空間幾何體的結構特征及三視圖和直觀圖適用學科數學適用年級高二適用區域新課標課時時長（分鐘）60知識點柱、錐、臺、球的結構特征簡單祝賀體的結構特征三視圖直觀圖教學目標1、通過本課訓練，進一步理解和掌握簡單幾何體與三視圖和直觀圖的有關概念、常見題型 及解法； 2、培養和訓練學生識別、選擇、作圖、運用及空間想象的能力。教學重點柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征及性質教學難點柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征及性質教學過程一、復習預習教師引導學生復習上節內容，并引入本節課程內容二、知識講解考點/易錯點1 多面體的結構特征多面體結構特征棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分考點/易錯點2 旋轉體的形成幾何體旋轉圖形旋轉軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線考點/易錯點3 簡單組合體簡單組合體的構成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉體、旋轉體與旋轉體的組合體考點/易錯點4 平行投影與直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半考點/易錯點5 三視圖幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線三、例題精析【例題1】【題干】如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是()A等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上【答案】B【解析】如圖，等腰四棱錐的側棱均相等，其側棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即A正確；底面四邊形必有一個外接圓，即C正確；在高線上可以找到一個點O，使得該點到四棱錐各個頂點的距離相等，這個點即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側面與底面所成角不一定相等或互補(若為正四棱錐則成立)故僅命題B為假命題【例題2】【題干】(1)如圖是底面為正方形、一條側棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的()(2) 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，其正視圖如圖所示，則此三棱柱側視圖的面積為()A2B4C. D2【答案】D.D【解析】(1)由俯視圖排除B、C；由正視圖、側視圖可排除A(2)依題意，得此三棱柱的左視圖是邊長分別為2，的矩形，故其面積是2【例題3】【題干】如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A2B.C. D1【答案】A【解析】恢復后的原圖形為一直角梯形S(11)22【例題4】【題干】已知ABC的直觀圖ABC是邊長為a的正三角形，求原ABC的面積【解析】建立如圖所示的坐標系xOy，ABC的頂點C在y軸上，AB邊在x軸上，OC為ABC的高 把y軸繞原點逆時針旋轉45得y軸，則點C變為點C，且OC2OC，A，B點即為A，B點，長度不變已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OC a a，所以原三角形ABC的高OCa.所以SABCaaa2.四、課堂運用【基礎】1如圖，在下列四個幾何體中，其三視圖(正視圖、側視圖、俯視圖)中有且僅有兩個相同的是()ABC D解析：選A的三個視圖都是邊長為1的正方形；的俯視圖是圓，正視圖、側視圖都是邊長為1的正方形；的俯視圖是一個圓及其圓心，正視圖、側視圖是相同的等腰三角形；的俯視圖是邊長為1的正方形，正視圖、側視圖是相同的矩形2一個錐體的正視圖和側視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析：選CC選項不符合三視圖中“寬相等”的要求，故選C.5.如圖ABC是ABC的直觀圖，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D鈍角三角形解析：選B由斜二測畫法知B正確3一個幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則這個幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的_(填入所有可能的圖形前的編號)銳角三角形；直角三角形；四邊形；扇形；圓解析：如圖1所示，直三棱柱ABEA1B1E1符合題設要求，此時俯視圖ABE是銳角三角形；如圖2所示，直三棱柱ABCA1B1C1符合題設要求，此時俯視圖ABC是直角三角形；如圖3所示，當直四棱柱的八個頂點分別是正方體上、下各邊的中點時，所得直四棱柱ABCDA1B1C1D1符合題設要求，此時俯視圖(四邊形ABCD)是正方形；若俯視圖是扇形或圓，體積中會含有，故排除.答案：4正四棱錐的底面邊長為2，側棱長均為，其正視圖(主視圖)和側視圖(左視圖)是全等的等腰三角形，則正視圖的周長為_解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點，連接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正視圖的周長為22.答案：22【鞏固】1底面水平放置的正三棱柱的所有棱長均為2，當其正視圖有最大面積時，其側視圖的面積為()A2 B3C. D4解析：選A當正視圖的面積達最大時可知其為正三棱柱某個側面的面積，可以按如圖所示位置放置，此時側視圖的面積為2.2已知：圖1是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖2是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構成解：圖1幾何體的三視圖為：圖2所示的幾何體是上面為正六棱柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體3已知正三棱錐VABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積解：(1)三棱錐的直觀圖如圖所示(2)根據三視圖間的關系可得BC2，側視圖中VA 2，SVBC226.【拔高】1有一個棱長為1的正方體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是()A1 B.C. D.解析：選D如圖所示是棱長為1的正方體當投影線與平面A1BC1垂直時，面ACD1面A1BC1，此時正方體的正投影為一個正六邊形設其邊長為a，則a，a.投影面的面積為62.此時投影面積最大，故D正確2已知正三棱柱ABCABC的正視圖和側視圖如圖所示，設ABC，ABC的中心分別是O，O，現將此三棱柱繞直線OO旋轉，射線OA旋轉所成的角為x弧度(x可以取到任意一個實數)，對應的俯視圖的面積為S(x)，則函數S(x)的最大值為_；最小正周期為_(說明：“三棱柱繞直線OO旋轉”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為正角，順時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為負角)解析：由題意可知，當三棱柱的一個側面在水平面內時，該三棱柱的俯視圖的面積最大此時俯視圖為一個矩形，其寬為tan 3022，長為4，故S(x)的最大值為8.當三棱柱繞OO旋轉時，當A點旋轉到B點，B點旋轉到C點，C點旋轉到A點時，所得三角形與原三角形重合，故S(x)的最小正周期為.答案：8課程小結1.正棱柱與正棱錐(1)底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含兩層含義：側棱垂直于底面；底面是正多邊形(2)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫正棱錐，注意正棱錐中“正”字包含兩層含義：頂點在底面上的射影必需是底面正多邊形的中心，底面是正多邊形，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體2對三視圖的認識及三視圖畫法(1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個方向看到的該幾何體的側面表示的圖形(2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和棱用實線表示，擋住的線要畫成虛線(3)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體用平行投影畫出的輪廓線3對斜二測畫法的認識及直觀圖的畫法(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段，“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半”(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關系：S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖課后作業【基礎】1有下列四個命題：底面是矩形的平行六面體是長方體；棱長相等的直四棱柱是正方體；有兩條側棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對角線相等的平行六面體是直平行六面體其中真命題的個數是()A1 B2C3 D4解析：選A命題不是真命題，因為底面是矩形，但側棱不垂直于底面的平行六面體不是長方體；命題不是真命題，因為底面是菱形(非正方形)，底面邊長與側棱長相等的直四棱柱不是正方體；命題也不是真命題，因為有兩條側棱都垂直于底面一邊不能推出側棱與底面垂直；命題是真命題，由對角線相等，可知平行六面體的對角面是矩形，從而推得側棱與底面垂直，故平行六面體是直平行六面體2如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖在正視圖右側，按照畫三視圖的要求畫出的該幾何體的側視圖是()解析：選B由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確3一個幾何體的三視圖如圖所示，則側視圖的面積為()A2 B1C22 D4解析：選D依題意得，該幾何體的側視圖的面積等于2224.4一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：結合三視圖可知，該幾何體為底面邊長為2、高為2的正三棱柱除去上面的一個高為1的三棱錐后剩下的部分，其直觀圖如圖所示，故該幾何體的體積為22sin 60222sin 601.答案：【鞏固】1如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD平面ABE，已知AB2，AEBE，且當規定正視方向垂直平面ABCD時，該幾何體的側視圖的面積為.若M，N分別是線段DE，CE上的動點，則AMMNNB的最小值為_解析：依題意得，點E到直線AB的距離等于，因為該幾何體的左側視圖的面積為BC，所以BC1，DEECDC2.所以DEC是正三角形，DEC60，tan DEA，DEACEB30.把DAE，DEC與CEB展在同一平面上，此時連接AB，AEBE，AEBDEADECCEB120，AB2AE2BE22AEBEcos 1209，即AB3，即AMMNNB的最小值為3.答案：32正四棱錐的高為，側棱長為，求棱錐的斜高(棱錐側面三角形的高)解：如圖所示，正四棱錐SABCD中，高OS，側棱SASBSCSD，在RtSOA中，OA2，AC4.ABBCCDDA2.作OEAB于E，則E為AB中點連接SE，則SE即為斜高，在RtSOE中，OEBC，SO，SE，即棱錐的斜高為.【拔高】1如圖，ABC與ACD都是等腰直角三角形，且ADDC2，ACBC.平面ACD平面ABC，如果以平面ABC為水平平面，正視圖的觀察方向與AB垂直，則三棱錐DABC的三視圖的面積和為_解析：由題意得ACBC2，AB4，ACD邊AC上的高為，正視圖的面積是42，側視圖的面積是2，俯視圖的面積是224，所以三視圖的面積和為43.答案：432一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖如圖1和2所示，其中正視圖、側視圖均為邊長為a的正方形(1)請在圖2指定的框內畫出多面體的俯視圖；(2)若多面體底面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA1的中點，