1. 設，求在內的羅朗展式.解 因為 所以 .2.解 因為,.所以.3. 設，其中，試求 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內, .所以.4. 求復數的實部與虛部.解 令, 則. 四. 證明題.1. 函數在區域內解析. 證明：如果在內為常數，那么它在內為常數.證明 設在內. 令. 兩邊分別對求偏導數, 得 因為函數在內解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變為. 消去得, .若, 則 為常數.若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數).所以為常數.2. 試證: 在割去線段的平面內能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.證明的支點為. 于是割去線段的平面內變點就不可能單繞0或1轉一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當從支割線上岸一點出發,連續變動到 時, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.1. 求函數的冪級數展開式.2. 在復平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區域內取定函數在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.解 令.則.又因為在正實軸取正實值，所以.所以.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓的右半圓.單位圓的右半圓周為（ ），所以.4. 求 .解 =0.四. 證明題1. 設函數f(z)在區域D內解析，試證：f(z)在D內為常數的充要條件是在D內解析.證明 (必要性) 令,則. (為實常數). 令. 則. 即滿足, 且連續, 故在內解析.(充分性) 令, 則 ,因為與在內解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內均為常數,故在內為常數.2. 試用儒歇定理證明代數基本定理.即證“任一 次方程 有且只有個根”. 證明 令, 取, 當在上時, 有由儒歇定理知在圓 內, 方程 與 有相同個數的根. 而 在 內有一個 重根 . 因此次方程在 內有 個根.1. 將函數在圓環域內展為Laurent級數.2. 試求冪級數的收斂半徑.所以收斂半徑為.3. 算下列積分：，其中是. 令, 則 .故原式.4. 求在|z|1內根的個數. 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 內, 方程只有一個根.四. 證明題設是一整函數，并且假定存在著一個正整數n，以及兩個正數R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數。證明 取 , 則對一切正整數 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數.1. 解方程.2. 設，求解 , .故原式.3. . 解 原式.4. 函數有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數）.解 =，令，得，而 為可去奇點 當時， 而 為一階極點.四. 證明題1.證明：若函數在上半平面解析，則函數在下半平面解析.證明 設, 在下半平面內任取一點, 是下半平面內異于的點, 考慮 .而, 在上半平面內, 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內解析.2.證明方程在內僅有3個根.證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內.在上, , 故在內.所以在內僅有三個零點, 即原方程在內僅有三個根.1. 計算積分：，在這里L表示連接原點到的直線段.解 連接原點及的直線段的參數方程為 , 故.2.求積分：，其中0a1.令, 則. 當時, 故, 且在圓內只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數定理有.4. 應用儒歇定理求方程，在|z|1內根的個數，在這里在上解析，并且.解 令 則在內解析, 且在上, , 所以在內, , 即原方程在 內只有一個根.四. 證明題1. 證明函數除去在外，處處不可微.證明 因為, 故. 這四個偏導數在平面上處處連續, 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.1、.解 因為故.2、設，其中，試求.解 因此 故.3、設，求.解 4、求函數在內的羅朗展式.5、求的值.解：四、證明題（20分）1. 方程在單位圓內的根的個數為6.證明：設則在上， 即有.根據儒歇定理，與在單位圓內有相同個數的零點，而的零點個數為6，故在單位圓內的根的個數為6.2. 若函數在區域內解析，等于常數，則在恒等于常數.證明：設，則, 由于在內解析，因此有 , .于是故，即在內恒為常數.3. 若是的階零點，則是的階極點.證明：由于是的階零點，從而可設，其中在的某鄰域內解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.1、設，求.解：因此2、利用留數定理計算積分：，.解：設，則，故奇點為.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內的根的個數為7.證明：設則在上， 即有.根據儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數的零點，而在內的零點個數為7，故在單位圓內的根的個數為7.五、計算題（10分）1、若函數在區域內連續，則二元函數與都在內連續.證明：因為，在內連續, 所以, 當時有 從而有，即u、v在D連續，由的任意性知與都在內連續.3、求一個單葉函數，去將平面上的區域保形映射為平面的單位圓盤.解：設，則將區域保形映射為區域設, 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數為 . 4、利用留數定理計算積分.解：設則在內有兩個一級極點，因此，根據留數定理有五、計算題（10分）1、求一個單葉函數，去將平面上的帶開區域保形映射為平面的單位圓盤.解：設則將區域保形變換為區域.設,則將區域保形變換為區域設則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數為1 設。求，使得為解析函數，且滿足.其中（為復平面內的區域）.（15分）解： .又 .故.2求下列函數的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）解: (1) 奇點為對任意整數, 為二階極點, 為本性奇點. (2) 奇點為為本性奇點,對任意整數,為一級極點,為本性奇點.3 計算下列積分.（15分）(1) （8分），解: 共有六個有限奇點, 且均在內,由留數定理,有將在的去心鄰域內作展開 所以，.(2)解: 令,則再令則,故由留數定理,有4、敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數.（10分）解：儒歇定理：設為一條圍線，若函數與均在內部及上解析且，則與在內部的零點個數相同.令, 則在內解析且當時 ,由儒歇定理的根個數與根個數相同故在內有4個根.5、討論方程在內根的個數。（10分），有，由定理知在沒有根。四、證明題（20分）1設函數在內解析，令。證明：在區間上是一個上升函數，且若存在及（），使，則常數.（10分）證明: (1) 則，故,即在上為的上升函數.(2)如果存在及使得，則有 于是在內恒為常數,從而在內恒為常數.1 設區域是沿正實軸割開的平面，求函數在內滿足條件的單值連續解析分支在處之值。 （10分）解： 由 得 從而有2（1）求的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數 （10分） 解：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點，為的一階極點。 （2）求。