橢圓離心率的解法一、 運用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎題目：如圖，O為橢圓的中心，F為焦點，A為頂點，準線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PDL于D，QFAD于F,設橢圓的離心率為e，則e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ評：AQP為橢圓上的點，根據橢圓的第二定義得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。題目1：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 、F2 ，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BAF2F1思路：A點在橢圓外，找a、b、c的關系應借助橢圓，所以取AF2 的中點B，連接BF1 ,把已知條件放在橢圓內，構造F1BF2分析三角形的各邊長及關系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 變形1：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 、F2 ，點P在橢圓上，使OPF1 為正三角形，求橢圓離心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：連接PF2 ,則OF2=OF1=OP,F1PF2 =90圖形如上圖，e=-1 變形2: 橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 、F2 ，AB為橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1 X軸，PF2 AB,求橢圓離心率？BAF2F1PO 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=點評：以上題目，構造焦點三角形，通過各邊的幾何意義及關系，推導有關a與c的 方程式，推導離心率。二、運用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓 +=1(ab 0)，A是左頂點，F是右焦點，B是短軸的一個頂點，ABF=90，求e?FBAO 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)變形：橢圓 +=1(ab 0)，e=, A是左頂點，F是右焦點，B是短軸的一個頂點，求ABF？點評：此題是上一題的條件與結論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90引申：此類e=的橢圓為優美橢圓。性質：1、ABF=902、假設下端點為B1 ,則ABFB1 四點共圓。3、焦點與相應準線之間的距離等于長半軸長。總結：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據幾何意義，找各邊的表示，結合解斜三角形公式，列出有關e的方程式。題目3：橢圓 +=1(ab 0)，過左焦點F1 且傾斜角為60的直線交橢圓與AB兩點，若F1A=2BF1,求e?解：設BF1=m 則AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：兩式相除 =e=題目4：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應用。解：由正弦定理： = = 根據和比性質：= 變形得： = =ePF1F2 =75PF2F1 =15 e= =點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點，且F1PF2 =60，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應用。解：設F1F2P=，則F2F1P=120-e= e0) F1F2 為橢圓兩焦點，M為橢圓上任意一點（M不與長軸兩端點重合）設PF1F2 =,PF2F1 =若tan tan ,求e的取值范圍？分析：運用三角函數的公式，把正弦化正切。解;根據上題結論e= =e eb 0)，斜率為1，且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，+與=(3,-1)共線，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：設A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：設AB的中點N，則2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由圖形中暗含的不等關系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，滿足12 =0的點M總在橢圓內部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點。解：c2c2 0eb 0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P為右準線L上一點，F1P的垂直平分線恰過F2 點，求e的取值范圍？MPF2F1O分析：思路1,如圖F1P與 F2M 垂直，根據向量垂直，找a、b、c的不等關系。 思路2：根據圖形中的邊長之間的不等關系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 則1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 12 =0 ( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 則2c-c 3c3c2a2 則eb0）的兩頂點為A（a,0）B(0,b),若右焦點F到直線AB的距離等于AF，則橢圓的離心率是。 14.橢圓（ab0）的四個頂點為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率是 15.已知直線L過橢圓（ab0）的頂點A（a,0）、B(0,b),如果坐標原點到直線L的距離為，則橢圓的離心率是 16.在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O為圓心，為半徑作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 二、構造、的齊次式，解出根據題設條件，借助、之間的關系，構造、的關系（特別是齊二次式），進而得到關于的一元方程，從而解得離心率。例2：已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 解：如圖，設的中點為，則的橫坐標為，由焦半徑公式， 即，得，解得（舍去），故選D變式練習1：設雙曲線（）的半焦距為，直線過，兩點.已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解：由已知，直線的方程為，由點到直線的距離公式，得，又, ,兩邊平方，得，整理得，得或，又 ，故選A變式練習2：雙曲線虛軸的一個端點為，兩個焦點為、，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 解：如圖所示，不妨設，則，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故選B1已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數列，則橢圓的離心率是2以橢圓的右焦點F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點，橢圓的左焦點為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是3以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點，如果MF=MO，則橢圓的離心率是4設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是5已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是6設分別是橢圓的左、右焦點，P是其右準線上縱坐標為 （ 為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：四、根據圓錐曲線的統一定義求解例4：設橢圓（）的右焦點為，右準線為，若過且垂直于軸的弦的長等于點到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準線的距離，根據橢圓的第二定義， 變式練習：在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：五、尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。1已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是2已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，橢圓離心率e的取值范圍為3已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，橢圓離心率e的取值范圍為4設橢圓（ab0）的兩焦點為F1、F2，若橢圓上存在一點Q，使F1QF2=120，橢圓離心率e的取值范圍為 5在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率6設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在 使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是配套練習1. 設雙曲線（）的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 2已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（ ）A BCD3已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 4在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為A B C D 5在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D 6如圖，和分別是雙曲線（）的兩個焦點，和是以為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 7. 設、分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ ）A B C D 8設、分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線離心率為（ ）A B C D 9已知雙曲線（）的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D 10橢圓（）的焦點為、，兩條準線與軸的交點分別為、，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）AB CD答案：1.由可得故選D2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍， ，橢圓的離心率，選D。3.雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A4.不妨設橢圓方程為（ab0），則有，據此求出e5.不妨設雙曲線方程為（a0，b0），則有，據此解得e，選C6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，連接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，