課堂探究探究一 利用數學歸納法證明等式用數學歸納法證明等式時，要注意弄清楚等式兩邊的構成規律，例如：等式兩邊的項數是多少，項的多少與n的關系是什么，由nk到nk1時項數增加多少項，增加怎樣的項等【典型例題1】 用數學歸納法證明：(nn)證明：(1)當n1時，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設當nk(k1，kn)時等式成立，即，則當nk1時，.所以當nk1時，等式也成立由(1)(2)知等式對nn成立探究二 用數學歸納法證明不等式運用數學歸納法證明不等式時，在利用了歸納假設后，要注意根據欲證目標，靈活地運用比較法、放縮法等技巧來進行證明【典型例題2】 用數學歸納法證明：1(其中nn，n1)思路分析：按照數學歸納法證明數學問題的方法與步驟進行證明，在由nk證nk1成立時，可利用比較法或放縮法證得結論證明：(1)當n2時，左邊1，右邊，10，所以左邊右邊，即不等式成立(2)假設當nk(k2，kn)時，不等式成立，即1 ，則當nk1時，1 .(方法1)因為0，所以，即1 .(方法2)因為，所以1 .即當nk1時原不等式也成立，由(1)(2)知原不等式成立點評 本例中在應用歸納假設后，方法1是利用了比較法，方法2是利用了放縮法來進行后面的證明探究三 用數學歸納法證明整除問題與正整數有關的整除性問題常用數學歸納法證明，證明的關鍵在于第二步中，根據歸納假設，將nk1時的式子進行增減項、倍數調整等變形，使之能與歸納假設聯系起來【典型例題3】 用數學歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nn)思路分析：在第二步時注意根據歸納假設進行拼湊證明：(1)當n1時，13233336能被9整除，所以結論成立；(2)假設當nk(kn，k1)時結論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因為k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1時結論也成立由(1)(2)知命題對一切nn成立探究四 歸納猜想證明1由已知條件首先計算數列an的前幾項的值，根據前幾項值的特點，猜想出數列an的通項公式或遞推公式，利用數學歸納法加以證明是求數列通項的一種常見的方法2在對猜想得到的結論用數學歸納法進行證明時，要注意從歸納的過程中發現證明的方法【典型例題4】 某數列的第一項為1，并且對所有的自然數n2，數列的前n項之積為n2.(1)寫出這個數列的前五項；(2)寫出這個數列的通項公式并加以證明思路分析：根據數列前五項寫出這個數列的通項公式，要注意觀察數列中各項與其序號變化的關系，歸納出構成數列的規律同時還要特別注意第一項與其他各項的差異，必要時可分段表示證明這個數列的通項公式可用數學歸納法解：(1)已知a11，由題意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此該數列的前五項為1,4，.(2)觀察這個數列的前五項，猜測數列的通項公式應為an下面用數學歸納法證明當n2，nn時，an.當n2時，a222，猜想正確假設當nk(k2，kn)時，猜想正確，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1，當nk1時，猜想也正確根據和，可知當n2，nn時，這個數列的通項公式是an.an探究五 易錯辨析易錯點：因不運用歸納假設而出錯【典型例題5】 用數學歸納法證明：(nn)錯證：(1)當n1時，左邊，右邊，等式成立(2)假設當nk(k1，kn)時等式成立，那么當nk1時，直接使用裂項相減法求得，即當nk1時等式成立由(1)和(2)，可知等式對一切nn都成立錯因分析：由nk到nk1時等式的證明沒有用歸納假設，而是運用了數列中的求和方法證得的，雖然結論正確，但沒有運用數學歸納法證明，不符