24.2.2 切線的判定和性質（一）珠海市夏灣中學 林仕堯一、教材分析1本節教材所處的地位和作用切線的判定和性質的教學在平面幾何乃至整個中學數學教學中都占有重要地位和作用：除了在證明和計算中有著廣泛的應用外，它也是研究三角形內切圓的作法，弦切角定理、切線長定理以及后面研究兩圓的位置關系和正多邊形與圓的關系的基礎，所以它是圓這一章的重要內容，也可以說是本章的核心。除了要求學生能夠較靈活地運用有關知識解題外，還要求學生掌握一些解題技巧，在培養學生的邏輯思維能力和綜合運用知識解決問題的能力方面也起了重要作用。2教學內容：切線的判定定理及其應用。3教學目標知識目標：使學生掌握圓的切線的三種判定方法，并能應用它們解決有關問題；能力目標：引導學生通過觀察圖形，探索規律，培養學生獨立分析問題和解決問題的能力.思想目標：通過學生動腦想、動口說、動手操作，培養學生學習主動性和積極性。4、教學重點、難點和關鍵重點是切線的判定定理；而切線的判定定理的應用是教學的難點。教學的關鍵在于使學生分清定理的題設和結論并能正確作出輔助線。二、教法分析結合中考評卷的根據本節課的內容和學生的認知水平，我主要采用“教師引導，學生探究、發現”的教學方法，通過設置多個讓學生動手實踐的環節去引導、啟發學生發現問題、解決問題。體會，我認為教學時要把握好以下幾點：（1）切線判定定理中的兩個條件缺一不可。（2）證明直線與圓相切時，要注意糾正沒有證明即先說某點是切點的錯誤。（3）切線的判定定理和性質定理容易混淆，要使學生分清判定定理的題設和結論，注意在什么情況下用判定定理（4）提高學生分析能力，歸納這一小節的主要知識，即圓的切線的判定方法及常用的輔助線作法。三、學法指導教師要預見到學生在學習過程中可能出現的問題并想好相應的對策。根據平面幾何的特點，盡量讓學生在動口說、動腦想、動手操作中獲得更多的參與機會，從中學會分析、解決問題的方法。本節是定理的教學，我認為要指導學生做好如下兩方面的工作：（1）學習定理一定要注重對基本圖形的把握，理解和靈活運用定理是證題的基礎，這正是學生感到困難的地方。從幾何定理的特征出發，要解決這個難題，就要下功夫把定理內容和相應的基本圖形建立起聯系，做到“由性想圖”“由圖想性”，使定理在頭腦中活靈活現出來；（2）常見的輔助線一定要了解，本節添加輔助線的關鍵在于“已知條件中是否明確了直線和圓的公共點”。四、教學流程圖(7個環節)創設情景，誘發動機（3分鐘）觀察探究，形成結論（7分鐘） 應用定理，強化訓練 （10分鐘）整合思維，形成能力（5分鐘） 鞏固練習，提升效果（10分鐘）布置作業，形成創新（2分鐘） 課堂小結，全面總結（3分鐘） 五、教學程序：1、 創設情景，誘發動機(投影)根據下圖，回答以下問題(1)圖(1)、圖(2)、圖(3)中的直線分別和O是什么關系？ （1） （2） （3）(2)在上圖中，哪個圖中的直線是圓的切線?你是怎樣判定的？還有更好的判定方法嗎？【設計意圖】因為相切是直線和圓的三種位置關系中重點研究的內容，所以通過在學生已有的知識結構上提出問題，復習鞏固直線和圓的三種位置關系、定義、性質和判定，達到“溫故而知新”的目的。（順勢引出課題）2、觀察探究，形成結論（投影）觀察下面兩個圖形并回答問題。（1）圖4中的三條直線均與半徑OA垂直，當垂足在什么位置時，直線為O切線？為什么？（2） 圖5中的兩條直線均過O半徑OA的外端點A，直線與OA成什么角時，直線與O相切？為什么？OAOA 圖4 圖5（3） 你能根據以上兩個問題的啟發：過圓上一點作出圓的切線嗎？（一名學生板演，其余學生下面作圖）【設計意圖】通過以上問題的設置（垂足在什么位置？直線與半徑成什么角），使學生對判定定理中兩個條件的必要性形成強烈的刺激。符合教學論中的直觀性原則。教師此時可提問：回顧你的作圖過程，切線l是如何作出來的?它必須滿足哪些條件?學生容易得出：“經過半徑外端；垂直于這條半徑”順勢引導學生得出：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，即：圓的切線的判定定理。教師強調：在切線的判定定理中，經過半徑的外端垂直于這條半徑。兩個條件缺一不可。OA3、應用定理，強化訓練：BACODE 例已知：梯形ABCD中，ABCD，A=90，BC是O直徑。（1） 若AD經過O上的點E，且AE=ED，求證：AD與O相切；（2） 若BC=CD+AB，求證：AD與O相切；【設計意圖】在歷年的中考題中，源于梯形的題屢見不鮮，此題是比較經典的一道題。稍做了一下改動，把課本的例1融合到此題中，使兩種常見的輔助線在兩個小題中得以展現，讓學生更深刻地體會到因條件的改變而引起的解題思路的變化：在第（1）小題中明確了直線與圓有公共點，思路是“連結半徑證垂直”；第（2）小題中沒有明確公共點，思路是“過圓心作垂線段垂直于直線，證明它是半徑”。（學生在教師引導下共同完成此題的證明）4、整合思維，形成能力學生討論 例題中（1）、（2）小題輔助線的作法是否相同?有什么規律嗎? 【設計意圖】通過強烈的對比，使學生在圖形的運動變化中探索作輔助線的規律。在學生討論的基礎上，教師引導學生得出：（1） 當已知公共點時，連結半徑證垂直，（2）當沒有明確公共點時，過圓心作垂線段垂直于已知直線，證半徑。教師要提醒學生認清基本圖形，審清題意！學生討論 到目前為止，你學習了幾種判定圓的切線方法？【設計意圖】通過討論、總結，培養學生的動腦想、動口說的能力，使學生在圖形的運動變化中探索規律，掌握規律。引導學生得出： 根據切線的定義：與圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線。根據數量關系：與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。利用圓的切線判定定理 ：經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑盾線是圓的切線。教師強調：以上三種判定圓的切線的方法中，定義很少用，主要用后兩種判定方法，（1）當已知直線與圓有公共點時，采用方法3：連結半徑證垂直；（2）當不知道直線是否與圓有公共點時，采用方法2：過圓心作直線的垂線段，證明圓心到直線的距離等于半徑。5、鞏固練習，提升效果：快速搶答：判斷下列命題是否正確.(投影打出) (1)經過半徑外端的直線是圓的切線.（ ） (2)垂直于半徑的直線是圓的切線.（ ） (3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（ ） (4)和圓有一個公共點的直線是圓的切線.（ ） (5)以等腰三角形的頂點為圓心，底邊上的高為半徑的圓與底邊相切.（ ）【設計意圖】通過快速搶答，檢查、反饋學生對本節知識的掌握情況。證明題教科書9192頁練習1、2題（靈活根據時間安排題量）6、課堂小結，全面總結：（1） 圓的切線的判定定理（2）圓的切線的三種判定方法；（3）常見輔助線的做法.（2）7、布置作業，形成創新：（1）教科書習題7.3A組第4、5題（2）小論文：閱讀課本96頁“讀一讀”的內容：“為什么車輪做成圓的？”，并以此為切入點，結合你所學過的數學知識、物理知識等，充分利用工具書和網絡資源，從不同角度進行闡述，8001000字，優秀作品將發獎品并展出。【設計意圖】車輪是生活中最常見的物體之一，通過對這個問題的研究，讓學生體會“處處留心皆學問”的道理，使學生有廣闊的發揮空間，容易調動學生學數學、用數學的熱情。課題：切線的判定定理一、 直線和圓的位置關系：（1） 相交=dr（3） 相切=d=r二、 切線的判定定理：經過半徑外端點，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（1）經過半徑外端（2）垂直于這條半徑兩個條件