2013 年自主招生專題第一講 ：集合與命題（學生）第一部分 近年來自主招生數學試卷解讀近年來名牌高校自主招生考試競爭愈演愈烈，了解自主招生考試特點，合理安排日常學習，積極備考對各位考生意義重大。下面簡要分析一下自主招生數學考試的特點 ，并對一些有代表性的試題作簡要分析。 自主招生試題特點：試題總難度高于高考，多數題目達到高考中高難度，部分題目達到競賽難度，試題靈活多變，毫無規律可尋，但各個學校的試題已經開始形成各自的風格。總的來說，函數、方程、數列、不等式、排列組合等內容是高頻考點。應試策略：1、注重基礎：一般說來，自主招生中，中等難度題目分數比例大約60% 左右。 2、聯系教材，適度拓寬知識面：注意課本上的自主.探究和閱讀材料，對和大學數學聯系緊密的內容進行深度挖掘。自主招生中，有不少試題都來源于這些材料。 3、掌握競賽數學的基本知識和解題技巧，著重培養數學思維能力。 4、考前進行模擬訓練，熟悉每個高校的命題特點，掌握答題技巧。高頻考點一覽：不等式均值不等式與柯西不等式的綜合運用，凸函數的性質，證明不等式的常用方法雜題常見的組合數學問題（組合計算、組合構造、博弈問題、染色問題）解析幾何解析幾何的基本運算、取值范圍與最值問題以及探索性問題平面幾何平面幾何的基本計算和證明、三角形五心問題、圖形變換函數函數的奇偶性、周期性、單調性的證明與應用三角函數一些具有技巧性的三角變換，三角恒等式和簡單的三角不等式問題立體幾何復雜的空間幾何構型，空間范圍內的旋轉對稱等變換問題排列組合比較具有技巧性的排列組合問題和一些復雜的概率問題方程和多項式高次方程，無理方程的技巧性處理，一些簡單的多項式知識數列非等比等差數列的遞推公式、通項公式、求和公式的常見解法一、 試題特點分析：1. 突出對思維能力和解題技巧的考查。2. 注重數學知識和其它科目的整合，考查學生應用知識解決問題的能力。二、 應試和準備策略1. 注意知識點的全面數學題目被猜中的可能性很小，一般知識點都是靠平時積累，因此，要求學生平時要把基礎知識打扎實。剩下的就是個人的現場發揮。2. 注意適當補充一點超綱內容如上面提及的一些平時不太注意的小章節或高考不一定考的問題，如矩陣，行列式等也不可忽視。3. 適當做近幾年的自主招生的真題俗話說，知己知彼，百戰百勝。同學們可適當地訓練近幾年自己所考的高校自主招生的試題，熟悉一下題型和套路還是有益的。4. 注重知識的延伸加深復旦，交大，清華等全國重點院校自主招生試題比高考試題稍難，比數學競賽試題又稍簡單。有些問題稍有一定的深度，這就要求考生平時注意知識點的延伸加深。例如2008年復旦自主招生的第88題：此題若是知道三次方程的韋達定理，則容易解決。但平時同學們對二次方程的韋達定理很熟悉，對三次方程的韋達定理則比較陌生。又比如，柯西不等式可以解決許多不等式問題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其實應用得非常廣泛，我們將在不等式一講中將會介紹它。總之，同學們若是注意一些知識點的延伸和加深，考試時必定會有一種居高臨下的感覺。第二部分：集合與命題一、 知識補充：容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)問題：開運動會時，高一某班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑比賽和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？解：二抽 屜 原 理抽屜原理的基本形式 定理1、如果把n+1個元素分成n個集合，那么不管怎么分，都存在一個集合，其中至少有兩個元素。 證明：（用反證法）若不存在至少有兩個元素的集合，則每個集合至多1個元素，從而n個集合至多有n個元素，此與共有n+1個元素矛盾，故命題成立。 例1 已知在邊長為1的等邊三角形內（包括邊界）有任意五個點（圖1）。證明：至少有兩個點之間的距離不大于.第三部分、典型例題1（1987年全國高中聯賽）已知集合若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則a的值為 .解： 2.(2007年上海交大)設不等式與解集分別為M和N,若M是N的真子集,則的最小值為 .3.(2007年清華大學)對于集合,稱M為開集,當且僅當,使得.判斷集合與是否為開集,請證明你的結論.4.(2009年清華大學)求證:一個數列中各數相等的充要條件是:其中任意個元素中的個之和等于另外個元素之和.5.(2006年清華大學)求由正整數集組成的集合S,使S中的所有元素之和等于所有元素之積.6. (2009年浙江大學)已知，設二次函數.證明：對任意均有成立的充要條件是.7. (2009年清華大學)求證：當p,q均為奇數時，拋物線與軸交點橫坐標為無理數.8.(2009年北京大學)是否存在,使與均為有理數?說明理由。9. (2006年清華大學)已知都是有理數，也是有理數.證明：都是有理數.10.(43屆美國中學數學競賽)設S為集合的子集，并且S中的任意2個元素之和不能被7整除，那么S中元素最多有多少個？ 三、針對性訓練1對集合1，2，n及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數所得的結果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。2n元集合具有多少個不同的不交子集對？3.以某些整數為元素的集合具有下列性質：中的元素有正數，有負數；中的元素有奇數,有偶數；1；若，,則。試判斷實數0和2與集合的關系。4.若為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等。（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？5.設，且A具有下列性質：（1）對任意，恒有；（2）。試證A中的元素為奇數的個數是4的倍數，且為定值.6(2010年江蘇五校)已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），l(A)表示aiaj(1ijn)的所有不同值的個數（1）已知集合P2，4，6，8