一 直接計算 1 1 11 40 120 05 A 1 2 12 30 115 05 A 1 3 13 34 10 00 A 2 1 21 20 110 05 A 2 2 22 10 15 05 A 2 3 23 12 10 00 A 3 1 31 20 10 40 A 3 2 32 10 10 30 A 3 3 32 12 12 34 A 則 112131 122232 132333 20100 1550 002 AAA AAAA AAA 方法二 先計算 1 A 對 A E作初等變換可得 120100120100 340010020310 005001005001 100210 100210 31 0203100100 22 005001 1 00100 5 故 1 210 31 0 22 1 00 5 A 又 120 12 340 52 510 34 005 A 所以 1 210 20100 31 1001550 22 002 1 00 5 AA A 37 求線性方程組 123 123 123 44 24 416 xxx xxx xxx 的通解 考點分析 考點分析 本題考查非齊次線性方程組通解的計算 解析 解析 對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換 1144111111111003 1124022801140114 141160552000000000 所以 該線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩 但小于未知量的個數(shù) 故方程組有 無窮多解 原方程組的等價方程組為 1 23 3 4 x xx 即 1 23 33 3 4 x xx xx 所以原方程組的通解為 303 414 10 kk k 其中k為任意常數(shù) 38 設三次獨立試驗中事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p 已知A至少發(fā)生一次的概 率為 19 27 求p 考點分析 考點分析 本題考查獨立重復試驗以及二項分布的定義與性質 解析 解析 由題意知 pP A 設隨機變量X為三次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) 則 3 XBp 則 0033 3 19 1 1 0 1 1 1 1 27 P XP XC ppp 解得 1 3 p 39 設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為 2 0 0 01 1 1 x F xAxx x 求 1 常數(shù)A 2 X的密度函數(shù) f x 3 11 53 PX 考點分析 考點分析 本題考查分布函數(shù) 密度函數(shù)的定義性質以及常見的公式 解析 解析 1 由于X為連續(xù)型隨機變量 所以其分布函數(shù) F x為連續(xù)函數(shù) 故 F x應在1x 處連續(xù) 又 1 0 1 1FA F 所以1A 2 0 0 01 1 1 x F xxx x 2 2 01 0 xx f xF x 其他 3 11111116 0 5335925225 PXFF 2011201120112011年經(jīng)濟類聯(lián)考綜合數(shù)學部分真題年經(jīng)濟類聯(lián)考綜合數(shù)學部分真題 二 數(shù)學單項選擇題 本大題共二 數(shù)學單項選擇題 本大題共 10101010 小題 每小題小題 每小題 2 52 52 52 5 分 共分 共 25252525 分 分 21 設 2 arccosf xx 則 fx A 2 1 1x B 2 2 1 x x C 4 1 1x D 4 2 1 x x 22 不定積分 2 1xx dx A 2 1xC B 3 2 1 1 3 xC C 2 1xxC D 3 2 1 1 3 xxC 23 函數(shù) 32 69f xxxx 那么 A 1x 為 f x的極大值點B 1x 為 f x的極小值點 C 0 x 為 f x的極大值點D 0 x 為 f x的極小值點 24 設函數(shù) f x在開區(qū)間 a b內有 0fx 且 0fx m是大于1的整數(shù) 則必有 A T T T T TTTTTTTT AB A BAB A BAB A BAB A BB m mm AB A BAB A BAB A BAB A B C TTTTTTTTTTTT AB ABAB ABAB ABAB ABD A B A BA B A BA B A BA B A B 27 設線性無關的向量組 1234123412341234 可由向量組 12s12s12s12s 線性表示 則必有 A 12s12s12s12s 線性相關B 12s12s12s12s 線性無關 C 4s D 4s 28 若線性方程組 123 123 231 243 xxx xxkx 無解 則k A 6B 4C 3D 2 29 設隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 若 2 72E X 則參數(shù) A 6B 3C 1 3 D 1 6 30 設隨機變量X的分布函數(shù) 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 求隨機變量X的 概率密度 37 設隨機變量服從正態(tài)分布 1 2N Y服從泊松分布 2P 求期望 23EXY 38 求齊次線性方程組 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 的全部解 要求用基礎解系表示 39 確定k為何值時 矩陣 100 10 011 k A A A A可逆 并求逆矩陣 1 1 1 1 A A A A 第二節(jié)第二節(jié)真題解析真題解析 二 數(shù)學單項選擇題 本大題共 10 小題 每小題 2 分 共 20 分 21 設 2 arccosf xx 則 fx A 2 1 1x B 2 2 1 x x C 4 1 1x D 4 2 1 x x 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查導數(shù)計算的復合函數(shù)求導法則 解析 解析 根據(jù)復合函數(shù)求導法則 2 24 2 12 1 1 x fxx x x 故選 D 22 不定積分 2 1xx dx A 2 1xC B 3 2 1 1 3 xC C 2 1xxC D 3 2 1 1 3 xxC 答案 答案 B 考點分析 考點分析 本題考查不定積分計算的第一類換元法 湊微分法 解析 解析 根據(jù)換元法 2 1xx dx 22 1 11 2 x dx 令 2 1tx 則原積分變 為 1 2 tdt 1 2 1 2 t dt 3 2 1 2 2 3 tC i 3 2 1 3 tC 故 2 1xx dx 3 2 2 1 1 3 xC 故選 B 23 函數(shù) 32 69f xxxx 那么 A 1x 為 f x的極大值點B 1x 為 f x的極小值點 C 0 x 為 f x的極大值點D 0 x 為 f x的極小值點 答案 答案 B 考點分析 考點分析 本題考查函數(shù)極值與導數(shù)的關系 解析 解析 根據(jù)極值點的判別定理 本題中 2 3129fxxx 由 0fx 得兩個駐點 1x 或3x 由 160f 知 1x 為 f x的極小值點 在0 x 處 由于 00f 可知0 x 不為 f x的極值點 故選 B 24 設函數(shù) f x在開區(qū)間 a b內有 0fx 且 0fx 則 yf x 在 a b內 A 單調增加 圖像上凹B 單調增加 圖像下凹 C 單調減少 圖像上凹D 單調減少 圖像下凹 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查函數(shù)的單調性與凹凸性 解析 解析 根據(jù)單調性定理 0fx 故函數(shù) yf x 在 a b內單調減少 根據(jù)函數(shù) 凹凸性與二階導數(shù)的關系 0fx m是大于1的整數(shù) 則必有 A T T T T TTTTTTTT AB A BAB A BAB A BAB A BB m mm AB A BAB A BAB A BAB A B C TTTTTTTTTTTT AB ABAB ABAB ABAB ABD A B A BA B A BA B A BA B A B 答案 答案 C 考點分析 考點分析 本題考查矩陣及行列式的運算法則 解析 解析 由轉置及矩陣乘法的運算法則可知 T T T T TTTTTTTT AB B AAB B AAB B AAB B A 故 A 錯誤 一般來說 矩 陣乘法不滿足交換律 也即AB BAAB BAAB BAAB BA不一定成立 2 2 2 2 AB ABABAB ABABAB ABABAB ABAB不一定等于 22222222 A BA BA BA B 可知 B 錯誤 在行列式的運算法則中 A B A BA B A BA B A BA B A B一般也不成立 可知 D 錯誤 行列式的運算法則可知 TTTTTTTTTTTTTTTT AB A B ABAB A B ABAB A B ABAB A B AB 故選 C 27 設線性無關的向量組 1234123412341234 可由向量組 12s12s12s12s 線性表示 則必有 A 12s12s12s12s 線性相關B 12s12s12s12s 線性無關 C 4s D 4s 答案 答案 C 考點分析 考點分析 本題考查向量的線性表出和線性相關性 解析 解析 由定理可知 若向量組 t12121212 可以由向量組 s12121212 線性表出 且 t12121212 線性無關 則有ts 故選 C 28 若線性方程組 123 123 231 243 xxx xxkx 無解 則k A 6B 4C 3D 2 答案 答案 A 考點分析 考點分析 本題考查線性方程組有解的條件 解析 解析 對增廣矩陣做初等行變換得 12311231 2430062kk 由于線性 方程組無解 可知最后一個方程必為矛盾方程 123 000 xxxd 可知6k 故選 A 29 設隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 若 2 72E X 則參數(shù) A 6B 3C 1 3 D 1 6 答案 答案 D 考點分析 考點分析 本題考查常見隨機變量的數(shù)字特征 解析 解析 2 2 72E XD XEX 因為 XE 所以 1 EX 2 1 DX 代入得 1 6 選 D 30 設隨機變量X的分布函數(shù) 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 得到單調增區(qū)間為 1 01 由 0fx 得到單調減區(qū)間為 10 1 由 0fx 得到駐點0 1 1xxx 又 040f 故 0 1f 為極大值 1 1 0ff 為極小值 32 計算定積分 1 2 0 56 dx xx 考點分析 考點分析 本題考查定積分的計算 解析 解析 111 22 2 11 000 9 ln2ln3ln 56238 dxdxdx xx xxxx 33 設 cos2fxxx 且 02f 求 f x 考點分析 考點分析 本題考查原函數(shù)與導數(shù)的概念以及不定積分的計算 解析 解析 2 cos2sinfx dxxx dxxxC 故 2 sinf xxxC 又 02f 得 C 2 故 2 sin2f xxx 34 設 zz x y 是由方程0 xyzxyz 所確定的隱函數(shù) 求 z x 和 z y 考點分析 考點分析 本題考查隱函數(shù)求導 解析 解析 對方程0 xyzxyz 等號兩邊同時關于 x 求偏導得 10 zz yzxy xx 整理得到 1 1 zyz xxy 同理得 1 1 zxz yxy 35 已知某函數(shù)的需求函數(shù)為10 5 Q P 成本函數(shù)為502CQ 求產量為多少時利潤 最大 考點分析 考點分析 本題考查導數(shù)的經(jīng)濟學應用以及函數(shù)最值的計算 解析 解析 收益 需求 價格 故本題中的收益為10 5 Q Q 而利潤 收益 成本 故本題中的利潤為 2 10502850 55 QQ F QQQQ 求導可得 2 8 5 Q F Q 令 0F Q 可得20Q 又當20Q 當20Q 時 0F